构造法在数列中求通项公式的应用 毕业论文

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1、目录1引言22文献综述22.1、国内外研究现状22.2、国内外研究现状评价22.3、提出问题23、构造法在数列中求通项公式的应用33.1、构造一个等差数列或一个等比数列33.2、型如(为常数且，)的数列43.3、形如的复合数列63.4、取倒数构造等差数列或等比数列73.5、特征方程构造等差数列或等比数列83.6、其它特殊数列的特殊构造方法93.6.1、取对数来构造新的数列93.6.2、换元来构造新的数列103.6.3、两个数列的复合构造等差或等比数列103.7、逐差构造法求高阶等差数列得通项公式113.8、构造一个具备连续递推功能的简单数列133.9、归纳构造法134、数列构造

2、法在数列求和中的应用154.1、逐差构造法154.2、利用组合数公式构造数列的通项求和164.3、拆项构造法165、数列构造在证明中的运用175.1、构造数列证明不等式175.2、构造数列证明整除性命题185.3、构造数列证明恒等式196.参考文献20201引言构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法，基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思

3、维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助。数列的实质是“按照一定规律”排列成的一列数，描述这种“规律”的最简单的形式是通项公式。因此，求数列的通项公式是研究数列的一个主要课题。等差数列和等比数列以及它们的前n项和所成的数列是一些最特殊﹑最基本的数列。它们的通项公式用演绎法套公式解决。对于其它类型的数列，构造法求通项公式是一种重要的方法，即构造一个与原数列相关的新数列，转化为具有特殊性质的数列，从而找到解题的新法案。下面我们通过举例来说明通过数

4、列构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新.2文献综述2.1、国内外研究现状国内外对数列的研究大多侧重于研究数列的通项公式及数列的求和、数列在生活中的应用，如楼梯设计、人口增长问题、存款利率问题、分期付款问题等多方面的应用．2.2、国内外研究现状评价数列是以种特殊的函数，在研究数列的问题上不能只按数列的思想来看待问题，应用函数的观点来看待数列，看待问题．2.3、提出问题20高中教材中的数列都是一些简单、低阶的数列，很难培养学生的发散思维和创新能力，因此应把数列穿插到函数中和适当讨论一些高阶的数列的通项公式、求和，以达到训练学生发散思维，提高学生的思想的创新

5、能力.3、构造法在数列中求通项公式的应用3.1、构造一个等差数列或一个等比数列一个非等差、非等比数列，给定初始项的值及一个递推公式（如某些高阶递归数列），通过递推关系式直接变形，或应用待定系数法，若能构造成一个等差数列或以个等比数列，那么它的通项公式便可求得。例1在数列中，已知，，求通项.解递推式两边同时除以（，否则与矛盾）；构造辅助数列；是与-3为首项，-2为公差的等差数列-+===1-把代入上式，得例2已知数列满足且，求通项.解用待定系数法，构造等比数列.假设可转化为20即比较系数可知，则、为方程的两根：，原关系式化为构造一个以为首项，为公比的等比数列……把上面各式累加起来

6、：，其中解得3.2、型如(为常数且，)的数列型如(为常数且，)的数列，其本身并不是等差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式.（1）（为常数），可以构造等比数列求解.20例3已知数列满足，，求通项.解由，得又，故数列是以首项为，公比为的等比数列所以注：一般地，递推关系式(、为常数，且，)可等价地改写成，则为等比数列，从而可求．（2）为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解.如（为常数），两边同除以，得，则可转化为得形式.例4已知数列中，，，求通项.解由条件得令，则即，又，所以数列为等比数列，故有，即所以（3）为等差数列，如型递推式，可构

7、造等比数列求解.例5已知数列满足，，，求.20解令，则所以，带入已知条件得即令，，解得：，所以，且故是以3为首项，为公比得等比数列因此，故.注：此例通过引入一些尚待确定的系数，转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．3.3、形如的复合数列形如的复合数列，可先构造等差数列或等比数列，再用叠加法、叠乘法、迭代法等方法求解．例6已知数列满足，，，求.解有已知可得:又所以数列是以首项为，公比为的等比数列所以即，20亦即，又所以数列是以首项为2，公差为6的等差数列故因