八大考点+真题模拟题练选填02复数（解析版）.docx

《八大考点+真题模拟题练选填02复数（解析版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

选填02复数【考点01复数的实虚部及共轭复数】【例1】若，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据复数除法以及共轭复数的概念直接求解.【详解】由题意得，，所以.故选：B【例2】已知复数满足，则的虚部为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由复数除法法则以及共轭复数、虚部的概念即可求解.24学科网（北京）股份有限公司 【详解】由题意，则的虚部为.故选：C.【变式1-1】复数的实部为．【答案】7【分析】直接利用复数的乘方和复数乘法的运算法则计算即可.【详解】．故实部为7，故答案为：7.【变式1-2】若复数满足，则的虚部为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用复数运算化简z，再求共轭复数虚部.【详解】由题意得，，则其虚部为，故选:C．【变式1-3】已知i为虚数单位，若复数，则z的共轭复数（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由复数的除法运算求出后，根据共轭复数概念得结论．【详解】∵，∴的共轭复数为．故选：B．【考点02复数的模及对应象限】【例3】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）A．B．C．2D．【答案】C【分析】根据点的坐标得到，再结合复数的乘法法则和复数模的意义即可求解．【详解】由在复平面内，复数对应的点的坐标是，则，24学科网（北京）股份有限公司 所以，所以．故选：C．【例4】已知，，则实数的值为（    ）A．B．3C．D．【答案】C【分析】根据复数与共轭复数的模的关系，化简复数，即可列方程求解实数的值.【详解】解：因为，且，所以，解得.故选：C.【变式2-1】已知复数满足（其中为虚数单位），则．【答案】【分析】由复数的运算得出，即可根据共轭复数的概念及模长计算得出答案.【详解】由，得，所以，故答案为：.【变式2-2】已知复数，满足，（其中为虚数单位），则的值为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据复数的乘法运算和除法运算可得，，进而根据模长公式即可求解.【详解】由题意可知，，，所以．24学科网（北京）股份有限公司 故选：B【变式2-3】设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（    ）A．  B．C．D．【答案】B【分析】根据复数模的几何意义可判断的轨迹，即可知z在复平面内对应的点在直线上，可得答案.【详解】复数z满足,即，其几何意义为复平面内的点到点和点的距离相等，即点的轨迹为和的垂直平分线，即z在复平面内对应的点在直线上，故，故选：B【考点03复数的分类及对应象限】【例5】已知复数z满足，，则z为实数的一个充分条件是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先，设，代入化简后，利用等式两边相等，即可求得a，再根据充分条件的概念即可得出答案.【详解】解：若z为实数，则设，已知，可得，即，所以，解得，z为实数的一个充分条件是或，故选：C.【例6】若复数满足（为虚数单位），则在复平面内所对应的点位于（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的模长与乘法除法运算求解可得，再根据复数的几何意义分析即可24学科网（北京）股份有限公司 【详解】因为，即，故，所以在复平面内所对应的点为，位于第四象限．故选：D．【变式3-1】若复数为纯虚数，则实数的值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．【详解】为纯虚数，，解得．故选：A．【变式3-2】设复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的除法运算以及复数的几何意义即可得到答案.【详解】，则其在复平面内所对应的点为，其位于第四象限，故选：D.【变式3-3】已知复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据其对应的点所在象限列出不等式组，即可求得答案．【详解】由在复平面内对应的点在第一象限，24学科网（北京）股份有限公司 所以，解得，故则实数a的取值范围为．故选：D．【考点04待定系数法求复数】【例7】若复数z满足.则z等于（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】设出复数，由共轭复数及复数的乘法化简得到，解方程即可求解.【详解】设，则，，则，解得，故.故选：A.【例8】若复数满足（为虚数单位），则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】设，然后根据建立方程求解即可.【详解】设，则，，解得，即.故选：D.【变式4-1】已知复数z的共轭复数为，若（i为虚数单位），则复数z的虚部为（    ）．A．2B．C．D．【答案】A【分析】设，则由列方程组可求出，从而可求得复数z的虚部.【详解】设，则，因为，24学科网（北京）股份有限公司 所以，所以，得，所以复数z的虚部为2，故选：A.【变式4-2】已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设出，得到，，从而列出方程，求出，，得到答案.【详解】设复数，则，因为，所以，解得，因为，，所以，解得，故.故选：B【变式4-3】已知，其中为虚数单位，则（    ）A．16B．17C．26D．28【答案】B【分析】根据复数的运算结合共轭复数、复数相等的概念运算求值.【详解】设，则，∵，即，则，故，解得，故．故选：B．【考点05复数范围内方程根的问题】【例9】已知是关于方程的一个根，则（    ）A．B．24学科网（北京）股份有限公司 C．D．【答案】B【分析】将代入方程，然后利用复数相等列方程组可解.【详解】因为是关于方程的一个根，所以，即，所以，解得.故选：B【例10】已知复数满足，则．【答案】3【分析】通过方程解出，再求出即可求解.【详解】因为，由求根公式可得，，所以.故答案为：3【变式5-1】若复数为方程(，)的一个根，则该方程的另一个复数根是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可.【详解】因为两根互为共轭复数，所以另一根为.故选：A.【变式5-2】已知方程有实根b，且，则复数z等于（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】将代入方程，整理后得到方程组，求出的值，得到答案.【详解】由b是方程）的根可得，整理可得：，所以，解得，所以．24学科网（北京）股份有限公司 故选：A【变式5-3】已知，是方程的两个复根，则（    ）A．2B．4C．D．【答案】B【分析】利用求根公式求出两个复根，然后利用复数的运算法则及模的公式直接计算即可.【详解】已知，是方程的两个复根，所以，则设，，所以，故选：B.