浙江省湖州市第二中学2024届高三下学期新高考模拟数学试题 Word版含解析.docx

《浙江省湖州市第二中学2024届高三下学期新高考模拟数学试题 Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试模拟测试卷（浙江省湖州二中模拟试卷）数学试题注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域以及指数函数的性质化简集合，即可由交并补运算以及充要条件的定义求解.【详解】由可得，解得，所以或，故选:.2.若向量满足，且，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由向量数量积的运算律可得，再由投影向量的定义求在上的投影向量.【详解】由，则， 由在上的投影向量.故选：D3.数列满足，且，则（）A.B.4C.D.2【答案】A【解析】【分析】由题中递推公式可求出数列为周期为2的周期数列，从而可求解.【详解】由题意知，所以，所以可得是周期为2的周期数列，则．故A正确.故选：A.4.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算公式计算得解.【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件D，，，，，， .故选：A.5.某小区内有一个圆形广场，计划在该圆内接凸四边形区域内新建三角形花圃和圆形喷泉．已知，，，圆形喷泉内切于，则圆形喷泉的半径最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理可求得的长，由圆内接四边形的几何性质可得，设，，由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用等面积法可求得内切圆半径的最大值，即为所求.【详解】在中，由余弦定理，可得，因为四边形为内接四边形，且，所以，．设，，则由余弦定理知，设内切圆半径为，所以．所以．又知，即，所以． 因为，所以．所以，当且仅当时取得等号．因此，圆形喷泉的半径最大值为.故选：C．6.已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则（　　）A.有且仅有一点P使二面角取得最小值B.有且仅有两点P使二面角取得最小值C.有且仅有一点P使二面角取得最大值D.有且仅有两点P使二面角取得最大值【答案】D【解析】【分析】先作出二面角的平面角，表示出二面角的正切值，再构造辅助函数，最后用导数求最值方法判断．【详解】过A作于M，连接MB、MC，如图所示，因为直线BC垂直单位圆O所在的平面，直线在平面内，且直线BC交单位圆于点A，所以，平面，，所以平面，平面，所以，，所以是二面角的平面角，设，，，，则，由已知得，， ，，，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，当时，取最大值，没有最小值，即当时取最大值，从而取最大值，由对称性知当时，对应P点有且仅有两个点，所以有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值．故选：D．7.设分别为椭圆的左，右焦点，以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P，与y轴交于点Q，线段与C交于点A．已知与的面积之比为，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可逐步计算出点A坐标，由点A在椭圆上，将其代入椭圆方程得到等式后，借助等式即可计算离心率.【详解】由题意可得、，，则以为圆心且过的圆的方程为，令，则，由对称性，不妨取点在轴上方，即，则，即， 有，则，又，即有，即，代入，有，即，即在椭圆上，故，化简得，由，即有，整理得，即，有或，由，故舍去，即，则.故选：B.【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率时，可将已知的几何关系转化为关于椭圆基本量a，b，c的方程，利用和转化为关于的方程，通过解方程求得离心率．8.设，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】构造，二次求导，得到单调性，得到，再变形得到，故构造，求导得到其单调性，比较出，得到答案.【详解】设，设0，所以，所以函数在上单调递增，所以，即.根据已知得，可设，则，所以函数在上单调递增，所以，即.综上，.故选：D.【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.点是函数图象的一个对称中心C.函数在区间上单调递减D.函数的最大值为1【答案】BC【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角等公式化简得到，借助三角函数的性质逐一判断即可.【详解】结合题意：，即.对于选项A:由可得，所以,故选项A错误；对于选项B:将代入得：，所以点是函数图象的一个对称中心，故选项B正确；对于选项C:对于，令，则，因为，所以，而在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项C正确；对于选项D:对于，当，即,，故选项D错误.故选：BC.10.对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法错误的是（）A.若为“s数列”，则为“t数列” B.若，则为“t数列”C.若，则为“s数列”D.若等比数列为“t数列”则为“s数列”【答案】ABD【解析】【分析】设，可判定A错误；对于，分为奇数和为偶数，不存在，使得，可判定B错误；若，推得满足①②，可判定C正确；设，取，可判定D错误.【详解】设，此时满足，也满足，，即，，因为，所以A错误；若，则，满足①，，令，若为奇数，此时，存在，且为奇数时，此时满足，若为偶数，此时，则此时不存在，使得，所以B错误；若，则，满足①，，，因为，所以，，满足②，所以C正确；不妨设，满足，且，，当为奇数，取，使得；当为偶数，取，使得，所以为“数列”，但此时不满足，，不妨取，则，而， 则为“数列”，所以D错误.故选：ABD.11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.【详解】令，得，因为，所以，所以A错误；令，得①，所以，因为是奇函数，所以是偶函数，所以②，由①②，得，即，所以，所以，是周期为3的函数，所以，，所以B正确，C错误；因为，在①中令得，所以， ，所以D正确．