上海市曹杨第二中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题 Word版含解析.docx

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上海市曹杨第二中学2021-2022年高一下期中考试数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.函数的最小正周期为_____．【答案】【解析】【分析】直接利用三角函数的周期公式，即可求解.【详解】解：由正弦函数的周期公式得，所以函数的最小正周期为，故答案为：2.复数（其中为虚数单位）的虚部为____．【答案】【解析】【分析】由复数的概念可直接得到虚部.【详解】由复数的概念可知复数的虚部为.故答案为:.3.函数的定义域为___________________【答案】.【解析】【分析】由正切函数的定义域得出，解出不等式可得出所求函数的定义域．【详解】由于正切函数为，解不等式，得，因此，函数的定义域为， 故答案为．【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，解题时需结合正切函数的定义域列不等式进行计算，考查计算能力，属于中等题．4.已知，则____．【答案】##0.4【解析】【分析】先通过诱导公式化简，然后弦化切即可得到答案.【详解】原式．故答案为：.5.若为锐角，且，则_____．【答案】【解析】【分析】通过平方关系求出和值，再根据两角和的余弦公式即可得解.【详解】因为为锐角，且，所以，所以．故答案为：.6.方程在上的解集为__．【答案】【解析】【分析】首先利用辅助角公式化简，然后利用特殊角的三角函数值确定解集，最后根据题干中给定角的取值范围即可确定满足条件的角的集合.【详解】因为，所以， 所以或，所以或，因为，所以或，故答案为：．7.已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则__．(结果用数值表示)【答案】【解析】【分析】首先根据投影公式求得，再代入数量积公式，即可求解.【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，且，所以，所以，则．故答案为：8.函数的单调递减区间为_____．【答案】【解析】【分析】先将函数解析式化简，再利用整体代入法即可求得函数单调递减区间【详解】，由，得又，则则函数，单调递减区间为．故答案为：9.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若 ，，则__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．考点：解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．10.已知函数，若在区间上具有单调性，且，则_____．【答案】【解析】【分析】根据条件，运用三角函数的性质逐步推理，求出和.【详解】由于，存在两种情况：（1）周期为，则有，又，所以，，，即，又=T，则在区间上不具有单调性，不符合题意；（2）为函数的对称轴，则…①，因为，所以…②， ①-②得，所以，因在区间上具有单调性，所以，即，所以，或6，若，则，由①得，因为，所以，，代入①也成立，符合题意；若，由①得，不可能满足；所以；故答案为：.11.已知函数，若在区间内没有零点，则ω的取值范围是__.【答案】【解析】【分析】由三角恒等变换得，进而根据题意得，再分别解不等式即可得答案.【详解】解：函数∵在区间内没有零点，∴，即 ∴①或②，解①得，即，由于，故，即解②得，即，由于，故，即，综上可得的取值范围是故答案为：12.如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】连接，，设是线段的中点，连接，则有.设为和 的夹角.求出,利用二次函数即得解.【详解】解：连接，，设是线段的中点，连接，则有.设为和的夹角.则，，（当即时取等）因为，所以当时，有最小值.，（当即时取等）当时，有最大值为3，即有最大值3，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型，再利用二次函数的图象和性质求解. 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件，当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.14.设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（）A.B.的图像关于直线对称C.在上单调递增D.过点的直线与函数的图像必有公共点【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，进而根据函数在处取得最大值求出参数，然后结合三角函数的图象和性质判断答案.【详解】由题意，，，而函数在处取得最大值，所以，所以，，则.对A，因为，即，A错误；对B，因为，所以B错误；对C，因为，所以函数在上单调递减，所以C错误；对D，因为的最大值为，而，所以过点的直线与函数的图象必有公共点，D正确.故选：D.15.函数的图像向左平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数图像平移规则和三角函数诱导公式即可取得的最小值【详解】函数的图像向左平移个单位长度后为 又因为，则的最小值为，故选：．16.如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将不等式cos2x≥asinx恒成立转化为asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y），利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【详解】解：∀实数x、y，不等式cos2x≥asinx恒成立⇔asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y），则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，∵y＞0，f（y）23（当且仅当y＝6时取“＝”），f（y）min＝3；所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx恒成立，令sinx＝t，则0＜t≤1，再令g（t）＝t（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）＝10，所以，g（t）＝t在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min＝g（1）＝3，所以a≤3； ②若sinx＜0，则a≥sinx恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点睛】本题考查恒成立问题，将不等式cos2x≥asinx恒成立转化为asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y），求得f（y）min＝3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17.已知，，．（1）求；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用平面向量的模长及数量积运算即可求解.（2）用公式，展开即可求解.【小问1详解】因为，，所以，即，即，又，所以【小问2详解】18.已知△的角、、所对的边分别为、、，且．（1）求角的大小； （2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角函数的诱导公式、两角和的正弦公式、同角的商数关系，可得所求值；（2）由向量的数量积的定义和余弦定理，结合配方法，可得所求值．【详解】解：（1）由正弦定理可得，所以，因为，所以，又，所以；（2）因为，，所以，所以，则，所以．19.如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里．已知角为钝角，且．（1）求小岛与小岛之间的距离；（2）记为，为，求的值．【答案】（1）2（2）【解析】 【分析】(1)在中，利用余弦定理即可求解；(2)在中，先利用正弦定理求出，然后利用两角和正弦公式即可求解.小问1详解】由题意可知：，，因为角为钝角，，所以，在中，由余弦定理得，，所以，解得或（舍），所以小岛与小岛之间的距离为2．【小问2详解】在中，由正弦定理，因为，所以，则，因为，所以为锐角，所以，因为，，所以．20.借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题.试解答下列问题.（1）在直角坐标系中，将点绕坐标原点逆时针旋转到点，求点的坐标；（2）如图，设向量，把向量按逆时针方向旋转角得到向量，求向量的坐标； （3）设为不重合的两定点，将点绕点按逆时针方向旋转角得点，判断是否能够落在直线上，若能，试用表示相应的值，若不能，说明理由.【答案】（1）（2）（3）能，答案见解析【解析】【分析】（1）设，以为终边的角为，则利用两角和的正弦和余弦公式求得和，进而求得点坐标；（2）先把平移到起点在原点得到，与（1）同理求得即得；（3）与（1）同理求得点，把点坐标代入直线，分情况讨论求解即可．【小问1详解】设，则，，所以；【小问2详解】把向量的起点平移到原点O，如图，， 设以为终边的角为，则以为终边的角为，记，则，，所以；【小问3详解】欲求点坐标，只需要求向量坐标.显然因为向量，由（2）得即C点坐标为，“点落在直线上”“”“”①当时，点重合，不合题意；②当时，点能落在直线上，此时需；③当时，点能落在直线上，此时需；④当时，点能落在直线上，由， 此时需.注：情形②可以并入情形④综上所述：当时，；当时，