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《5.1点运动(热点题型)·数学中考分类精粹》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第五章动态问题§５．１点运动【题型概述】∴△BAD≌△CAF．用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动∴CF＝BD．态问题．此类问题的显著特点是图形中的某些元素(如点、∴CF＋CD＝BD＋CD＝BC＝AC．线)或整个几何图形按某种规律运动．本节研究点的运动．即①BD＝CF,②AC＝CF＋CD．点动型就是在三角形、矩形等一些几何图形上,设计一(２)AC＝CF＋CD不成立,AC、CF、CD之间存在的数量个或几个动点,并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系是AC＝CF－CD．关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行理由:由(１)知,AB＝AC＝BC,AD
2、＝AF,∠BAC＝研究．∠DAF＝６０°,【典题演示】∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAF＋∠DAC,【例１】(２０１２?四川内江)已知△ABC为等边三角形,即∠BAD＝∠CAF．点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD∵在△BAD和△CAF中,为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF＝AC＝AB,∠BAD＝∠CAF,AD＝AF,６０°,连接CF．∴△BAD≌△CAF．(１)如图(１),当点D在边BC上时,求证:①BD＝CF;∴BD＝CF．②AC＝CF＋CD;∴CF－CD＝BD－CD＝BC＝AC,(２)如图(２),当点D在边BC的延长线上且其他
3、条件不即AC＝CF－CD．变时,结论AC＝CF＋CD是否成立?若不成立,请写出AC、(３)AC＝CD－CF．CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;理由:∵∠BAC＝∠DAF＝６０°,(３)如图(３),当点D在边BC的延长线上且其他条件不变∴∠DAB＝∠CAF．时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．∵在△BAD和△CAF中,AB＝AC,∠DAB＝∠CAF,AD＝AF,∴△BAD≌△CAF．∴CF＝BD．∴CD－CF＝CD－BD＝BC＝AC,即AC＝CD－CF．(１)(２)【归纳交流】本题是一道单质点的运动问题．解决此类动点几何问题常常用的是“类比发
4、现法”,也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较,从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手,去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质,从而获得相关结论．(３)【例２】(２０１２?贵州六盘水)如图(１),已知△ABC中,【思路点拨】(１)根据已知得出AF＝AD,AB＝BC＝AC,AB＝１０cm,AC＝８cm,BC＝６cm．如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C∠BAC＝∠DAF＝６０°,求出∠BAD＝CAF,证匀速运动,它们的速度均为２cm/s．连接PQ,设运动的时间△BAD≌△CAF,推出CF＝BD即可;(２)求
5、出∠BAD＝∠CAF,根据SAS证△BAD≌△CAF,为t(单位:s)(０≤t≤４)．解答下列问题:推出BD＝CF即可;(３)画出图形后,根据SAS证△BAD≌△CAF,推出CF＝BD即可．【完全解答】(１)∵四边形AFED是菱形,∴AF＝AD．∵△ABC是等边三角形,(１)(２)∴AB＝AC＝BC,∠BAC＝６０°＝∠DAF．(１)当t为何值时,PQ∥BC;∴∠BAC－∠DAC＝∠DAF－∠DAC,(２)设△AQP面积为S(单位:cm２),当t为何值时,S取即∠BAD＝∠CAF．得最大值,并求出最大值;∵在△BAD和△CAF中,(３)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△
6、ABC的面积AB＝AC,∠BAD＝∠CAF,AD＝AF,平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;(４)如图(２),把△AQP沿AP翻折,得到四边形(４)假设存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,则有AQPQ′．那么是否存在某时刻t,使四边形AQPQ′为菱形?AQ＝PQ＝BP＝２t．若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由．【思路点拨】这是一个动态几何问题,综合性程度高,但我们只要仔细观察、冷静思考、多读几遍题目就会找到解决问题的突破口,千万不能轻易放弃．(１)由PQ∥BC时的比例线段关系,列一元一次方程求解;(２)如解答图(１)所示,过点P作PD⊥AC
7、于点D,构造(２)比例线段,求得PD,从而可以得到S的表达式,然后利用二如图(２)所示,过点P作PD⊥AC于点D,则有PD∥BC,次函数的极值求得S的最大值;APPDAD１０－２tPDAD(３)要点是利用(２)中求得的△AQP的面积表达式,再∴＝＝,即＝＝．ABBCAC１０６８由线段PQ恰好把△ABC的面积平分,列出一元二次方程;６８解得PD＝６－t,AD＝８－t．由于此一元二次方程的判别式小于０,则可以得出结论:不存５５在这样的某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分;∴QD＝AD－AQ＝８－８t－２t＝８－１８t．５５
