重难点3-2 解三角形的综合应用（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

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重难点3-2解三角形的综合应用解三角形一直是高考数学中的热门考点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。【题型1四边形中的解三角形问题】满分技巧四边形中的解三角形问题通常需将四边形分成多个三角形，观察各个三角形之间的关系，找出同角、共边的三角形，有时还需结合三角恒等变换。【例1】（2024·湖南娄底·高三统考期末）如图所示，在平面四边形中，角为钝角，且.（1）求钝角的大小；（2）若，求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，所以，又，所以，即，解得或者，又为钝角，所以.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）设，四边形内角和为，由（1）的结论知：，在中，由正弦定理得：，即，在中，，即，又，则，即，即，，即，，即，即的大小为.【变式1-1】（2024·云南昆明·统考一模）在中，，，.（1）求的面积；（2）如图，，，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，,所以，因为，，所以，在中，由正弦定理可得，解得.又因为，所以.（2）由（1）可知，，因为，所以，又因为，即，故，所以，，在中，由余弦定理可得，解得.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2024·重庆·高三重庆八中校考开学考试）已知四边形的外接圆面积为，且为钝角，（1）求和；（2）若，求四边形的面积．【答案】（1），；（2）【解析】（1）四边形的外接圆面积为，即的外接圆面积为，设的外接圆半径为，则，解得，在中，，即，故，因为为钝角，所以为锐角，故，由余弦定理得，即，故，解得，负值舍去，（2），因为，所以，在中，由正弦定理得，又，故，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，故，四边形的面积为.【变式1-3】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）如图，在四边形中，为的中点，，，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）求；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，，，为的中点，所以在中，，所以，所以，在中，，所以，.（2）因为，所以，所以，所以，在中，，所以【题型2解三角形中的中线应用】满分技巧1、中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2+AC2=2(BD2+AD2)【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中2、向量法：AD2=14b2+c2+2bccosA【点睛】适用于已知中线求面积（已知BDCD的值也适用）.【例2】（2024·广东广州·广州六中校考三模）在中，角，，对应的边分别为，，且.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）求角；（2），，点在上，，求的长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，，得，由余弦定理，得，即，所以，由，得.（2）由（1）知，，所以，即，由，解得，即，设，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，整理得，即，解得，所以.【变式2-1】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）在中，内角所对应的边分别为，且满足．（1）求角；（2）若，且，求边的中线长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）对于，由正弦定理得，因为，所以，即，由角为的内角可得；（2）因为，所以，又角为的内角，所以，则，即是一个角为的等腰三角形，设上的中点为，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，即，所以，所以，即边的中线长为.【变式2-2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）若，BC边上的中线，求的面积．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，即，所以，又因为，所以，所以．（2）方法1：因为，所以，即，所以①；由余弦定理得，②；所以由①②得，所以．方法2：由余弦定理得：，因为，所以①；又②；所以由①②得，    所以．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式2-3】（2024·重庆·统考一模）在梯形中，为钝角，，．（1）求；（2）设点为的中点，求的长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）在梯形中，由为钝角，得是锐角，在中，，则，由余弦定理得，即为等腰三角形，所以.（2）由，得，由点为的中点，得，所以.【变式2-4】（2024·全国·高三专题练习）在中，．（1）求的大小；（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长．条件①：的面积为；条件②：；条件③：．【答案】（1）；（2）不能选①，选②或③，答案均为1【解析】（1）由正弦定理及，得．①因为，所以．②由①②得．因为，所以．所以．因为，所以．（2）选①，的面积为，即，即，解得，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 因为，由余弦定理得，即，解得，由基本不等式得，但，故此时三角形不存在，不能选①，选条件②：．由（1）知，．所以，所以．因为，所以．所以，即．所以是以为斜边的直角三角形．因为，所以．所以边上的中线的长为．选条件③：．由余弦定理得，即．设边上的中线长为，由余弦定理得，所以边上的中线的长为1．【题型3解三角形中的垂线应用】满分技巧1、分别为边上的高，则2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在中，内角A，B，C满足学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ．（1）求；（2）若边上的高等于，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，因为，由正弦定理得：，由余弦理得又因为，所以，．（2）如图：设边上的高为，为垂足，在中，；在中，，，，设，则，，所以，所以.【变式3-1】（2024·福建·高三校联考开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）过点A作的垂线与的延长线交于点D，，的面积为，求的周长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，由正弦定理得．