数学奥林匹克初中训练题(145)

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1、万方数据38中等数学●课外训练●数静奥糠嫒毡渤中湖滁琶(145)中图分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005-6416(2011)09-0038—03第一试一、选择题(每小题7分。共42分)1．220名学生参加百分制的考试(得分以整数计)，没有三名以上的学生得分相同．则恰有三名学生得相同分数的个数的最小值是()．(A)17(B)18(C)19(D)202．已知[菇]表示不超过实数互的最大整数，{茗}=算一[工]．贝0满足20{菇}+1．1[互1=2011的正数善的个数是()．(A)17(B)18(C)19(o)203．已知a,b为常数，关于髫

2、的不等式n童+l>善+b与3(茗一1)<口一6z的解集相同．则(口+1)2一(b+1)2=()．(A)O(B)3(C)4(D)84．8个人每人同时得到一条消息。而且任意两人所得消息不同，他们两两用电话相互告诉对方自己所知的全部消息，每次电话恰好用3分钟．为使每人都知道所有消息，至少需()分钟．(A)6(B)9(C)12(D)155．已知锐角△ABC的角平分线AD与高BE交于点肘，△CDE是等边三角形．则S蚀明：S出蹦=()．(A)以：2(B)l：2(C)√3：3(D)l：46．如图l，已知oD的半径为6，M是oD外一点，且OM=12，过膨的直线与00交于点

3、A、B，点A、B关于OM的对称点分别为C、D，AD与BC交于点P．则OP的长为()．图l(A)4(B)3．5(C)3(D)2．5二、填空题(每小题7分，共28分)1．一个三位数是它的各位数字之和的29倍．则这个三位数是——_．2．已知抛物线，，=ax2+k+c与双曲线L2y=一／,f有三个交点A(一3，m)、曰(一1。n)、互c(2，p)．则不等式似3+bx2+戗一k2>0的解集为一3．2011年是从星期六开始的，在下世纪(2100年元月1日开始)某一年也是从星期六开始．这一年最早是——。4．如图2。已知oD是边长为16的菱形ABCD的内切圆，点E、，分别

4、在边AB、BC上，EF与o0切于点M若BE=4，BF=13，则EF的长为一第二试图2一、(zo分)有一种笔记本原售价为每本6元，甲商场用如下办法促销：每次购买l一8本打九折，9—16本打八五折，17—25本打八折，超过25本打七五折；乙商场用如下办法◇万方数据2011年第9期39促销：每次购买l一5本，每本5．6元；6一10本，每本5．2元；11—20本。每本4．9元；超过20本。每本4．5元．(1)某学校有A、B两个班都需要买这种笔记本，A班需要8本，曰班需要20本，问他们到哪家商场购买花钱较少?(2)设某班需要购买这种笔记本本数为省(11≤菇≤40)，

5、总花费为Y元，从最省钱的角度出发，写出Y与算的函数关系式．二、(25分)如图3，已知Rt△ABC的内切圆0，分别切两直角边AC、BC于点‘D、E、肌、曰，分别与直线DE交于点F、G．日证明：AB2=2FG2．AF图3三、(25分)求所有三元整数组(口，6，c)，使得口3+b3+c3—3abc=201l(口≥6≥c)．参考答案第一试一、1．B．在0—100中的每个分数至少有两名学生得到，这样，总计有202名学生，剩下18名学生所得分数必须互不相同．故至少有18个分数恰被三名学生得到．2．B．因为0≤{茗}

6、[菇]<20，l810<[善]

7、}---1，2，⋯，18)，相应地{茹}取l一裟．3．A．两不等式化为(1一a)x

8、息，于是，前四人知道l一4，后四人知道5—8；第三次通电话时，l与5、2与6、3与7、4与8交换消息，于是，每人知道全部八条消息，共用时间3×3=9分钟．5．D．因为BE上AC。△CDE是等边三角形。所以。么BEC=90。。CD=DE因此，肋=DE=DC又AD平分么BAC，则AB=AC．故AABC是等边三角形．于是，膨是正△ABC的重心．从而，S△n聃：S创蹦=(MD：AM)2=1：4．6．C．如图4，延长MO与00交于点J＼『，联结OB、Dn由对称性知，点P在直线MN上．新镯BⅣ图4Eh,LBAO=虿1么日∞=LBON，知A、B、0、P四点共圆．则OM·

9、PM"-MA·MB=OM2一DⅣ2号朋=OM—o洲N=12—3；9