重难点4-2 奔驰定理及三角“四心”向量式（5题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

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重难点4-2奔驰定理及三角形“四心”向量式平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。【题型1三角形“重心”及应用】满分技巧常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点（1）（2）（3）若或，，则P一定经过三角形的重心（4）若或，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角形的重心【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】A【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ∴动点的轨迹一定通过的重心，如图，故选A．【变式1-1】（2022·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（）A．外心B．重心C．垂心D．内心【答案】B【解析】如图，取的中点，连接，则．又，，即．又，点在射线上．故的轨迹过的重心．故选：B．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则点是的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【答案】B【解析】过点分别作，，的垂线，，，其垂足依次为，如图所示，由于，根据奔驰定理就有：，即，因此，故点是的内心，B选项正确.故选：B学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考阶段练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心【答案】D【解析】记为的中点，连接，作，如图，则，，因为，所以，所以点在三角形的中线上，则动点P的轨迹一定经过的重心.故选：D.【变式1-4】（2023·河北·高三统考阶段练习）若是的垂心，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在中，取的中点，连接，则，如图，由，得，于是，，由是的垂心，得，则因此，即，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 显然，，令直线交于，交于，在中，，即，则，所以的值为.故选：B【题型2三角形“内心”及应用】满分技巧常见内心向量式：P是∆ABC的内心，（1）ABPC+BCPA+CAPB=0（或aPA+bPB+cPC=0）其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，（2）AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)，则P一定经过三角形的内心。【例2】（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（）.A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】A【解析】因为，且D为中点，，则，又因为，则可得四边形为菱形，即为菱形的对角线，所以平分，即直线经过的内心故选:A【变式2-1】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】在，上分别取点，，使得，，则．以，为邻边作平行四边形，如图，则四边形是菱形，且．为的平分线．  ，即，．，，三点共线，即在的平分线上．同理可得在其它两角的平分线上，是的内心．故选：B．【变式2-2】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】C【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即，所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心，故选：C.【变式2-3】（2023·湖北·模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以，又，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，所以，由余弦定理可得，又，所以，又，所以，所以为以为斜边的直角三角形，设的内切圆与边相切于点，内切圆的半径为，由直角三角形的内切圆的性质可得，故，因为，所以，因为，所以，所以所以.【变式2-4】（2022·辽宁沈阳·高三校考阶段练习）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】延长，分别交于.内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形和三角形中，由正弦定理得：，由于，所以，，同理可得，，.所以，则.故选：C【题型3三角形“外心”及应用】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 满分技巧常用外心向量式：O是∆ABC的外心，（1）（2）OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OA+OC∙AC=0（3）动点P满足OP=OB+OC2+λABABcosB+ACACcosC，λ∈0,+∞，则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外心.（4）若OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OC+OA∙CA=0，则O是∆ABC的外心.【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考期中）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】A【解析】因为，所以，所以，设的中点为，则，则，所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心，故选：A【变式3-1】（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（）A．垂心B．内心C．重心D．外心【答案】D【解析】设线段的中点为，则、互为相反向量，所以，，因为，即，所以，，即，即，即，所以，垂直且平分线段，因此动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心，故选：D.【变式3-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，在中，满足学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，，则点O为该三角形的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心【答案】B【解析】根据题意，，即，所以，则向量在向量上的投影为的一半，所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，所以点O为该三角形的外心，故选：B．【变式3-3】（2023·江苏·高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心【答案】A【解析】设，，以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系，，，，则，，，，则，设，则，，，即，即点的轨迹方程为，而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线，根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心，故选：A.【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】B【解析】设中点为，所以，所以，即，所以，又由为中点可得点在的垂直平分线上，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以点是的外心，故选：B【题型4三角形“垂心”及应用】满分技巧常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：（1）OA∙OB=OB∙OC=OC∙OA（2）OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2（3）动点P满足，λ∈0,+∞，则动点P的轨迹一定过∆ABC的垂心（4）奔驰定理推论：S∆BOC:S∆COA:S∆AOB=tanA:tanB:tanC，tanA∙OA+tanB∙OB+tanC∙OC=0.