第八章多元函数微分法习题课

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1、第八章多元函数微分法及其应用教学目的：1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握多元复合函数偏导数的求法。6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、了解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在

2、的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学重点：1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、多元函数极值和条件极值的求法。§8.1多元函数的基本概念一多元函数概念例１圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系V=pr2h.这里,当r、h在集合{(r,h)

3、r>0,h>0}内取定一对值(r,h)时,V对

4、应的值就随之确定.例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系,二.多元函数的极限与一元函数的极限概念类似,如果在P(x,y)®P0(x0,y0)的过程中,对应的函数值f(x,y)无限接近于一个确定的常数A,则称A是函数f(x,y)当(x,y)®(x0,y0)时的极限.例3.设,求证.证因为,可见"e>0,取,则当,即时,总有

5、f(x,y)-0

6、

7、ÎR2."e>0,由于sinx在x0处连续,故$d>0,当

8、x-x0

9、

10、sinx-sinx0

11、

12、f(x,y)-f(x0,y0)

13、=

14、sinx-sinx0

15、

16、x¹0,y¹0}.P0(1,2)为D的内点,故存在P0的某一邻域U(P0)ÌD,而任何邻域都是区域,所以U(P0)是f(x,y)的一个

17、定义区域,因此.一般地,求时,如果f(P)是初等函数,且P0是f(P)的定义域的内点,则f(P)在点P0处连续,于是.例7求.解:§8.2偏导数一、偏导数的定义及其计算例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数.　　解,.　,.　　例2求z=x2sin2y的偏导数.　　解,.　　例3设,求证:.　　证,..　　例4求的偏导数.　　解;.　　例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),求证:.证因为,;,;,;　所以.　　二.高阶偏导数.　　例6设z=x3y2-3xy3-xy+1,求、、和.　解,;,;,.例7验证函数满足方程.　　证

18、因为,所以,,,.　　因此.　　例8．证明函数满足方程,其中.　证:,.　　同理,.　　因此　　.§8.3全微分及其应用一、全微分的定义例1计算函数z=x2y+y2的全微分.解因为,,所以dz=2xydx+(x2+2y)dy.例2计算函数z=exy在点(2,1)处的全微分.解因为,,,,所以dz=e2dx+2e2dy.例3计算函数的全微分.解因为,,,所以.*二、全微分在近似计算中的应用例4有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径由20cm增大到20.05cm,高度由100cu减少到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值.解设圆柱体的半径、高和体积依次为r

19、、h和V,则有V=pr2h.已知r=20,h=100,Dr=0.05,Dh=-1.根据近似公式,有DV»dV=VrDr+VhDh=2prhDr+pr2Dh=2p´20´100´0.05+p´202´(-1)=-200p(cm3).即此圆柱体在受压后体积约减少了200pcm3.例5计算(1.04)2.02的近似值.解设函数f(x,y)=xy.显然,要计算的值就是函数在x=1.04,y=2.02时的函数值f(1.04,2.02).取x=1,y=2,Dx=0.04,Dy=0.02.由于f(x+Dx,y+Dy)»f(x,y)+fx(x,y)Dx+fy(x,y

20、)Dy=xy+yxy-1Dx+xylnxDy,所以(1.04)2.02»12+2´12-1´0.04+12´