两边除以，得，由二倍角公式，有，整理为，上式因式分解为，解得或（舍去），学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 又由，可得；（2）由．有，又由，可得，有，可得，又由的面积为及，有，代入，可得，，又由，有，代入，可得，在中，由余弦定理，有，有的周长为．【变式3-2】（2024·江苏常州·高三统考期末）记的内角，，的对边分别为，，，边上的高为，已知．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）或2；（2）【解析】（1）余弦定理得，，又，所以，代入，，或2．（2）由正弦定理得，又，，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，，，，，，，．【变式3-3】（2024·江西赣州·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）证明：；（2）记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．【答案】（1）证明见解析；（2）直角三角形.【解析】（1）因为，由正弦定理得，，整理可得，，又，于是，即，因为，所以，所以或（舍去），所以；（2）根据等面积法可知，即，由，可得，又由及正弦定理可得，，解得，由于，所以，所以，所以是直角三角形.【变式3-4】（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，过点A作，使得四边形ABCD满足，．（1）求角的大小；（2）若，求四边形的面积．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）；（2）【解析】（1）由及正弦定理，得．整理化简得．由余弦定理得．又，所以．（2）设，则，．在中，由正弦定理得．所以．在中，由正弦定理得，所以，即．所以，即．注意到，所以，．所以，，．所以四边形的面积为．【题型4解三角形中的角平分线应用】满分技巧如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，c1、利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD2、内角平分线定理：AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，则ABAC=BDDC.说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 3、等面积法：因为S∆ABD+S∆ACD=S∆ABC，所以12c∙ADsinA2+12b∙ADsinA2=12bcsinA，所以b+cAD=2bccosA2整理的：AD=2bccosA2b+c（角平分线长公式）【例4】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）在中，.（1）求；（2）若，点在边上，平分，求的长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，由正弦定理得，故由余弦定理可得，因为，所以；（2）因为平分，所以，在中，由正弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以.【变式4-1】（2024·广东湛江·高三统考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.（1）求角A；（2）作角A的平分线与交于点，且，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因，由正弦定理可得：，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 即.因，故，则有，即，因，故.（2）因为为角平分线，所以，所以.因，，，则，即，所以.又由余弦定理可得：，把，分别代入化简得：，解得：或（舍去），所以.【变式4-2】（2024·山东济南·高三统考期末）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．（1）求B，（2）的平分线交边于点D，且，求b．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，，所以，又，所以．（2）因为，即，又，，解得，在中，由余弦定理得，则.【变式4-3】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）在中，已知.（1）求的长；（2）若的平分线交点，求的最大值.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得，，得到，所以，由正弦定理，得到，又，所以.（2）设，因为，所以，又，所以，由余弦定理，，所以当时，取到最大值.【变式4-4】（2023·安徽·高三校联考期末）如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.  （1）求的大小;（2）若,求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为是的角平分线,所以,在中，根据余弦定理得,所以,则，因为，所以.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）因为，所以，在中，由正弦定理得，在四边形中，，所以，则.【题型5解三角形中的等分点应用】满分技巧当所三角形问题不再是中线、角平分线、垂线这些特殊情况时，要注意结合补角的三角函数关系以及同角不同三角形，利用正余弦定理建立方程解出未知量。【例5】（2024·山西太原·高三统考期末）在中，，，分别为内角的对边，点在线段上，，，的面积为.（1）当，且时，求；（2）当，且时，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意得，，，，，，，，，；（2）由题意得，，，，，，，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，，，，，的周长为.【变式5-1】（2024·江苏苏州·高三统考期末）在中，角的对边分别为，已知.（1）求证：；（2）若点在边上，且，求的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为，由正弦定理知，所以，所以3，即，因为，所以，所以.（2）在中，，在中，，所以，所以，所以，因为，所以，所以.【变式5-2】（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为，，，且．（1）求；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）已知，为边上的一点，若，，求的长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，由正弦定理得，因为，可得，所以，即，所以，又因为，可得，所以，可得.（2）在中，由余弦定理得，所以，因为且，所以，所以，又因为，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，解得.