浅谈构造法在求数列通项中的应用

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1、浅谈构造法在求数列通项中的应用《中学生数理化》2012第1期ISSN:1003—2215杨益锋江苏省包场高级中学【摘要】数列是高中数学的重要内容,又是初等数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法、在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型.所以在历年的高考中都占有重要地位.而数列的通项公式又是数列的核心内容之一,它就像函数中的解析式一样,有了解析式就可以研究起性质等;而有了数列的通项公式就可求出任一项以及前n项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口,关键点。而求数列

2、通项公式有以下一些常见的方法：观察法；定义法；公式法；累加法；累乘法；待定系数法；构造法。而构造法在高考中考查的也比较多，尤其在一些较难的大题中。本文就利用构造法的一些题型作了归纳，希望对读者有所帮助。【关键词】构造转化等差数列等比数列类型1：数列满足，，求通项公式。[分析]此题为型递推数列，需构造新数列，转化成等比数列求解。解：在两边加1，得，则数列是首项为6，公比为2的等比数列，得，即为所求。[小结]型递推数列，当p=1时,数列为等差数列；当时,数列为等比数列。当，且可构造形类型的等比数列，即，其中公比为,类型2

3、：在数列中，，．求通项公式[分析]此题为型递推数列，需构造新数列进行转化但又区别于上题。解：在两边同除以，得，设，则，则为等差数列，，，．[小结]型递推数列，区别于上题，需要在等式同除以，即，设转化为类型1变题：（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，，求数列的通项公式[分析]在等式两边同除以，即设利用累加法即可求出数列的通项公式:()而后求出类型3：数列满足，，求通项公式[分析]将已知等式取倒数得，令转化为即为类型1[小结]型递推数列的通项公式的求法：取倒数得，设，则，即为类型变题：（2006年江西理第22题）已知数列满足

4、，，求通项公式。[分析]取倒数得，观察到等式最右边出现了这样一部分，即最左边必须出现对应的，等式两边同时乘以，即有，设得又转化为类型1以上是给出连续两项与之间的关系，有时会出现三项之间的一些关系。（2009全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。解：（I）由及，有由，．．．①　则当时，有．．．．．②②－①得又，是首项，公比为２的等比数列．（II）由（I）可得，　　　数列是首项为，公差为的等比数列．　　　，[小结]第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找．第（II）问中由（

5、I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．变题：在数列中，，，，求。[分析]在两边减去，得∴是以为首项，以为公比的等比数列，∴，由累加法可求结果总而言之，构造法虽然看上去比较难。但都是以最基本的等差、等比数列作为依据来进行构造。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而构造法考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“构造和转化”的水平上；同学们应该在学习中不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.作者姓名：

6、杨益锋工作单位：江苏省包场高级中学通讯地址：江苏省包场高级中学邮政编码：226151联系电话：13626288012邮箱：younger_29@163.com现有职称：中学二级