十二大考点+真题模拟题练选填03平面向量（原卷版）.docx

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选填03平面向量【考点01基底拆分】【例1】在中，点满足，则（    ）A．B．C．D．【例2】在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（    ）A．B．C．D．【变式1-1】在中，点D在边AB上且满足，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点13学科网（北京）股份有限公司 F，则（    ）A．B．C．D．【变式1-2】已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（    ）A．B．C．D．【变式1-3】已知，，是直线上不同的三点，点在外，若，则（    ）A．3B．2C．D．【考点02向量共线问题】【例3】已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（    ）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【例4】已知向量，，若，则（    ）A．B．C．7D．8【变式2-1】已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ）A．0B．C．D．【变式2-2】如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ）A．B．C．D．【变式2-3】如图，在中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为．13学科网（北京）股份有限公司 【考点03求数量积】【例5】已知圆的方程为，直线过点且与圆交于两点，当弦长最短时，（    ）A．B．C．4D．8【例6】已知满足，，O为的平分线与边BC的垂直平分线的交点，，则（    ）A．B．C．D．【变式3-1】已知在上的投影向量的坐标为，，则．【变式3-2】是抛物线上异于坐标原点的一点，点在轴上，，为该抛物线的焦点，则（    ）A．12B．11C．10D．9【变式3-3】已知圆的半径为2，弦的长为，若，则（    ）A．-4B．-2C．2D．4【考点04求向量的模】【例7】已知向量，满足，，，则（    ）A．3B．15C．-3或15D．3或15【例8】（多选）已知三个平面向量两两的夹角相等，且，则（    ）A．2B．4C．D．【变式4-1】已知，为非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，则的模为．【变式4-2】已知向量，满足，，，则.【变式4-3】已知两个向量，则当取得最小值时，.【考点05求向量的夹角】【例9】已知非零向量与满足，若，则（    ）A．B．C．D．【例10】已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ）13学科网（北京）股份有限公司 A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式5-1】已知向量，且与的夹角为，，向量与的夹角为，则（    ）A．B．C．D．【变式5-2】在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（    ）A．B．C．D．【变式5-3】若向量，，且，则．【考点06求投影向量】【例11】已知，，若，则在上的投影向量为（     ）A．B．C．D．【例12】已知非零且不垂直的平面向量，满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则，夹角的余弦值的最小值为．【变式6-1】已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（    ）A．B．C．3D．7【变式6-2】已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则实数的值为（   ）A．B．C．D．【变式6-3】在矩形中，，，，则向量在向量方向上的投影为．【考点07坐标法求最值范围】【例13】设向量、、满足，，，，则的最大值等于（    ）A．B．C．D．13学科网（北京）股份有限公司 【例14】如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别在上，且，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（    ）  A．B．C．D．【变式7-1】已知，若动点满足，则的最大值是（    ）A．18B．9C．3D．【变式7-2】如图，在四边形中，已知，点在边上，则的最小值为.【变式7-3】在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则；若，点为线段上的动点，则的最小值为．【考点08三角换元求最值范围】【例15】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则的最小值为（    ）A．-1B．-2C．1D．213学科网（北京）股份有限公司 【例16】已知正方形的内切圆的半径为1，点M是圆上的一动点，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式8-1】如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为；若是圆上的动点，则的取值范围是.  【变式8-2】已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是．【变式8-3】设点Q在半径为1的圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动．O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中，当点P转过角度时，点Q转过角度，则在运动过程中的取值范围为．  【考点09“四心”问题（一）——重心与垂心】【例17】已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ）A．重心B．外心C．内心D．垂心【例18】是所在平面上一点，若，则是的（    ）A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式9-1】如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为（    ）13学科网（北京）股份有限公司   A．2B．C．4D．【变式9-2】已知H为的垂心，若，则（    ）A．B．C．D．【变式9-3】在平行四边形中，为的重心，，则．【考点10“四心”问题（二）——内心与外心】【例19】在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（    ）A．1B．2C．3D．4【例20】在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ）A．垂心B．内心C．重心D．外心【变式10-1】已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（    ）A．内心B．外心C．垂心D．重心【变式10-2】O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ）A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式10-3】在中，，，，为中点，为的内心，且，则（    ）A．B．C．D．【考点11极化恒等式】【例21】如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　）13学科网（北京）股份有限公司   A．B．C．D．【例22】已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（    ）A．B．C．D．【变式11-1】向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ）A．32B．-32C．16D．-16【变式11-2】已知正方形的边长为2，为对角线的交点，动点在线段上，点关于点的对称点为点，则的最大值为．【变式11-3】如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=．【考点12向量与恒成立问题】【例23】已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是（    ）13学科网（北京）股份有限公司 A．或B．或C．D．【例24】中，为边的中点，为线段上的任意一点（不含），且，（为正实数），若恒成立，则实数的最大值为（    ）A．2B．4C．6D．8【变式12-1】已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（    ）A．B．C．D．【变式12-2】已知P是圆C：外一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，总有△为正三角形，当点P运动时，直线l:上存在两点M、N，使得恒成立，则线段MN长度的最大值是．【变式12-3】已知中，，，，M是AB的中点，P为线段DC上的动点，则的取值范围是；延长DC至，使，若T为线段上的动点，且恒成立．则的最大值为．一、一、单选题1．（2024·广东广州·广州六中校考三模）在平行四边形中，，，则（    ）A．B．C．D．2．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）在中，点满足，点满足，若，则（    ）A．B．C．D．3．（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知非零向量与满足，且13学科网（北京）股份有限公司 ，则向量在向量上的投影向量为（    ）A．B．C．D．4．（2023·全国·模拟预测）已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（    ）A．1B．C．2D．5．（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ）A．外心B．内心C．重心D．垂心6．（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（    ）A．6B．3C．D．二、多选题7．（2023·广东·统考二模）若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（   ）A．若，则B．若，则与同向的单位向量为C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D．若，则的最小值为8．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形中，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（    ）13学科网（北京）股份有限公司   A．1B．C．D．39．（2024·安徽淮北·统考一模）如图，边长为2的正六边形，点是内部（包括边界）的动点，，，.（    ）  A．B．存在点，使C．若，则点的轨迹长度为2D．的最小值为10．（2023·福建·统考一模）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（    ）A．与的夹角为B．为定值C．的最小值为D．在上的投影向量为三、填空题11．（2023·天津红桥·统考一模）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则，若，，则的最小值为.12．（2023·四川成都·校联考二模）平面向量，满足，且，则的最小值是．13．（2022·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，13学科网（北京）股份有限公司 在边上，且，则．14．（2023·北京通州·统考三模）已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，则=.1．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量，若，则（    ）A．B．C．5D．62．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ）A．B．3C．D．53．（2023年北京高考数学真题）已知向量满足，则（    ）A．B．C．0D．14．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（    ）A．B．C．D．5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ）A．B．C．D．6．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．7．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是．8．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量满足，且，则13学科网（北京）股份有限公司 （    ）A．B．C．D．9．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量，则（    ）A．B．C．D．10．（2022年新高考天津数学高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为，若，则的最大值为11．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量，满足，，则．12．（2023年天津高考数学真题）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为；若，则的最大值为．13学科网（北京）股份有限公司