【变式5-3】（2023·安徽·校联考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求证：；（2）如图：点在线段上，且，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：由余弦定理得，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 又，可得，即，由正弦定理得，而，代入上式，可得，所以（舍）或，即.（2）因为，，所以，在中，由正弦定理得，而，可得，代入，可得，由余弦定理得.【变式5-4】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若，点在边上，，且，求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理及，得，即，则，而，于是，即，又，即有，则，所以.（2）依题意，，则，而，于是，，解得，又，解得，由余弦定理得，解得，所以.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【题型6与三角值有关的最值范围】满分技巧三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式求最值-化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。2、转为三角函数求最值-化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。【例6】（2024·全国·模拟预测）记的内角所对边分别为，已知．（1）证明：；（2）求的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）已知，由正弦定理得：，整理得：，……①因为……②②代入①有：，再由正弦定理得．（2）由余弦定理得：，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．【变式6-1】（2024·河北邢台·高三统考期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】（1），由正弦定理得．因为，所以．因为为锐角三角形，所以．（2）因为，所以．因为为锐角三角形，所以得．因为，由，得，所以.即的取值范围为.【变式6-2】（2024·山东枣庄·高三统考期末）在中，角所对的边分别为.若.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，整理得，所以，由正弦定理得：，因为，所以，所以.（2）因为为锐角三角形，，所以，且，所以，解法，因为，所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，即的取值范围是.解法，因为，所以，得，所以，即的取值范围是.【变式6-3】（2023·湖南永州·统考二模）记三个内角的对边分别为，已知为锐角，．（1）求；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）无最小值；【解析】（1）因为，由正弦定理得，由余弦定理可得，所以可得，解得或；又为锐角，所以，因此；（2）结合（1）中，又可得：；令，则，又为锐角，，所以，可得，所以，当时，恒成立，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 即可得为单调递增，所以时，，所以无最值；因此无最小值.【变式6-4】（2023·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理可得，，从而可得，，又为三角形的内角，所以，于是，又为三角形的内角，因此.（2），由可知，，，从而，因此，故的取值范围为.【题型7与边或周长有关的最值范围】【例7】（2022·河南·高三专题练习）已知中，角所对的边分别为，若，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】因为，可得，即，即，可得，因为，则，所以，解得，又因为，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以，即，当且仅当时等号成立.故选：C．【变式7-1】（2022·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则的最大值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，即,由正弦定理可得,即，即，因为,所以,因为,所以;由正弦定理可得,则,其中，,因为，所以,从而当时,取得最大值为，故选：A【变式7-2】（2024·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.在中，角所对的边分别为，__________，且.求：学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）；（2）周长的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）若选①，由正弦定理得：，，，，，.若选②，，，，.若选③，，由正弦定理得：，由余弦定理得：，，.（2）,，，，，，即，所以△ABC周长的取值范围.【变式7-3】（2024·青海西宁·高三统考期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，所以.因为，所以，所以.（2）由余弦定理可得，则，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即，解得.因为，所以.综上，的取值范围为.【变式7-4】（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且的面积为（1）求；（2）求周长的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，即，则，由，得.（2），得，由余弦定理，有，得，周长，当且仅当时取等号，所以周长的最小值为.【题型8与面积有关的最值范围】【例8】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．（1）求角的大小；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）若时，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，当且仅当时取等，因此的面积，所以当时，面积取得最大值.【变式8-1】（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在锐角中，角所对应的边分别为，已知．（1）求的值；（2）若，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1），由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以．（2）在锐角中，，记的面积为．由正弦定理得，即．所以．因为在锐角中，，所以，解得，则，故．