热点6-1 线线、线面、面面的平行与垂直（6题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）.docx

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热点6-1线线、线面、面面的平行与垂直在高考数学中，本部分内容主要分两方面进行考查，一是以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以小题的形式出现，题目难度较小；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选择题、填空题或解答题的第（1）问的形式考查，属于中档题。【题型1空间点线面位置关系判断】满分技巧1、判断与空间位置关系有关的命题的方法：（1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断；（2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定。2、两点注意：（1）平面几何的结论不能完全引用到立体几何中；（2）当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与提升或公认结论相矛盾的命题，进而作出判断。【例1】（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式1-1】（2024·江苏徐州·高三校考开学考试）已知两条不重合的直线和，两个不重合的平面和，下列四个说法：①若，，，则②若，，，则③若，，，则④若，，，则其中所有正确的序号为（）A．②④B．③④C．④D．①③学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2024·江西·高三校联考开学考试）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式1-3】（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则且C．若，则D．若，则【变式1-4】（2024·云南昆明·统考模拟预测）（多选）已知直线a，b，c与平面，，，下列说法正确的是（）A．若，，，则a，b异面B．若，，，则C．若，，则D．若，，则【题型2共面、共线、共点证明】满分技巧1、证明点线共面问题的两种方法（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；（2）辅助平面法：先证有关点、线共平面，再证其他点、线共平面,最后证平面,重合.2、证明点共线问题的两种方法（1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；（2）直接证明这些点都在一条特定直线上.3、证明三线共点问题的步骤第一步：先证其中两条直线交于一点；第二步：再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线。【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．三点共线，且B．三点共线，且C．三点不共线，且D．三点不共线，且【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，证明：四点共面．【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点．（1）证明：、、、四点共面；（2）对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；（3）证明：、、三线共点．【变式2-3】（2023·河南·高三校联考阶段练习）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：四点共面；（2）若，求平面与平面夹角的正弦值.【变式2-4】（2024·河北衡水·河北冀州中学校考一模）如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面.（1）证明：四点共面；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求长.【题型3线线、线面、面面平行证明】满分技巧1、线线平行的证明方法（1）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；（2）利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；（3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2、线面平行的判定方法（1）利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点；（2）利用线面平行的判定定理：如果平面外有一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行线面平行”）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （3）利用面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面。（简记为“面面平行线面平行”）3、面面平行的判定方法（1）面面平行的定义：两个平面没有公共点，常与反证法结合（不常用）；（2）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（主要方法）；（3）垂直于通一条直线的两个平面平行（客观题可用）；（4）平行于同一个平面的两个平面平行（客观题可用）.【例3】（2024·全国·高三专题练习）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．若平面平面，证明：.【变式3-1】（2024·青海西宁·高三统考期末）如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则（）A．B．C．D．平面【变式3-2】（2024·陕西西安·统考一模）如图，在四棱锥中，平面，且是的中点，点分别在上，且．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【变式3-3】（2024·内蒙古包头·高三统考期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．（1）证明：平面；（2）求四棱锥的体积．【变式3-4】（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）如图，梯形是圆台的轴截面，，分别在底面圆，的圆周上，为圆台的母线，，若，，，分别为，的中点，且异面直线与所成角的余弦值为.（1）证明：平面平面；（2）求圆台的高.【题型4线线、线面、面面垂直证明】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 满分技巧直线与平面垂直的判定方法1、利用定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面；2、利用线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直；3、可作定理用的正确命题：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；4、面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面；5、面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另一个平面；6、面面垂直的性质：若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.【例4】（2024·北京西城·高三北师大实验中学校考开学考试）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体.小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断，其中不正确的是（）A．平面B．平面C．平面平面D．平面平面【变式4-1】（2022·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（1）证明：平面平面；（2）若点M在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式4-2】（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形．（1）证明：．（2）若，求点到平面的距离．【变式4-3】（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在五面体中，四边形的对角线交于点，为等边三角形，，，.（1）证明：平面；（2）若，求五面体的体积.【变式4-4】（2023·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【题型5平行关系中的动点探究问题】满分技巧1、探索性问题的一般解题思路：先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．2、探索性问题的答题步骤：第一步对“是否存在”给出作答，写出探求的最后结论；第二步探求结论的正确性。【例5】（2024·山东济宁·高三校考开学考试）如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．（1）试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；（2）若，且，求平面与平面所成夹角的余弦值．【变式5-1】（2024·陕西·校联考一模）如图，在等腰梯形ABCD中，面ABCD，面ABCD，，点P在线段EF上运动．（1）求证：；（2）是否存在点P，使得平面ACE?若存在，试求点P的位置，若不存在，请说明理由．【变式5-2】（2023·北京·高二期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，E学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 是PD的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.【变式5-3】（2023·河北承德·高三校联考期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，且、分别是、上靠近的三等分点．（1）求证：；（2）在上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【变式5-4】（2023·重庆·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，，平面，，点为中点.（1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）当，求平面与平面所成二面角的正弦值.【题型6垂直关系中的动点探究问题】【例6】（2022·全国·模拟预测）如图1，在等边中，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成使得平面平面，如图2.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【变式6-1】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．（1）若，求证：平面平面；（2）是否存在，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【变式6-2】（2023·重庆·高三重庆八中校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.（1）求证：平面；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，．（1）求证：平面．（2）线段上是否存在点M，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【变式6-4】（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.（1）证明：平面；（2）在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.（建议用时：60分钟）1．（2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）已知是空间中三条互不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．，则B．且，则C．，则D．，则2．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知表示两条不同直线，表示平面，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）如图，在正方体中，均为棱的中点，现有下列4个结论：①平面平面；②梯形内存在一点，使得平面；③过可作一个平面，使得到这个平面的距离相等；④梯形的面积是面积的3倍.其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．14．（2023·上海金山·统考一模）如图，在正方体中，E、F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）．A．若，，则B．若，，则平面平面C．若，，则面D．若，，则5．（2024·云南大理·统考模拟预测）（多选）如图所示，在平行六面体中，为正方形的中心，分别为线段的中点，下列结论正确的是（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．平面B．平面平面C．直线与平面所成的角为D．6．（2024·湖南长沙·统考一模）（多选）在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，则（）A．存在点，使得面B．存在点，使得面C．当点不是的中点时，都有面D．当点不是的中点时，都有面7．（2023·广东广州·高三广州市天河中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，是正方形，平面，分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）证明：平面平面．8．（2023·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）如图，已知四边形为菱形，平面，平面，.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：平面平面；（2）若平面平面，求的长.9．（2023·江西·高三鹰潭一中校联考期中）如图1，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点在线段上，且在几何体中，解决下面问题.（1）证明：平面；（2）若平面平面，证明：.10．（2023·广东中山·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，为中点.（1）求证：平面；（2）求证：；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 11．（2024·河南安阳·高三安阳一中校考期末）如图,在四棱锥中,底面是菱形,,三角形为正三角形,且侧面底面.分别为线段,的中点.（1）求证:平面;（2）在棱上是否存在点,使平面平面,请说明理由.12．（2023·山东滨州·高三统考期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）在线段上是否存在点，使得平面?请说明理由．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司