【考点06有关复数的轨迹方程】【例11】复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（   ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】设复数，由，利用其几何意义求解.【详解】解：设复数，因为，所以，即复数z表所对应的点在以（5，5）为圆心，以2为半径的圆上，所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.故选：A【例12】已知复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用复数的模公式化简求解.【详解】因为复数z满足，所以，24学科网（北京）股份有限公司 即，化简得：，故选：C【变式6-1】若复数z满足，其中i为虚数单位，则z对应的点满足方程（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用复数模的意义直接计算作答.【详解】在复平面内，复数z对应的点为，则，，因，于是得，所以z对应的点满足方程是：.故选：C【变式6-2】复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由复数模的运算可得结论．【详解】设，∵，∴，即.故选：C．【变式6-3】复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（    ）A．直线B．线段C．两条射线D．圆【答案】A【分析】设出动点Z坐标为，根据题意列出方程，求出结果.【详解】设动点Z坐标为，则，所以，即，化简得：，故动点Z的轨迹为直线.故选：A【考点07有关复数的最值问题】【例13】已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为.24学科网（北京）股份有限公司 【答案】【分析】设，由复数模长运算可求得，由此可设，，从而求得，可确定当时，取得最大值.【详解】设，由得：，，则可设，，，（其中，），则当时，.故答案为：.【例14】复数z满足，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】复数z满足，表示椭圆，求出它的长半轴长，短半轴长，可以利用的几何意义求出它的范围.【详解】复数表示复平面上的点z到和的距离之和是4的轨迹是椭圆，则，的几何意义是复平面上的点到坐标原点的距离，所以.故选：A.【变式7-1】已知复数z满足，则的最大值为．【答案】/【分析】设，由已知条件求出复数对应的点的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解.【详解】设，由，可得，则，即，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆，24学科网（北京）股份有限公司 而表示复数对应的点到坐标原点的距离，所以的最大值就是.故答案为：.【变式7-2】如果复数满足，那么的最大值是.【答案】5【分析】设，，根据题干条件得到，，化简得到，根据求出最大值.【详解】设，，则，变形为，两边平方后得到，两边平方后得到，将代入，即，故，则，当时，取得最大值，最大值为5故答案为：5【变式7-3】若为虚数单位，复数满足，则的最大值为.【答案】【分析】利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果.【详解】复数满足，即即复数对应的点到点的距离满足设，表示复数对应的点到点的距离数形结合可知的最大值故答案为：24学科网（北京）股份有限公司 【考点08复数三角形式（选学）】【例15】欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（    ）A．B．C．1D．【答案】B【分析】由欧拉公式和复数除法运算可求得，由复数虚部定义求得结果【详解】由欧拉公式知：，，，的虚部为．故选：B【例16】棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】根据棣莫弗公式及诱导公式代入计算即可．【详解】解：由已知得，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．【变式8-1】若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r24学科网（北京）股份有限公司 为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据复数的三角形式的定义直接判断.【详解】复数的模为1，辐角为，所以复数的三角形式为.故选：A【变式8-2】（多选）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（    ）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根据题意，设复数，，计算可得，即可选出答案.【详解】因为单位向量分别对应复数，设复数，，因为，所以，即，所以，故选：AD.【变式8-3】任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则.【答案】1【分析】将化为三角形式表示，根据题设棣莫弗定理化简，即可得结果.【详解】由，所以，而，24学科网（北京）股份有限公司 所以.故答案为：1一、一、单选题1．（2023·广东·校联考模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解.【详解】依题意知，，由棣莫弗公式，得，所以.故选：C.2．（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）复数的实部与虚部之和为（   ）A．0B．2C．4D．8【答案】C【分析】应用复数的乘除法化简复数，进而求实部与虚部之和.【详解】，所以实部与虚部之和为.故选：C3．（2023·广东东莞·东莞市东华高级中学校考一模）已知复数满足，，若为纯虚数，则（    ）A．0B．C．1D．2【答案】A【分析】应用复数除法运算及复数分类即可求解.24学科网（北京）股份有限公司 【详解】由，得，因为纯虚数，则，解得.故选：A4．（2023·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）设复数满足，则（    ）A．B．C．1D．【答案】C【分析】利用复数的除法解出，由模长公式计算.【详解】由解得，所以.故选：C.5．（2023·山东潍坊·昌邑市第一中学校考模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（    ）A．2B．C．D．3【答案】B【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离，计算即可.【详解】设，其中，则，∵，∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴即为圆上动点到定点的距离，∴的最大值为.故选：B.6．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）复数的平方根是（    ）A．或B．C．D．