浙江省湖州市2024届高三上学期期末数学试题 Word版含解析.docx

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2023学年高三第一学期期末调研测试卷数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.2.作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效，一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由并集的概念即可得解.【详解】因为，所以.故选：C.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A.8B.6C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解即可.【详解】因为，解得，即，所以，故选：A3.已知向量，则在上的投影向量是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的定义即可求解.【详解】在上的投影向量为,故选：A4.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则（）A.60B.65C.70D.71【答案】D【解析】【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】因为甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，由，得第30百分位数是第2个数据，故,由，得第50百分位数是第3与4个数据平均值，解得．所以.故选：D．5.已知，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式结合的范围求出 ，进而得到余弦值和正切值，结合诱导公式求出答案.【详解】由题意得，解得或．又，所以，则，，所以，，，，故ACD错误、B正确．故选：B6.记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】【分析】结合等差数列求和公式、等差数列定义以及充要条件的定义即可得解.【详解】若为等差数列，则数列的前项和为，若数列的前项和为，则时，，所以，，两式相减得，， 所以为等差数列；综上所述，甲是乙的充要条件.故选：C.7.在正四棱锥中，底面的边长为为正三角形，点分别在上，且，若过点的截面交于点，则四棱锥的体积是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】连接，交于，连接，交于，根据题意，，得为重心，得为中点，进而得，和，得平面，再利用棱锥得体积公式，即可求解.【详解】如图：连接，交于点，连接，，相交于点，因为，，所以，所以，故为的重心，所以为中点.又因为为正三角形，所以.因为四棱锥是正四棱锥，所以，，，平面，且，所以平面.平面，所以，又，所以.，平面，，所以平面. 因为，所以，，，,所以.故选：D8.已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围.【详解】由题意可知：，设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为，且，，则公切线的斜率，可得，则公切线方程为，代入得，代入可得，整理得，令，则，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，设，则，令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在单调递减，可得，且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于，可得，解得，故实数的取值范围为.故选：A.【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列结论中正确的是（）A.在列联表中，若每个数据均变为原来的2倍，则的值不变B.已知随机变量服从正态分布，若，则C.在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9D.分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，事件表示为“两枚结果相同”，则事件是相互独立事件【答案】BD【解析】【分析】根据独立性检验的公式，可得判定A不正确；根据方差的性质，可判定B正确；根据相关性的定义，可判定C不正确；根据独立事件的判定方法，可判定D正确.【详解】对于A中，若的列联表中的每个数字变成原理的2倍，则， 此时变为原理的2倍，所以A错误；对于B中，在随机变量服从正态分布，若，则，所以B正确；对于C中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据完全相关，所以这组样本数据的样本相关系数为，所以C不正确；对于D中，分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，事件表示为“两枚结果相同”，可得，，可得，所以事件是相互独立事件，所以D正确.故选：BD.10.已知正数满足，下列结论中正确的是（）A.的最小值为B.的最小值为2C.最小值为D.的最大值为1【答案】AC【解析】【分析】根据可得，即可代入选项中，结合基本不等式求解AB，利用导数求解函数单调性求解最值即可求解C，根据的范围即可判断D.【详解】由可得，对于A,，当且仅当时，即,时取等号，故A正确，对于B,，当且仅当时，即时等号成立，但此时，故等号取不到，故B错误，对于C，，记， 当单调递增，当单调递减，故，故的最小值为，故C正确，对于D，由于，，，故的最大值不可能为1，故D错误，故选：AC11.纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一､三分之一､四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是.记，则下列结论中正确的是（）A.为的一条对称轴B.的周期为C.的最大值为D.关于点中心对称【答案】BCD【解析】【分析】根据可判断选项A；根据可判断选项B；利用导数研究函数的最值的方法及三角恒等变换即可判断选项C；根据可判断选项D.【详解】因为，，所以，则不为的一条对称轴，故选项A不正确； 因为，所以，则的周期为，故选项B正确；因为所以又因为所以的周期为.故只考虑函数在上的最大值即可.令，得：或或或；令，得：或者或；所以函数在，，和上单调递增；在，和上单调递减.又因为，，，所以的最大值为，故选项C正确；因为， 所以，则关于点中心对称，故选项D正确.故选：BCD12.已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（）A.抛物线的准线方程为B.直线与抛物线相切C.为定值D.【答案】ABD【解析】【分析】选项A，由点在抛物线上，代入方程待定系数，求出抛物线C方程，则得到准线方程；选项B，利用导数求出切线斜率，与直线斜率相同即可说明相切；选项C，设出直线AB方程，联立抛物线方程，将坐标化韦达定理代入可证；选项D，利用弦长公式用表示，再代入韦达定理，结合判别式得出的的范围，即可判断得出答案．