故选：BD．【点睛】对于可导函数有：奇函数的导数为偶函数偶函数的导数为奇函数若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则______．【答案】【解析】【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解.【详解】表示个因数的乘积.而为展开式中的系数，设这个因数中分别取、、这三项分别取个，所以，若要得到含的项，则由计数原理知的取值情况如下表：个个个050131212由上表可知.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于对上述详解中的正确分类，另外一点值得注意的是在分完类之后，每一类里面还要分步取、、这三项.13.将正方形沿对角线折起，当时，三棱锥的体积为 ，则该三棱锥外接球的体积为________．【答案】【解析】【分析】取的中点，根据正方形的性质可知点为三棱锥外接球的球心，设，，根据锥体的体积公式结合余弦定理列式求解即可.【详解】取的中点，连接，由题意可知，即点为三棱锥外接球的球心，设，，因为，且平面，可得平面，可知三棱锥的体积，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，即，联立方程，解得，所以该三棱锥外接球的体积为.故答案为：.【点睛】关键点睛：根据正方形的性质分析可知：的中点即为三棱锥外接球的球心，进而分析求解.14.正方形位于平面直角坐标系上，其中，，，．考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）：逆时针旋转．（2）：顺时针旋转．（3） ：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是，，，四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换之后，顶点从移动到，然后再作一次变换之后，移动到．对原来的正方形按，，，的顺序作次变换记为，其中，．如果经过次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是-恒等变换．例如，是一个3-恒等变换．则3-恒等变换共________种；对于正整数，-恒等变换共________种．【答案】①.6②.【解析】【分析】根据3-恒等变换必定含可列举求解；作用一次变换相当于两次变换；作用一次变换相当于三次变换．我们记为数字1，为数字2，为数字3，作用相应的变化就增加相应的数字．那么如果作了次变换（其中包含个、个、个），当是4的倍数时，就能得到一个-恒等变换．我们假设作了次变换之后得到的相应数字除以4的余数是0，1，2，3的情况数分别为，，，.求得，，，，从而可得，利用构造法求得，从而有，再利用累加法求得.【详解】3-恒等变换必定含，所以一共有，，，，，这6种3-恒等变换；注意到，作用一次变换相当于两次变换；作用一次变换相当于三次变换．我们记为数字1，为数字2，为数字3，作用相应的变化就增加相应的数字．那么如果作了次变换（其中包含个、个、个），当是4的倍数时，就能得到一个-恒等变换．我们假设作了次变换之后得到的相应数字除以4的余数是0，1，2，3的情况数分别为，，，.把这次变换分解成次变换和第次变换，假设经过次变换之后余数为0．如果经过次变换后的余数是0，则第次变换余数不可能为0；如果经过次变换后的余数分别是1，2，3，则第次变换余数必须分别为3，2，1．其他完全类似，因此，， ，．把后三个式子相加可得，代入第一个式子可得，．所以是公比为3的等比数列．已经算出，而2-恒等变换有，，这三种，故．因此，，从而．两边同乘，可得．根据累加法可得于是．故答案为：6；【点睛】关键点睛：这道题的关键是要注意到作用一次变换相当于两次变换；作用一次变换相当于三次变换．我们记为数字1，为数字2，为数字3，作用相应的变化就增加相应的数字．那么如果作了次变换（其中包含个、个、个），当是4的倍数时，就能得到一个-恒等变换．假设作了次变换之后得到的相应数字除以4的余数是0，1，2，3的情况数分别为，，，.把这次变换分解成次变换和第次变换，从而得到，，，，进而得到，至此思路就清晰明朗了.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，且．（1）求函数的解析式； （2）为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据是的对称轴，结合对称轴处取得最值，计算即可；（2）根据复数的几何意义，建立三角形面积关于的三角函数关系，求函数值域即可.【小问1详解】∵，即当时函数取到最值，又，其中，∴，代入得，即，解得，∴；小问2详解】由（1）可得：，由复数几何意义知：，∴，当，，即，时，有最大值6；当，，即，时，有最小值2；∴. 16.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为的中点.（1）证明：平面；（2）求点到直线的距离；（3）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取的中点，证得且，得到以四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）取的中点，证得，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量，结合，即可求解；（3）由（2）中的空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以，又因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.小问2详解】解：取的中点，连接，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以，又因为平面，平面，所以，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则,所以，则可得，所以，则点到直线的距离为.【小问3详解】解：由（2）中的空间直角坐标系，可得，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节” 的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率.