【例4】（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则点是的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【答案】C【解析】取BC的中点D，如图所示，连接OD，AM，BM，CM．因为，所以，又，则，所以，又由于为的外心，所以，因此有．同理可得，，所以点是的垂心．故选：C．【变式4-1】（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）是所在平面上一点，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】D【解析】因为，则，所以，，同理可得，，故是的垂心.故选：D.【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）若为所在平面内一点，且则点是的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】D【解析】，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 得，即；，得，即；，，即，所以为的垂心.故选：D.【变式4-3】（2023·上海·高三行知中学校考期中）在四面体中，已知，若不是等边三角形，且点在平面上的投影位于内，则点是的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】D【解析】如图，由题意可知平面，因为平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，所以点是的垂心.故选：D.【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）设H是的垂心，且，则．【答案】【解析】∵H是的垂心，∴，，∴，同理可得，，故，∵，∴，∴，同理可求得，∴，，∴，即.【题型5奔驰定理及应用】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 满分技巧奔驰定理及其推论1、奔驰定理：O是内的一点，且，则2、奔驰定理推论：，则①②，，.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。【例5】（2022·全国·高三专题练习）点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】如图所示，延长交于，显然，由面积关系可得，所以，而，所以，所以，即，又由题可知，所以，所以，整理得，所以，故选：A【变式5-1】（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【解析】由得，由得，根据平面向量基本定理可得，，所以，，延长交于，延长交于，则，又，所以，所以为的平分线，同理可得是的平分线，所以为的内心，故选：B【变式5-2】（2024·江西新余·高三统考期末）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（）A．若，则M为的重心B．若M为的内心，则C．若M为的垂心，，则D．若，，M为的外心，则【答案】ABC学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】A选项，因为，所以，取的中点，则，所以，故三点共线，且，同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，所以M为的重心，A正确；B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为，则，，，所以，即，B正确；C选项，若M为的垂心，，则，如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，又，，即，，即，，即，设，，，则，，，因为，，所以，即，同理可得，即，故，，则，故，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，则，故，，故，同理可得，故，C正确；D选项，若，，M为的外心，则，设的外接圆半径为，故，，故，，，所以，D错误.故选：ABC【变式5-3】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．有可能是的重心C．若为的外心，则D．若为的内心，则为直角三角形【答案】AD【解析】对于A，由奔驰定理可得，，因为，，不共线，所以，故A正确；对于B，若是的重心，，因为，所以，即共线，故B错误．对于C，当为的外心时，，所以，即，故C错误．对于D，当为的内心时，（为内切圆半径），所以，所以，故D正确.故选：AD.【变式5-4】（2024·广东广州·执信中学校考模拟预测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（）A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若，为的外心，则D．若为的垂心，，则【答案】ABD【解析】对于A，取的中点D，连接，由，则，所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以A，M，D三点共线，且，设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确；对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，则有，所以，即，故B正确；对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，又，则有，所以，，，所以，故C错误；对于D，如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，由为的垂心，，则，又，则，，设，则，所以，即，所以，所以，故D正确.故选：ABD．（建议用时：60分钟）1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（）A．外心B．重心C．垂心D．内心学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】由题意知，中，，则，即，所以，即，同理，，；所以是的垂心.故选：C2．（2022·山西太原·高三统考期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（）A．重心，外心B．内心，外心C．重心，内心D．垂心，外心【答案】A【解析】设中点为，因为，所以，即，因为有公共点，所以，三点共线，即在的中线，同理可得在的三条中线上，即为的重心；因为，所以，点为的外接圆圆心，即为的外心综上，点依次是的重心，外心.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）在△中，，，，O为△的内心，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，则，因为O为△的内心，所以，从而，解得，，所以.故选：C.4．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】依题意，则是重心，即充分性成立；若是重心时，，可得学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，必要性成立，故选：C.5．（2024·全国·高三专题练习）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（）A．内心B．垂心C．重心D．边的中点【答案】C【解析】由动点满足，且，所以三点共线，又因为为的中点，所以为的边的中线，所以点的轨迹一定过的重心.故选：C.6．（2022·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【解析】充分性：等价于：，等价于：，等价于：所以为的靠近的三等分点，所以点为重心；必要性：若点为重心，由重心性质知，故故选：C7．