【详解】对于A：因为点在抛物线：上，则，解得，所以抛物线：，其准线为，故A正确；对于B：令，则，可得，即抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，所以直线AB与抛物线C相切，故B正确；对于C：由题意可知，直线PQ斜率存在， 设直线PQ的方程为，联立方程，消去y得：，可得，得，且，因为，故C错误；对于D：由题意可知，因为，则，所以，故D正确.故选：ABD．三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知的展开式中含项的系数为8，则实数___________.【答案】3【解析】【分析】根据题意得到的展开式的通项公式，再由条件列出方程即可得到结果.【详解】因为的展开式的通项公式为，则展开式中含项的系数为 解得故答案为:14.已知圆的圆心在直线上且与轴相切，请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程：__________.【答案】（答案不唯一，）【解析】【详解】因为圆的圆心在直线上，不妨设其圆心，又因为圆与轴相切，则半径为，所以圆的标准方程为，取，则一个同时满足上述条件圆的标准方程为.故答案为：（答案不唯一，）15.已知一个圆台的上､下底面半径为，若球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，且球与该圆台体积比为，则__________.【答案】【解析】【分析】作出圆台的轴截面，然后根据题意可求出圆台的母线长，从而可求出圆的高，进而可求出圆台的体积.【详解】作出圆台的轴截面，如图所示：为切点，为圆台的高.圆台的母线，所以圆台的高球的半径，由球与该圆台体积比为得： ，整里得：方程两边同除，解得或3（舍去）故答案为：16.已知双曲线的左右顶点分别为，点满足，点为双曲线右支上任意一点（异于点），以为直径的圆交直线于点，直线与直线交于点.若点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是__________.【答案】【解析】【分析】设，设，由题意可得，再根据进一步求出关系式，进而可求得的关系式，再根据点在双曲线上得出的关系，即可得解.【详解】由题意，设，，则，则设，故，因为以为直径的圆交直线于点，所以，即，所以，所以，因为三点共线，所以，即，所以，即， 因为点在双曲线上，所以，所以，所以，所以离心率.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.17.记的内角的对边分别是，已知，.（1）求角的大小；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦展开结合正余弦定理角化边求解；（2）由正弦定理结合面积公式求解. 【小问1详解】由正弦定理可得：，，由余弦定理：，化简得：,所以所以；【小问2详解】由正弦定理：，所以,则.18.已知数列的前n项和为，数列为等差数列，且满足．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）求出即得数列的通项公式，利用与的关系求出数列的通项公式；（2）求出，再利用分组求和求数列的前项和．小问1详解】 解：令，令，又，所以，即．所以，，①．②两式相减得，，即是公比为2的等比数列，且，所以．【小问2详解】解：由可得，．累加可得，，而，∴.19.如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.（1）证明：直线平面； （2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）以为原点，分别以方向为轴建立如图所示空间直角坐标系，证明与平面法向量垂直即可证；（2）由线面角的向量法求线面角后可得结论．【小问1详解】如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系...设平面的法向量为，则由，取得.因为，所以解得.所以，且平面，所以平面【小问2详解】设平面的法向量为则由，解得. 所以，解得.20.杭州第届亚运会，是继年北京亚运会、年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.年月日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这名观众中抽取名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为人）.（1）已知小杭是这前名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为，求的值；（2）当取到最大值时，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件，可知，利用独立事件概率公式可得出关于的等式，解之即可；（2）求得，解不等式，解出的取值范围，即可得解.【小问1详解】解：记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件.，整理可得，即，又因为且，解得.【小问2详解】解：“”表示第一次在个人中抽取个，第二次抽取的个人中，有人在第一次抽取的人以外，另外的个人在第一次抽取的人中，，记， 由，解得，又，所以时，取最大值.21.已知椭圆过点，且离心率为.过点的直线交于两点（异于点）.直线分别交直线于两点.（1）求证：直线与直线的斜率之积为定值；（2）求面积的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）列出关于的方程组，求得后再求出得椭圆方程，设，直线的斜率分别为，设直线为，代入椭圆方程应用韦达定理得，，计算并代入韦达定理的结论可证；（2）设，则，由直线方程求得的纵坐标，从而求得，计算到直线的距离，计算出面积，再转化为一元函数后，利用判别式法求得最值．【小问1详解】由题意得，解得，所以，所以椭圆的方程为， 设，直线的斜率分别为，设直线为，与椭圆联立，可得，所以，，代入可得，所以直线与的斜率之积为定值.【小问2详解】设，则，又点到直线的距离是，由解得，同理.所以，代入得，设，则，由题意得，化简得，解得或，故，故，等号成立当仅当，或者.所以面积的最小值为． 【点睛】直线与圆锥曲线相交中的定值问题，一般可设出交点坐标为，，设出过两交点的直线方程，并代入圆锥曲线方程后应用韦达定理得出（或），然后再由交点坐标求出需证定值的量，一般代入韦达定理的结论化简后可得定值．22.已知函数.（1）是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增；（2）若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数的底数）【答案】（1）存在（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先确定函数定义域是，求出导函数，确定出在时，，时，，因此确定值使得时，时，恒成立，从而恒成立即得；（2）由（1）得出且时，的两个极值点是1和，因此有，引入函数，再利用导数证得即得证．【小问1详解】因为，则的定义域为，进一步化简得：令，则在上单调递增，且，所以时，时，要使得单调递增，则在上恒成立 当时，恒成立当时，，当时，，不合题意当时，，当时，，不合题意综上：.【小问2详解】由（1）可得且，极值点为与1，所以令当时，单调递增当时，单调递减，所以，即成立.【点睛】方法点睛：证明与极值有关的不等式，一般先利用导数求得极值（本题中要求得极大值与极小值的和，可以不必区分哪个是极大值，哪个是极小值），然后引入新函数，再利用导数求出此函数的最值，从而证得不等式成立．