数学奥林匹克初中训练题

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1、中等数学熬潞蜃禽渤锄儆(130)中图分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)06—0036—052008的连续六个正整数的和．则小红算出的第一试所有和与小明算出的所有和中相同的数有一、选择题(每小题7分，共42分)()个．1．实数a、b满足(A)333(B)335(C)338(D)400Ia+lJ+Ia+3J+Jb+2J+Jb一5I=9．5．已知O是锐角△ABC的外心，点D、记n6+a+b的最大值、最小值分别为分别在边AB、AC上，o0经过曰、C、D、四m、n

2、．贝Um+／1,的值是()．点，△ADE的外接圆o0与o0。的半径均(A)一12(B)一10(C)一14(D)一8为6．则0．与0之间的距离为()．2．对于任意满足m<~／／l1r／,的自然数(A)3√2(B)4√2(C)2,／3(D)6rrt、n，有不等式11r／,≥rtz+k恒成立．则的6．一只盒子中有m个红球，9个白球，n最大值为()．个黑球，每个球除颜色外都相同．若至少摸出(A)l(B)2(C)6(D)1017个球时其中一定有5个红球，至少摸出173．已知~：TABCD的对角线交于点0，

3、个球时其中一定有8个相同颜色的球．则代ADC=40。，E是边BC上一点，AD—AB=数式lrrt—nI+lm一5I的值为()．2BE．则BEO的度数为()．(A)7(B)6(C)5(D)4(A)140。(B)150。(C)160。(D)165。二、填空题(每小题7分，共28分)4．小红算}n了所有不大于2008的连续1．已知实数a、b、、y满足xy：2008懈五个正整数的和，而小明算了所有不大于．能取有限个不I—J的值，这表明，存在正整数矛盾．故g0≤c1．

4、j}<凡，使得丛：．于是，若jJ>则

5、qq：Poc．，则由引理可知注意到，满足g0≤c。，且IP_2I≤c的有理q。<厂’f1的既约分母<⋯数只有有限个．因此，f(Q)＼{0}为有限集．<厂f1的既约分：q。，(冯志刚提供)2010年第6期3711三、(25分)求满足。+26+3c=20081+了2—008。+1+2—008一V的正整数对(口，6，c)的所有值．则2008”的值为一～参考答案2．如图1，4×4的网格第一试中有25

6、个格点，作出以这25个格点中的i个点为顶一1．A．、点的所有三三角形，其中直角因9=10+1I+10+3I+Ib+2I+l6—5I角形有——一个．图1=(1Ⅱ+1I+I—a一3I)+(16+2I+I5—6I)≥ll一3l+I2+5I=9．3．已知反比例数Y=及一次函故一3≤0≤一1，且一2≤6≤5数Y：kox+b的图像交于点M(一1，m)、一2≤Ⅱ+1≤0．且一1≤6+1≤6』I、r(2，n)．则不等式。+一<0的解集=一12≤(0+1)(b+1)≤2为—．—=一13≤06+r上+b≤1．4．若

7、实数、、z满足故m=1，n=一13。+~Jy-Z。3，从而，m+n：一12．且—=33，2．B．则代数式一2y+的值为一一因m0．第二试又m被11除的余数可为0，1，4，9，5，3，而1l凡可被11整除，则1In一m。的最小一、(20分)某电视台为了了解其i个特值为2。色栏目A、B、C的收视情况，向28位观众进因为1In一m。≥，所以，的最大值为2．行调查后知：每位观众至少收看了其中一个3．．栏目；没有收看栏目A的观众中，收看栏目如3，取D的人数为收看栏目C的两倍；在收看栏

8、日ABC的中点F，联的观众中，只收看栏目的观众人数比除了结OF．收看栏目A之外同时还收看其他栏目的人数BEFC多1；只收看一个栏目的观众中，有一半没有则BF：，图3收看栏目或C．求栏目A的收视率OF：1曰二、(25分)如图2，大圆o0与小圆，o0：交于点、OFf}AB故OFC=ABC=／ADC=40。．～，o0，的两条因为AD—AB=2BE，所以。弦MA、MB分别OF=B=1与o0，交于点2AD—BEc、D，分别延长=BF—BE=EF．AB至点E、CD至故／OEF=EOF=÷OFC=20。点F，

9、使BE=AB，DF=CD．求证：于是，BEO=l80。一OEF．=160。。罔2(1)=BN4．A．；小红所求和可表示为(2)△NBD∽△Ar．1+2+3+4+5+5m=5m+15：38中等数学小明所求和日】表不为于是，m+8+n：l7jm：6．1+2+3+4+5+6+6n：6n+21．故I，一I+Im一5J=4．其中，m、n为自然数，m≤2003，n≤2002．二、1．2008．由题意知已知等式去分母得5m+l5：6n+2ll+2008一009v+l+2008=(1+2008)(I+2008一