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】B【解析】设的中点为，因为，所以，即，两端同时点乘，所以学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，所以，所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【答案】C【解析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上；，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上；，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上，故是的内心.故选：C.9．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在锐角三角形ABC中，，，H为的垂心，，O为的外心，且，则（）A．9B．8C．7D．6【答案】C【解析】设的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如图，延长BH交AC于D，延长AH交BC于E，所以，所以，即．又O为的外心，所以，即，又在中，，故，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，与，相减得，所以由正弦定理得，即，解得．故选：C.10．（2023·全国·高三专题练习）已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【答案】A【解析】在中，令线段的中点为，由正弦定理，得，由，得即，而，则，于是得与同向共线，而它们有公共起点，即动点的轨迹是射线除点A外),又重心在线段上，动点的轨迹一定经过的重心．故选：A.11．（2022·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】是三角形的重心，所以，，A错误.根据欧拉线的知识可知，B选项正确.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，所以C选项正确.，所以D选项正确.故选：A12．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.13．（2022·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知点P是的重心，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，是边中点，则共线且，，所以，D正确，由于选项ABC均不能保证系数相等，故不正确．故选：D．14．（2022·江西·高三校联考阶段练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】延长交于点P，是的垂心，，．同理可得，．又，．又，．不妨设，其中．，，解得．当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．故，则，故C为锐角，∴，解得，故选：B．15．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）（多选）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A．若，则点O是的重心B．若，则点O是的内心C．若，则点O是的外心D．若，则点O是的垂心【答案】BCD【解析】对于A，在AB，AC上分别取点D，E，使得，则，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 则四边形ADFE是菱形，且，平分，，，即，，三点共线，即在的平分线上，同理可得O在其它两角的平分线上，所以O为的内心，故A错误；对B，在AB，AC上分别取点D，E，使得，如图，则，且，因为，即，又知，平分，同理，可得平分，故O为的内心，故B正确；对C，取的中点分别为，如图，，，即，所以O是的外心，故C正确；对D，由，可得，即，所以，即点O是的垂心，故D正确.故选：BCD16．（2023·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考阶段练习）（多选）已知为学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所在的平面内一点，则下列命题正确的是（）A．若为的垂心，，则B．若为锐角的外心，且，则C．若，则点的轨迹经过的重心D．若，则点的轨迹经过的内心【答案】ABC【解析】对于A选项，因为，，又因为为的垂心，所以，所以，故正确；对于B选项，因为且，所以，整理得：，即，设为中点，则，所以三点共线，又因为，所以垂直平分，故，正确；对于C选项，由正弦定理得，所以，设中点为，则，所以，所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；对于D选项，因为学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，设中点为，则，所以，所以，所以，即，所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.故选：ABC17．（2023·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）（多选）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（）A．若，则点的轨迹不可能经过的外心B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心C．若，则点的轨迹不可能经过的重心D．若，，则点的轨迹一定过的外心【答案】ABD【解析】若，根据向量共线的推论知：共线，即在直线上，中，则的中点为三角形外心，故有可能为外心，A错；中或，则或为三角形垂心，故有可能为垂心，B错；若为的重心，必有，此时，C对；若，，结合，则点在一个以AB、AC为邻边的平行四边形内（含边界），为锐角三角形，其外心在内，则必过外心；为直角三角形，其外心为斜边中点，则必过外心；为钝角三角形且，其外心在外，即边的另一侧，如下图示，点在平行四边形内（含边界），此时，当外心在内（含边界），则必过外心；当外心在外（如下图为的中垂线），则不过外心；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，，，的轨迹不一定过的外心，D错.故选：ABD18．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（）A．满足，则点是的外心B．满足，则点是的重心C．满足，则点是的垂心D．满足，且，则为等边三角形【答案】ABCD【解析】对于，因为，所以点到的三个顶点的距离相等，所以为的外心，故正确；对于B，如图所示，为的中点，由得：，所以，所以是的重心，故B正确；对于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以点是的垂心，故C正确；对于D，由得：角的平分线垂直于，所以；由得：，所以，所以为等边三角形，故D正确．故选：ABCD．19．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）若是的垂心，且，则的值为．【答案】【解析】由，得，所以，故垂心在中线上，即高线与中线重合，故，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 又，所以，又因为，，得，所以，即，得到，由余弦定理得，又，所以，所以，所以,得到．20．（2023·全国·高三专题练习）在中，给出如下命题:①是所在平面内一定点，动点满足，，则动点的轨迹一定过的重心．②是所在平面内一定点，动点满足，，则动点的轨迹一定过的内心．③是所在平面内一定点，且，则．④若，且，则是等边三角形．其中正确的命题有个．【答案】3【解析】对于①，令点为BC的中点，由于，，根据极化恒等式就有，，于是，，因此动点的轨迹是射线AD，过的重心，故①正确．对于②，取一点使得，并连接AD，如图所示，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 由于，因此，于是，从而的内心在射线AD上．由于，，于是就有，，即，，因此动点的轨迹是射线AD，过的内心，故②正确．对于③，由，可得设的中点为，,所以，故③错误．对于④，根据，结合②，可得的平分线与BC垂直，于是就有．由于，又，得到，因此是等边三角形，故④正确．综上所述，正确的命题有3个．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司