【答案】A【分析】设的平方根为，则，化简后根据复数相等列方程组求解即可.24学科网（北京）股份有限公司 【详解】设的平方根为，则，即，从而解得或所以复数的平方根是或，故选：A二、多选题7．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知，为复数，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则或【答案】AC【分析】根据共轭复数的定义、复数模的运算公式，结合复数减法的运算法则逐一判断即可.【详解】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；B：取，，满足，但，故本选项错误；C：设，，，由，得，即，，所以，即，故本选项正确；D：取，，则，，此时且，故D不正确．故选：AC8．（2023·海南·海南中学校考三模）已知复数，复数满足，则（    ）A．B．C．复数在复平面内所对应的点的坐标是D．复数在复平面内所对应的点为，则【答案】AB【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可判断BCD，根据复数的乘法计算即可求解B.【详解】由已知，其对应点坐标为，C错；，A正确；由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上，，24学科网（北京）股份有限公司 因此，B正确；对应点坐标为，因此,故D错误，故选：AB.9．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知是的共轭复数，则（    ）A．若，则B．若为纯虚数，则C．若，则D．若，则集合所构成区域的面积为【答案】AB【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算可判断A；为纯虚数，可设，根据复数的四则运算可判断B；由结合数大小比较只能在实数范围内可判断C；设复数，根据复数模长定义计算可判断D.【详解】，所以，故A正确；由为纯虚数，可设，所以，因为且，所以，故B正确；由，得，因为与均为虚数，所以二者之间不能比较大小，故C错误；设复数，所以由得，所以集合所构成区域是以为圆心为半径的圆，所以面积为，故D错误.故选：AB.10．（2023·吉林·统考三模）已知复数，，下列说法正确的是（    ）A．若纯虚数，则24学科网（北京）股份有限公司 B．若为实数，则，C．若，则或D．若，则m的取值范围是【答案】ABC【分析】根据复数的相关概念，列出相应的等式或方程，求得参数，即可判断答案.【详解】对于A，复数是纯虚数，则，A正确；对于B，若为实数，则，则，，B正确；对于C，若，则，则，解得或，C正确；对于D，若，则，且，则，D错误，故选：ABC三、填空题11．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知，为虚数单位，若复数，，则．【答案】【分析】根据题意，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式列式求得．【详解】因为由，得，得．故答案为：．12．（2023·河南新乡·校联考模拟预测）若，则z在复平面内对应的点位于第象限．【答案】四【分析】根据复数除法运算和复数几何意义即可得到答案.【详解】，则，所以，则其在复平面内对应的点为，故其在第四象限，24学科网（北京）股份有限公司 故答案为：四.13．（2023·四川成都·校联考二模）若复数满足，则复数的虚部为．【答案】1【分析】设，代入中化简可求得结果【详解】设，则，由，得，所以，所以，得，所以复数的虚部为1．故答案为：1.14．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为【答案】20【分析】设，根据复数的运算及集合意义可得点的坐标，再根据中点坐标公式列方程求得的值，从而可得向量的坐标，根据向量的坐标运算确定模长与角度，从而得的面积.【详解】设，则.所以点的坐标分别为又两点连线的中点对应的复数为，解得.又24学科网（北京）股份有限公司 的面积为.故答案为：.1．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，由共轭复数的定义可知，.故选：D2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）（    ）A．1B．2C．D．5【答案】C【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.【详解】由题意可得，则.故选：C.3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）（    ）A．B．1C．D．【答案】C【分析】利用复数的四则运算求解即可.24学科网（北京）股份有限公司 【详解】故选：C.4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设，则（    ）A．-1B．0          ·C．1D．2【答案】C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为，所以，解得：．故选：C.5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得，则.故选：B.6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（    ）A．B．C．0D．1【答案】A【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．【详解】因为，所以，即．故选：A．7．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（    ）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.24学科网（北京）股份有限公司 【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设，其中为实数，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为R，，所以，解得：．故选：A.9．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）若．则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为，所以，所以．故选：D.10．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】故选：C11．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可24学科网（北京）股份有限公司 【详解】由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得,即故选:12．（2023年天津高考数学真题）真题）已知是虚数单位，化简的结果为．【答案】/【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可.【详解】由题意可得.故答案为：.24学科网（北京）股份有限公司