重庆市第一中学校2022-2023学年高一上学期期中数学 Word版含解析.docx

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2022年重庆一中高2025届高一上期半期考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据可求得集合；由指数函数单调性解不等式可求得集合；根据交集定义可求得结果.【详解】由知：，即；由得：，即，.故选：C.2.已知函数为奇函数,且当时,,则A.-2B.0C.1D.2【答案】A【解析】【详解】因为是奇函数，所以，故选A.3.已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】令幂指数，求出，再代入计算可得.【详解】解：对于函数，令，解得，所以，即函数恒过定点.故选：A4.已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】通过函数的定义域排除AB，计算特殊值排除D，得到答案.【详解】的定义域为，不符合函数图像，A不满足；的定义域为，不符合函数图像，B不满足；，，不符合函数图像，D不满足.故选：C5.已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数的取值范围.【详解】由题意得是真命题，即，， 当时，符合题意；当时，有，且，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选:D.6.已知函数，对于上任意两个不相等实数，不等式恒成立，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题知函数在上单调递减，再利用分段函数的单调性列出不等式组，即可求解.【详解】对于上任意两个不相等实数，不等式恒成立，可知函数在上单调递减，则，解得所以实数的取值范围为故选：B7.已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合函数的奇偶性、周期性等知识求得正确答案.【详解】依题意，定义域为，由于为偶函数，图象关于轴对称， 所以图象关于直线对称，为奇函数，，由，以替换，，所以，所以，所以是周期为的周期函数.由得，所以关于对称，令，，所以.所以D选项正确，ABC选项无法判断.故选：D8.定义在上的函数满足，，且当时，，则方程所有的根之和为（）A.44B.40C.36D.32【答案】A【解析】【分析】根据题中所给的函数性质可得的周期为且关于中心对称，再画函数分析与的交点对数，进而根据对称性可得根之和即可.【详解】由可得函数为奇函数，且关于对称，又由题意，故，所以函数关于中心对称，且，故函数的周期为.又当时，，此时，故函数在上单调递增，综上可画出的部分图象， 又方程的根，即与的交点，由图可知：函数的最大值为，当时，，此时直线与曲线交于最高点，所以与在上有个交点，根据函数的对称性可知：在也有个交点，并且两两关于中心对称，加上共11个，故其根之和为，故选：.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列函数是同一函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】AD【解析】【分析】对于同一函数，定义域和对应关系相同，即为同一函数，分别判断每个选项即可.【详解】对于A，与，定义域都为，对应关系也相同，是同一函数； 对于B，定义域为，与定义域为，故不同一函数；对于C，与，定义域都为，但对应关系不同，故不是同一函数；对于D，与，定义域都为，对应关系也相同，是同一函数.故选：AD.10.下列说法正确的有（）A.“”是“”的充分不必要条件B.若，，，则C.函数的最小值为D.若函数在区间上为增函数，则的范围为【答案】AB【解析】【分析】解分式不等式可求得的范围，根据推出关系可知A正确；根据指数函数和幂函数单调性可得大小关系，知B正确；根据，由对勾函数单调性可求得最小值，知C错误；根据复合函数单调性的判断方法可知在上单调递减，结合函数定义域的基本要求可构造不等式组求得范围，知D错误.【详解】对于A，由得：或，，，“”是“”的充分不必要条件，A正确；对于B，在上单调递减，，即；，在上单调递增，，即；，B正确；对于C，，，令，则， 在上单调递增，，即的最小值为，C错误；对于D，令，在上单调递减，若在上为增函数，则在上单调递减，在上单调递减且在上恒成立，，解得：，即实数的取值范围为，D错误.故选：AB.11.以下命题中是真命题的有（）A.若定义在上的函数在是增函数，在也是增函数，则在为增函数B.若函数是定义在上的单调递增函数，则一定在上单调递增C.函数，则直线与的图像有1个交点D.，都有函数在上是单调函数【答案】BD【解析】【分析】举出特例可判断A项；可用定义法判断B项；举例说明存在实数不在的定义域内，即可判断C项错误；对与0的关系讨论，然后结合一次函数和二次函数的性质，即可判断D项.【详解】，显然在是增函数，在也是增函数，而在上不是增函数，所以A项错误；因为函数是定义在上的单调递增函数，所以，有，则，则 ，所以一定在上单调递增，B项正确；显然0不在的定义域内，所以，与的图像没有交点，C项错误；当时，函数在上单调递增，所以在上是单调函数；当时，函数对称轴为，当且仅当，即时等号成立，此时可得函数在上是单调递增函数；当时，函数对称轴为，当且仅当，即时等号成立，此时可得函数在上是单调递增函数.综上所述，，都有函数在上是单调函数，D项正确.故选：BD.12.已知函数的定义域为，且满足当时，，当时，，为非零常数，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，在单调递增C.当时，记函数与的图象在的个交点为，则D.当时，在上的值域为【答案】ACD【解析】【分析】确定函数周期为2，计算得到A正确，计算得到，B错误，计算函数的交点，相加得到C正确，根据函数的单调性，计算最值得到值域，得到答案.