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1、第25卷第6期惠州学院学报(自然科学版)Vol1251No162005年12月JOURNALOFHUIZHOUUNIVERSITY(NAT.SCI.)Dec12005浅谈数学分析中构造法的应用许金泉(惠州学院 数学系,广东 惠州 516015)摘 要:本文研究构造法在数学分析中的应用.关键词:数学分析;构造法;辅助函数中图分类号:O1.0文献标识码:A文章编号:1671-5934(2005)06-0104-041 引言数学分析中有着大量的存在性问题,在数学分析的定义、定理和习题中随处可见。存在性命题的出现,总有下面的
2、基本形式:存在一个具有“某种性质的事物”,使得“某件事情发生”。看下面例子:(1)收敛数列定义:设{an}为数列,a为定数。若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n>N时有
3、an-a
4、<ε,则称数列{an}收敛于a。(2)拉格朗日中值定理:若函数f满足如下条件:(ⅰ)f在闭区间[a,b]上连续;(ⅱ)f在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ζ,使得f(b)-f(a)[1]f′(ζ)=b-a(3)习题:设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,证明存在ζ∈(a,b),使bζf(ζ)∫g(x)dx=g
5、(x)∫f(x)dxζa解决存在性命题,构造法是经常运用的一种方法。构造法的核心在于:根据待解决的问题,通过一定的[2]手段,设计并构造一个与待解问题相关的数学模式,通过对这个数学模式的研究实现原问题的解决。构造法在数学分析中有着广泛的应用。在数学分析的各类存在性命题的证明中,常常可以通过构造函数、构造方程、构造恒等式、构造不等式、构造数列等方法来解决。然而,如何设计和构造一个恰当的数学模式,常常使人感到困惑。构造法的思想方法具有很大的灵活性,没有固定的模式,一般无章可循。笔者在讲授数学分析的微分中值类问题过程中,针
6、对问题的具体特点,归纳出一些构造辅助函数的规律。下面通过对例题的归纳、分析,谈微分中值类问题的辅助函数的构造方法。2 构造法在微分中值类问题中的应用211 原函数法收稿日期:2005-09-12基金项目:惠州学院科研基金(C203.0214)作者简介:许金泉(1959-),男,广东惠东县人,惠州学院数学系副教授. 第6期许金泉:浅谈数学分析中构造法的应用·105· 本节着重讨论微分中值类问题中的辅助函数的一种构造方法———原函数法,结合实例介绍这一方法及其应用。例1(一般形式的中值定理)设f和g是闭区间[a,b]上
7、的两个连续函数,在开区间(a,b)内都可导,则在(a,b)内至少存在一点ζ,使得[f(b)-f(a)]g′(ζ)=[g(b)-g(a)]f′(ζ)分析:将结果中的ζ换成变量x,可得[f(b)-f(a)]g′(x)=[g(b)-g(a)]f′(x)作恒等变换[f(b)-f(a)]g′(x)-[g(b)-g(a)]f′(x)=0则([f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x))′=0积分得[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)=C作辅助函数F(x)=[f(b)-f(a)]g(x)
8、-[g(b)-g(a)]f(x)证明 作辅助函数:F(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)显然F(x)在闭区间[a,b]上满足Rolle定理的条件,故在(a,b)内至少存在一点ζ,使得F′(ζ)=0 即[f(b)-f(a)]g′(ζ)=[g(b)-g(a)]f′(ζ)从一般形式的中值定理的证明看出:微分中值类问题中的证明,关键是构造一个辅助函数,构造方法一般从结论出发,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,具体的构造方法如下:将欲证结论中的ζ换成x,然后等式两端积分,再将积分结果移项
9、,使等式一端为常数,则等式的另一端即为所求的辅助函数。例2 设函数f(x)、g(x)在[a,b]上连续,证明存在ζ∈(a,b),使bζf(ζ)∫g(x)dx=g(ζ)∫f(x)dxζabx分析:将结果中的ζ换成变量x,可得f(x)∫g(t)dt=g(x)∫f(t)dtxabx作恒等变换f(x)∫g(t)dt-g(x)∫f(t)dt=0xaxb则(∫f(t)dt·∫g(t)dt)′=0axxb积分得∫f(t)dt·∫g(t)dt=Caxxb作辅助函数F(x)=∫f(t)dt·∫g(t)dtaxxb证明 作辅助函数F(x
10、)=∫f(t)dt·∫g(t)dt,则F(x)在闭区间[a,b]上满足Rolle定理的条件,axbζb故在(a,b)内至少存在一点ζ,使得F′(ζ)=0得f(ζ)∫g(t)dt-g(ζ)∫f(t)dt=0 即f(ζ)∫g(x)dxζaζζ=g(ζ)∫f(x)dxa例3 设函数f(x)是闭区间[0,1]上可微函数,f(0)=f(1)=0,当0