（1）从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；（2）2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复.（i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率；（ii）求甲第（，2，，16）天选择“单车自由行”的概率，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数.【答案】（1）4（2）（i）；（ii）；2天【解析】【分析】（1）由合计得分可能的取值，计算相应的概率，再由公式计算数学期望即可；（2）（i）利用互斥事件的加法公式和相互独立事件概率乘法公式求概率．；（ii）由题意，求与的关系，通过构造等比数列，求出，再由求出对应的n.【小问1详解】由题意，每位游客得1分的概率为，得2分的概率为，随机抽取三人，用随机变量表示三人合计得分，则可能的取值为3，4，5，6，，，，，则.所以三人合计得分的数学期望为4. 【小问2详解】第一天选择“单车自由行”的概率为，则第一天选择“观光电车行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，则后一天选择“单车自由行”的概率为，（i）甲第二天选择“单车自由行”的概率；（ii）甲第天选择“单车自由行”的概率，有，则，，∴，又∵，∴，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴．由题意知，需，即，，即，显然n必为奇数，偶数不成立，当时，有即可，时，成立；时，成立；时，，则时不成立， 又因为单调递减，所以时，不成立．综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有2天．【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用全概率公式得到，从而利用数列的相关知识求得，从而得解.18.已知椭圆，是椭圆外一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，直线与直线交于点，是直线与椭圆的两个交点.（1）求直线与直线的斜率之积；（2）求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，，，根据导数的几何意义可求得椭圆的切线方程，从而可得，再根据斜率公式即可求解；（2）分、、三种情况分别求解，根据弦长公式和点线距离可求得面积，再利用导数判断单调性，从而求得最大值.【小问1详解】设，，，由可得，对其求导可得，所以当时，直线的斜率为， 则直线的方程为，即.当时，成立，所以直线的方程为.同理可得直线的方程为，又因为是两条切线的交点，所以有，，所以，则，又因为，所以.【小问2详解】①当时，联立直线与椭圆方程，得，，，则，联立直线与椭圆方程，解得点.则点到直线的距离，所以令，则， 令，则，记，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当，，即时，.所以，所以面积的最大值是.②当时，直线的方程为，联立，可得，根据椭圆的对称性，不妨令，则，则点到直线的距离，所以令，则，记，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当，时，.所以，所以面积的最大值是.根据对称性可得当时，面积的最大值是.所以当时，的最大值为.当时，同理可求得，当时，的最大值为.综上，当时，面积的最大值是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19.给出下列两个定义：Ⅰ.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.Ⅱ.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：①；②，其中，为两个新的函数，是的导函数.我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.（1）判断下列两个函数是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”.Ⅰ.；Ⅱ..（2）给出两个命题，，判断命题是什么条件，证明你的结论.：是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，：.（3）已知函数.①若的“自导函数”是，试求的取值范围.②若，且定义，若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】19.是“单向导函数”，其“自导函数”为；既不是“单向导函数”，也不是“双向导函数”.20.不充分不必要条件 21.①；②.【解析】【分析】（1）由新定义、导数运算及函数的概念即可得解；（2）由新定义结合充分条件、必要条件的概念即可得解；（3）①求导，利用自导函数的定义即可求得参数；②求导，借助多次求导确定，即可求解.【小问1详解】对于函数，则，这两个函数的定义域都是，所以为“同定义函数”，此时，，由函数的定义，对于，无法同时成立，所以为“单向导函数”,其“自导函数”为.对于函数，则，这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.【小问2详解】若，则，设，则，所以为“单向导函数”.又设，则所以为“双向导函数”，但不是常值函数，故不是的必要条件.若成立，则，所以，所以，所以不成立，所以为的不充分不必要条件.【小问3详解】①由题意，，且，所以，所以；②由题意，，所以，，令，， 则，因为单调递增，且，所以存在，使得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增；当，即时，所以，此时，在上单调递增，，当时，，此时，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增;又，所以；当且时，，，所以函数在上存在两个极值点，若，即时，极大值点为；若，即时，极大值点；为函数极大值或，又当时，，，令，则设，则，所以，即单调递增，所以，所以单调递增，所以，综上，， 所以c的取值范围为【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两个，一是对于新概念的理解，转化新概念所给关系；二是对函数多次求导，利用导数与函数单调性、最值的关系求解最值.