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式8-2】（2024·上海普陀·高三校考期末）在中，已知分别为的对边，且，，（1）求满足的表达式（2）如果，求出此时面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题设，所以，则，，又，则，所以，故，故.（2）由，故，且，由，即，故，又面积，当，即时，.【变式8-3】（2024·江西·高三校联考期末）如图，在△ABC中，，D为△ABC外一点，，记，.（1）求的值；（2）若的面积为，的面积为，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，所以，即.（2）由题意知，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，由（1）知，所以，，所以，所以当时，取得最大值，最大值为.【变式8-4】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.（1）在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）（2）若为锐角三角形，求面积的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）设的内切圆半径为r，因为，所以，化简得：，所以，因为，所以，选择①，因为，所以，因为，，所以，整理得，方程无实数解，所以不存在．选择②，因为，所以，因为，所以，所以，因为，，所以，整理得，方程无实数解，所以不存在．选择③，由得：，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，即，所以，因为以，，所以，所以，解得，所以存在且唯一，的周长为．（2）由（1）知，，面积，因为，所以，因为为锐角三角形，所以，，解得：，所以，所以，，，所以的取值范围为，而面积.（建议用时：60分钟）1．（2023·广东深圳·高三校考期末）在平面四边形中，，，对角线与交于点，是的中点，（1）若，求的长；（2）若，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由余弦定理可得，所以，化简得，解得，因为是的中点，所以，在中，由余弦定理可得学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，所以，因为，所以，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，所以；（2）因为，，所以，因为，所以，设，所以，即，解得，所以，在中，由余弦定理可得.2．（2024·浙江·校联考一模）在中，内角所对的边分别是，已知．（1）求角；（2）设边的中点为，若，且的面积为，求的长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由正弦定理得，，因为，所以，化简得，，在中，由余弦定理得，，又因为，所以（2）由，得，由，得，所以．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 又因为边的中点为，所以，所以3．（2023·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知中，．（1）求；（2）的平分线交于，求的长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理可得，即，又为三角形内角，，.（2）由余弦定理可得，解得或（舍）又由角平分线定理有，即，解得，所以在中，由余弦定理有.4．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）在中，内角，，所对边分别为，，，．（1）求的值；（2）若，，点在内部，且，，求的面积．【答案】（1）0；（2）．【解析】（1）在中，，由正弦定理可得：，∵，∴，∴，∵，∴.所以：（2）如图：，所以在线段的中垂线上，作，，垂足分别为，.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 则，设，则中，；在中，；在中，，所以：，解得：或（舍去，因为此时点在外部）.所以.5．（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）在中，角所对的边分别为边上的高设为，且.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，在中，由余弦定理和可得，.，又由面积公式可知，，由得又∴，（2）由题意及（1）得，在中，.过作的垂线，且使，则，，即，得，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，，由，得，的取值范围为.6．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）在中，已知．（1）若，求的值；（2）已知中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因为，得到，即，由平方关系得，整理得到，解得或.（2）因为，得到，整理得到，所以，又，所以，得到，又是的中点，所以，又，得到，整理得到，又，得到，所以.7．（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为.（1）求的值；（2）若为线段上一点且满足平分，求的面积的取值范围.【答案】（1）4；（2）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】（1）由题意知，即，故，即，结合，得；（2）由于平分，故，故，而，即得,设，则，即，则，故，当，即时，取到最大值，最大值为3；又，满足，当无限趋近于1或2时，无限趋近于0，故的面积的取值范围为.8．（2024·山东威海·高三统考期末）在中，角所对的边分别为记的面积为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）24【解析】（1）因为，所以，可得，因为，所以.（2）由余弦定理可知，即，因为，所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.9．（2024·湖北·校联考模拟预测）在中，已知，D为的中点.（1）求A；（2）当时，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1），，即，，即.或，当时，，由，有，即时.当时，（舍）..（2）设，，由（1）及余弦定理有，即.，即，当且仅当时等号成立.由D为边的中点有，，当且仅当时等号成立.，当且仅当时等号成立.的最大值为.10．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）记钝角的内角的对边分别为．若为锐角且．（1）证明：；（2）若，求周长的取值范围．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由条件可知：，所以，因为，所以，所以，因为，所以，由正弦定理可知：.（2）因为且，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以周长的取值范围是.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司