2015年中考数学复习《剖析一道中考数学压轴题》解题方法

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1、剖析一道中考压轴题一、试题呈现（2014淮安）如图1，矩形OABC顶点B的坐标为(8，3)，定点D的坐标为(12，0)．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动；动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．(1)当t＝_______时，△PQR的边QR经过点B；(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；(3)如图2，过定点E(5，0)作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR

2、的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN＝45°，求t的值．二、典型错误剖析(1)比较简单，分析略；(2)本小题主要错误是漏解或计算有误，关键要理清图形运动过程中几种临界状态，进行分类讨论；(3)最后一小题的主要错误有：①没有抓住正方形中45度角的作用，不知道这个特殊角该如何用；②想通过作高，结合45度角利用等积思想列方程，结果方程次数超过2次无法解出t值；③列出方程，结果计算错误．三、解法分析(1)△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，∴AB＝AQ，即3＝4－t，∴t＝1

3、．即当t＝1秒时，△PQR的边QR经过点B；(2)①当0≤t≤1时，如图3所示，设PR交BC于点G，过点P作P⊥BC于点H，则CH＝OP＝2t．GH＝PH＝3．②当1，∴AE＝AB＝3，∴四边形ABFE是正方形，如图6，将△AME绕点A顺时针旋转90°，得到△ABM'，其中AE与AB重合．解得n＝－2＋，或n＝－2－（舍去）．∴2－t＝2＋解得：t＝8－2．∴若∠MAN＝45°，则t的值为（8－2）秒．笔者认为，本题可以将复杂的

4、动点或线段转化为坐标，利用直角坐标系，找到等量关系，进而转化为一元二次方程来解决．结合动点及等腰直角三角形，可得M（5，6－），N（6＋，3）．从图6中得基本图形为正方形＋45°角．下面是笔者研究的另外几种方法．法2旋转＋全等．如图7，将△AME绕着点A顺时针旋转90°，使得AE与AB重合，则根据法1，MN＝EM＋BN．代入坐标，将这个等量关系转化为方程，得化简得t2－16t＋36＝0，解得t1＝8－2，t2＝8＋2（舍去）．法3将△ANB绕着点A逆时针旋转90°，其余同法2．法4将45°角转化为90度角构造全等．如图8，作出△AMN的外接圆，圆心为

5、K，则KM＝KN，∠MKN＝2∠MAN＝90°．过点K分别向EF和FB作垂线段，垂足分别为H、I，则∠HKI＝90°，可得△KHM≌AKIN，∴KH＝KI，MH＝NI．设K(a，b)，则有a－5＝3－b，①6－t－b＝6＋t－a．②根据①②，可解得K（t＋4，－t＋4），再由KN＝KA，可得方程，解之即可．四、对教学的启示(1)把握“四步”，力求正确规范不管是什么问题，拿到题目不要急于下笔，要做到逐字读题，仔细审题，规范答题，细心检查．在平时的教学和作业要求中，应该重视培养良好的学习习惯，严格执行解题规范，才能在解题中做到有条不紊，发挥正常水平．(2

6、)重视“四基”，提升思维品质平时教学中要善于归纳总结数学中常用的思想方法，如：分类讨论，数形结合，类比等数学思想．要体现学生的主体地位，从学生的角度去设计一些贴近生活，利于操作，让学生感兴趣的活动，并让学生在活动中独立思考、主动探索、合作交流，使学生能够通过活动，理解和掌握基本的知识和技能，提高数学思维品质，获得数学活动经验．(3)培养“四能”，善于反思创新课堂教学中要给学生留有发现问题和提出问题的空间，教师不可包办、代办，要引导学生自主思考，合作探究，增强数学活动意识，从历年各地中考试题的立意来看，“四能”不仅要求学生会根据已有的数学知识和数学思想

7、方法分析和解决问题，更是要求学生有发现问题和提出问题的能力，要求学生学会知识迁移，提高创新能力，这些都需要我们在今后教学中加以重视和培养．