重难点6-1 空间角与空间距离的求解（8题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）.docx

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重难点6-1空间角与空间距离的求解空间角与空间距离问题一直是高考数学必考点与热点考向。通常小题及解答题的第2小问考查，难度中等。在高考复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用。【题型1几何法求异面直线夹角】满分技巧1、求异面直线所成角一般步骤：（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：（1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)；（2）中位线平移法；（3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．【例1】（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，是圆锥的顶点，是底面直径，点在底面圆上．若为正三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【变式1-2】（2024·广东·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【变式1-3】（2022·全国·模拟预测）已知正方形的边长为2，把沿折起，使点A与点E重合，若三棱锥的外接球球心O到直线的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．0【变式1-4】（2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）在正四棱台中，，点是底面的中心，若该四棱台的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【题型2向量法求异面直线夹角】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 满分技巧异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.【例2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，且，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的正弦值是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023·安徽·高三校联考期末）已知是圆锥底面的直径，为底面圆心，为半圆弧的中点，，分别为线段，的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【变式2-2】（2024·江西·高三统考期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，，分别为上、下底面圆的直径，四面体的体积为，则直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【变式2-3】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）三棱锥中，平面，，.，点是面内的动点（不含边界），，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式2-4】（2023·广东汕头·高三潮阳实验学校校考阶段练习）正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，则异面直线与所成的角为（）A．B．C．D．【题型3几何法求直线与平面夹角】满分技巧1、垂线法求线面角（也称直接法）：（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。3、公式法求线面角（也称等体积法）：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。公式为：sinθ=ℎl，其中θ是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，l是斜线段的长。方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S射影，平面和平面所成的二面角的大小为，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。【例3】（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【变式3-1】（2024·山西运城·高三统考期末）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与平面夹角的正弦值为（）A．B．C．D．【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥的高学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 的中点作平行于底面的截面，若四棱锥与四棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【变式3-3】（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在三棱台中，平面，，，.（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角正弦值.【变式3-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，．（1）求证：平面平面；（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．【题型4向量法求直线与平面夹角】满分技巧直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【例4】（2023·福建福州·高三校联考期中）正四棱柱中，，四面体体积为，则与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【变式4-1】（2023·上海嘉定·高三校考期中）在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式4-2】（2023·四川南充·统考一模）如图，在四棱锥中，平面，，，．（1）求证：平面；（2）若，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值．【变式4-3】（2023·四川雅安·统考一模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【变式4-4】（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）如图，己知三棱台的高为1，，为的中点，，，平面平面．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小．【题型5几何法求平面与平面夹角】满分技巧1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。（2）具体演示：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。4、射影面积法求二面角【例5】（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥的外接球半径为，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【变式5-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为.【变式5-2】（2024·北京海淀·高三统考期末）在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．4B．2C．D．【变式5-3】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（）A．B．C．D．【变式5-4】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，点在平面内的射影D在线段AC上，，，.（1）证明：；（2）设直线到平面的距离为，求二面角的大小.【题型6向量法求平面与平面夹角】满分技巧平面与平面的夹角：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.【例6】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）如图，在三棱锥中，，，平面，平面平面，是的中点.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：;（2）求平面与平面的夹角.【变式6-1】（2024·云南昆明·统考一模）如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，.（1）证明：平面平面；（2）是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由.【变式6-2】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为矩形，，，，点M在棱PC上且．（1）证明：M为PC的中点；（2）求平面PBD与平面MDB的夹角．【变式6-3】（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）如图，在三棱柱中，，，为的中点，平面平面．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：平面；（2）若，二面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．【变式6-4】（2024·江苏南通·高三统考期末）已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的一点，，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【题型7几何法解决空间距离问题】满分技巧点面距的求解方法1、定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．【例7】（2024·河北·高三校联考期末）已知正方形的边长为1，将正方形绕着边旋转至分别为线段上的动点，且，若，则的最小值为（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【变式7-1】（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（）A．1B．C．1或2D．2或【变式7-2】（2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）如图，在正四棱柱中，为的中点，则中点到平面的距离为．【变式7-3】（2024·陕西·高三校联考开学考试）如图，在三棱台中，，，．（1）证明：；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）求点到平面的距离．【变式7-4】（2023·广东·统考二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（）A．B．C．D．【题型8向量法解决空间距离问题】满分技巧点到平面的距离：已知平面的法向量为,是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）.注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。【例8】（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（）.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【变式8-1】（2024·北京昌平·高三统考期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（）A．B．C．D．1【变式8-2】（2023·河北邢台·高三宁晋中学校联考开学考试）已知四棱台中，底面为正方形，，，，⊥底面．（1）证明：．（2）求到平面的距离．【变式8-3】（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：平面；（2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.【变式8-4】（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，.（1）若，求证：；（2）若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离.（建议用时：60分钟）1．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知四棱锥底面是矩形，其中，，侧棱底面，E为的中点，四棱锥的外接球表面积为，则直线与所成角的正弦值为（）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 2．（2023·上海虹口·高三校考期中）如图所示，在正方体中，E为线段上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（）A．直线B．直线C．直线D．直线3．（2024·陕西渭南·统考一模）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．4．（2023·山东青岛·高三统考期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若为线段中点，则点到直线的距离为（）A．B．C．D．5．（2023·山东济宁·高三济宁一中校考阶段练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregularsolid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是（）A．B．C．D．6．（2024·山东德州·高三统考期末）（多选）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）A．点到的距离为B．面与面的距离为C．直线与平面所成的角为D．点到平面的距离为学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 7．（2023·江苏镇江·高三校考阶段练习）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，点P是线段的中点，点Q是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A．平面B．Q到平面的距离为C．与所成角的取值范围为D．三棱锥外接球体积的最小值为8．（2023·广西·模拟预测）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为．9．（2024·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图，在圆台中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，,点D是的中点，为平面与平面的交线，则交线与平面所成角的大小为．10．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，为的中点．（1）求异面直线与所成的角；（2）求二面角的余弦值．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 11．（2024·重庆九龙坡·高三重庆实验外国语学校校考开学考试）如图．在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，面底面，是棱的中点．（1）证明：；（2）若，且二面角的大小为，求异面直线与所成角的正切值．12．（2024·山西临汾·统考一模）如图，在三棱柱中，，，，二面角的大小为.（1）求四边形的面积；（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司