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1、浅谈数学分析中的构造法摘要:构造法是一种非常重要的数学方法.本文一方面阐明构造法的基本思想,另一方面通过具体实例来说明构造法在数学分析中的应用.关键词:数学分析;构造法;应用中图分类号:O171DiscussionsonConstructionMethodsinMathematicsAnalysisZHANGGuang-ping(CollegeofMathematicsandInformationScience,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)Abstr
2、act:Constructionmethodisaveryimportantmathematicalthought.Inthispaper,thebasicideasofconstructionmethodareclarified,ontheotherhandtheapplicationsofconstructionmethodareexplainedinmathematicsanalysisbysomeexamples.Keywords:mathematicsanalysis;constructionmethod;appl
3、ication数学中的构造法是一种创造性思维活动,在对数学问题的认识、解决中都离不开构造,按波利亚的说法,求解数学问题就是一个不断地变换问题、解决问题的过程.他指出:“如果你不能解决所提出的问题可先解决一个与此相关的问题,你能不能想出一个更易着手的问题?一个更普遍的问题?一个特殊的问题?一个类比的问题?”这里“想出”一个问题,就是构造一个辅助问题,不是直接去解决原问题,而是去构造一个与原问题相关的辅助问题,通过解决辅助问题进而解决原问题,这就是构造法.下面就构造法在数学分析中的具体应用举例说明.1、构造辅助函数在数学分析中根
4、据题设条件,构想、组合成一种新的函数,使问题在新的关系下实现转化从而得到解决,这不仅应用于定理的证明,而且也应用于解题过程中.根据定理的条件,我们首先构造一个辅助函数,使得这个函数满足另一个已证明的定理的条件,从而把我们所要证明的定理给予证明.定理1（拉格朗日（Lagrange）中值定理）若函数满足如下条件:（1）在闭区间上连续;（2）在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得.分析要证存在,使得,我们可以令,则,进而在等式两边积分得,,接下来我们令,然后把上式进行移项得到,所以令,即.证明构造辅助函数,显然,在上连续,在内可
5、导,且以及有,从而满足Rolle定理的条件,由Rolle定理知,至少存在一点,使得,即成立.下面利用微分中值定理构造辅助函数,进而证明不等式.例1设,证明.分析仔细观察不等式,我们发现中间项是对数形式,可以通过不等式及对数的性质进行适当的变形为,进而借助微分中值定理,构造一个对数函数.证明构造辅助函数,,显然在上满足拉格朗日中值定理的条件,且,即,使,即,而我们知道,故可以得到,即.下面利用函数的单调性构造辅助函数,进而证明不等式.例2设,证明.分析如果我们仅从题设入手,初看之下,很难找到解题思路,但是如果我们把这个不等式构
6、造成一个函数,再利用函数的单调性,则可以解决这个问题.证明经分析首先构造辅助函数,那么,进而可以得到,以及.当时,我们可以有,,,,故有,即在上严格单调递增,故我们可以有,,进而,,即我们可以有以及,,从而可以有,.2、构造数列无论是定理的证明,还是在求解问题中,构造数列都有非常重要的作用.定理2（Heine定理）设在内有定义.存在的充要条件是对于任何含于且以为极限的数列,有极限.证明充分性:用反证法,假设,即当时不以为极限.由极限定义的否定叙述可知:,对(无论多么小),都存在,使得,根据假设条件,我们可以构造一个数列.取,
7、都存在,使得;取,都存在,使得,按上述步骤取,都存在,使得,显然数列且但,这与假设矛盾,以成立.必要性:设,则对于,,使得时,则有.又设数列且,则对于上述的,存在使得当时有,从而,这就证明了结论.例3设为有界数集.证明:若,则存在严格递增数列,使得.证明因为是的上确界,故对任给的,存在,使得.又因为,故,从而有.现取,则存在,使得,再取,则存在,使得且有,一般地,按上述步骤得到之后,取,则存在,使得,且有,上述过程无限地进行下去,得到数列,它是严格递增数列,且满足,这就证明了.3、构造不等式根据题设的条件,构造不等式是我们解
8、题中经常用到的方法,构造恰当的不等式,使原问题得以转化,更加容易的解决问题.例4证明存在.分析要证明极限是否存在,首先应构造不等式,进而利用单调有界定理以证明结论.证明经分析首先证明数列的单调性,设,构造不等式,为任意正整数,进一步整理后得到不等式:.把以及代入式,又由于我们知道,故有,所