【详解】，当时，，函数周期为2，，A正确； 当时，取，，，函数单调递减，B错误；，，当时，，函数简图如图所示，根据图像与的图像交点分别为，，，，，故，C正确；当时，，，函数简图如图所示：，根据图像知，函数在和上单调递增，在上单调递减，，现考虑轴上每4个单位长度为一段的函数值，最大值依次变大，最小值依次变小，故只需考虑最后一段即可，，，故值域为，D正确.故选：ACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上） 13.函数在区间上的值域为______.【答案】【解析】【分析】令，再结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：令，则，故，则，所以函数在区间上的值域为.故答案为：.14.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】先根据定义域求出的定义域，结合解析式的特征可得答案.【详解】因为的定义域为，所以，即的定义域；因为，所以，所以的定义域为.故答案为：.15.已知函数与函数的图像在恰好有一个交点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】联立方程分离之后解出，分离变量转化为函数交点问题，借助对勾函数的单调性求解即可.【详解】联立得， 解出，令，原式整理得，可变形为这个方程在上恰有一个解等价于函数和在仅有一个交点.在上单调递减，在上单调递增；分别计算的值为，易得：故答案为：.16.已知正实数，满足，则的最小值为______.【答案】.【解析】【分析】由已知等式可得，构造函数，则，再由其单调性可得，则，然后利用基本不等式可求得结果.详解】由题意可得，所以，令，因为和均在上单调递增，所以在上单调递增，因为等价于，所以，得，因为，为正实数，所以 ，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：.四、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（1）已知幂函数在递增，求实数的值.（2）化简求值.【答案】（1）-1；（2）7.【解析】【分析】（1）根据函数是幂函数，求得m，再由函数在递增验证即可；（2）利用根式和指数幂的运算求解.【详解】解：（1）因为函数是幂函数，所以，即，解得或，当时，在递减，不成立；当时，在递增，成立，所以实数的值为-1.（2），，， .18.已知函数为定义在上的奇函数，当时，.（1）判断并证明：函数在上单调性；（2）求函数在上的解析式.【答案】（1）给定区间内单调递增，证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）根据定义证明函数在上的单调性，即可得出在上的单调性.（2）根据时函数的表达式，由奇偶性得出在上的解析式.【小问1详解】在给定区间内单调递增，证明如下：在中，，，当时，，在中，设，则，，，∴在上单调递增，∴函数在上单调递增.【小问2详解】由题意及（1）得，，在中，为奇函数，， 当时，当，∴19.已知二次函数满足的解集为，且.（1）求的解析式；（2）当时，求函数的最大值（用表示）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数类型设，由已知求解的值，即可得解析式；（2）根据二次函数，分类讨论确定函数在动区间上的单调性，即可得函数的最大值.【小问1详解】解：设二次函数，又的解集为，即的解集为则方程的两根为1和3，且所以，解得，所以；【小问2详解】解：由于，又当时，在上单调递减，所以； 当，即时，在上单调递增，所以；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以；综上，.20.已知定义在R上的函数有.当时，.（1）求的值；（2）已知函数，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）根据题意赋值运算求解；（2）由题意分析可得：在上的值域为在上的值域的子集，结合单调性和分类讨论分别求、的值域，再根据子集关系运算求解.【小问1详解】∵，令，∴.【小问2详解】设在上的值域为A，在上的值域为B，由题意可得：，∵，所以的周期为2，则在上的值域即为在上的值域，当时，则在上单调递减，且， 故；当时，则，对任意，且，则，∵，则，∴，即，故在上单调递增，且，∴；当时，则；综上所述：.对于，则有：当时，则在上单调递增，且，故，则，解得；当时，则，即，不合题意，舍去；当时，则在上单调递减，且，故，则，解得；综上所述：实数的取值范围为.21.定义在上的函数满足：对任意都有成立，且时，.（1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）偶函数，证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）由奇偶性的定义证明，（2）由函数的单调性转化，结合指数函数的性质求解，【小问1详解】由题意得，当时，得，当时，，得，则，故为偶函数，【小问2详解】当时，，而，故在上单调递增，，即对任意恒成立，设，，由指数函数的性质得在单调递减，故，解得，即的取值范围为22.已知函数，.（1）求关于的不等式的解集；（2）若存在两不相等的实数，，使，且，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域为，根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增.即可得出关系式，求解即可；（2）易证为奇函数，则，进而推得，令，则，，只需即可.【小问1详解】要使函数有意义，则，解得，所以的定义域为.，且，则，因为，所以，则，所以.所以，函数在上单调递增.解可得， 解得，.所以不等式的解集为.【小问2详解】由（1）知，的定义域为.又，所以为奇函数.又函数在上单调递增，则要使，有.则，令，显然，设，则单调递增，所以.则，，由已知可转化，有，只需即可，根据二次函数的性质可知，只需或即可，即或，解得.