上海市曹杨第二中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析.docx

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上海市曹杨第二中学2021-2022学年高二下期末数学试卷一､填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.抛物线的准线方程是_______【答案】【解析】【分析】根据抛物线的标准方程形式求出，再根据开口方向，写出其准线方程.【详解】对于抛物线，，，又抛物线开口向右，准线方程为.故答案为：.2.方程的解集是______.【答案】【解析】【分析】由组合数性质求解即可【详解】因为，所以或，解得或，所以方程的解集是，故答案为：3.的展开式中常数项是______.【答案】15【解析】【分析】由二项式定理求出通项公式，得到，从而求出常数项.【详解】的展开式的通项公式为：，令，解得：， 故.故答案为：154.已知随机变量，则______.【答案】【解析】【分析】根据二项分布的概率公式求即可.【详解】由题意知：，故答案为：.5.在3双鞋子中任意抽取两只，恰为一双鞋子的概率是______.【答案】##【解析】【分析】分别求解总的情况数与满足一双鞋子的情况数，进而可得概率.【详解】在3双鞋子中任意抽取两只，共种情况，其中满足一双鞋子的情况有3种，故在3双鞋子中任意抽取两只，恰为一双鞋子的概率是.故答案为：6.已知向量，，，则与夹角为______.【答案】##【解析】【分析】首先求出，设向量与的夹角为，再根据计算可得；【详解】解：因为，所以，设向量与的夹角为，因为，因为，所以.故答案为：7.已知是奇函数，且当时，，则______. 【答案】【解析】【分析】由奇函数的定义和性质求解即可【详解】因为是奇函数，且，所以当时，，所以，故答案为：8.某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是________【答案】.【解析】【详解】分析：将数据由小到大排列好，根据众数，中位数，平均数的概念得到相应的数据即可.详解：根据提干得到中位数为b=15，众数为c=17，平均数为=a.故.故答案为.点睛：这个题目考查了中位数，众数，平均数的概念和计算，较为基础,众数即出现次数最多的数据，中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数.9.函数的图像在点处的切线的倾斜角为______.【答案】##【解析】【分析】先求导，再由导数的几何意义可得，再结合倾斜角的范围求解即可.【详解】因为，所以，则，设直线的倾斜角为，则，又， 所以，故答案为：.10.方程在上有三个不同的实根，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】方程在上有三个不同的实根，则与有3个不同的交点，利用导数研究函数的单调性，作出图象，即可求解【详解】由得，令，则，令，解得，令，解得或，所以在上递减，在上递增，在上递减，所以在处取得极小值，且为；在处取得极大值，且为；画出的大致图像如下： 方程在上有三个不同的实根，则与有3个不同的交点，由图象可知实数的取值范围是故答案为：11.口袋中放有大小相等的2个白球和1个黑球，有放回地每次摸取1个球，定义数列：若第次摸到白球，；若第次摸到黑球，.设为数列的前项和，则的概率为______.【答案】【解析】【分析】题意说明共摸球七次，只有两次摸到白球，利用独立事件的概率公式求解即可【详解】由题意说明共摸球七次，只有两次摸到白球，因为每次摸球的结果之间没有影响，摸到白球的概率是，摸到黑球的概率为，所以只有两次摸到白球的概率为，故答案为：12.已知､是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则______.【答案】3【解析】【分析】利用向量的数量积运算可得，利用 ，进一步利用椭圆的定义可转化为，进而得解.【详解】解：连接,设椭圆的半焦距为，半虚轴为，,.故答案为：3.二､选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.用数学归纳法证明：“为正整数”，在到时的证明中，（）A.左边增加的项为B.左边增加的项为C.左边增加的项为D.左边增加的项为【答案】D【解析】【分析】根据式子的结构特征，求出当n＝k时，等式的左边，再求出n＝k+1时，等式的左边，比较可得所求．【详解】当n＝k时，等式的左边为，当n＝k+1时，等式的左边为，故从“n＝k到n＝k+1”，左边所要添加的项是．故选：D．14.已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由正态密度曲线的对称性逐一分析四个选项即可得答案.【详解】解：由正态分布的正态密度曲线关于直线对称，对A：由对称性可得图中阴影部分可表示为，故选项A不符合题意；对B：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为，故选项B不符合题意；对C：由对称性可得，故选项C符合题意；对D：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为，故选项D不符合题意.故选：C.15.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用条件概率的计算公式求解即可【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”， 则，所以.故选：C16.已知函数有两个零点，对于下列结论：①；②；则（）A①②均对B.①②均错C.①对②错D.①错②对【答案】C【解析】【分析】函数有两个零点，则有两个根，即，设，利用导数法研究即可【详解】因为函数有两个零点，所以有两个根，即，设，，当时，解得，函数单调递增；当时，解得，函数单调递减，，当趋向于正无穷时，趋向于0，当趋向于0时，趋向于负无穷，所以当时，与有两个交点，故①正确；由此可知，因为，若，即.即证， 当趋向于正无穷时，不成立，故②不正确.故选：C三､解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知曲线和.（1）若曲线､在处的切线互相垂直，求的值；（2）若与曲线､在处都相切的直线的斜率大于3，求的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据切线垂直可得在处导数值的乘积为求解；（2）利用导数计算切线斜率，再由斜率大于3求解即可.【小问1详解】由可得，由可得，因为曲线､在处的切线互相垂直，所以，解得.【小问2详解】由题意，切线的斜率，可得，且或，所以，令，则函数在和上是增函数，所以或，即或，解得或.18.在数列中，正整数. （1）若数列为常数列，求的通项；（2）若，用数学归纳法证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据数列为常数列及所给递推关系，平方后即可得解；（2）根据数学归纳法的证明步骤，结合余弦的降幂公式即可得证.【小问1详解】，，又数列为常数列，，解得或（舍去）的通项公式为.【小问2详解】当时，，成立；假设时成立，即，当时，（为锐角），即时，成立，综上，对任意，都有.19.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如表：优秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120 （1）根据所给数据，完成下面列联表，并据此判断：能否有的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀､良好或及格则体质达标，否则不达标）达标不达标合计男生女生合计其中；（2）体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男､女生体质测试成绩优良的频率视为该市男､女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取1名男生，1名女生，设所选2人中体质测试成绩优良人数为，求的分布列，数学期望与方差.【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为该市学生体质达标与性别有关（2）分布列见解析，，【解析】【分析】（1）直接列出列联表，计算，由独立性检验的思想求解即可；（2）写出的可能取值，并求出相应的概率，即可求解【小问1详解】由题得列联表如下：达标不达标合计男生10801201200女生840120960合计19202402160所以没有的把握认为该市学生体质达标与性别有关.【小问2详解】 由题意男生体质测试优良率，女生体质测试优良率.的所有可能取值为.所以的分布列为012，20.已知双曲线，直线，与交于、两点，为关于轴的对称点，直线与轴交于点；（1）若点是的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若，点的坐标为，且，求的值；（3）若，求关于的表达式．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由双曲线，点是的一个焦点，求出，，由此能求出的标准方程，从而能求出的渐近线方程.（2）双曲线为：，由定比分点坐标公式，结合已知条件能求出的值. （3）设，，，则，，由，得，由，得，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出关于的表达式.【小问1详解】∵双曲线，点是的一个焦点，，，，的标准方程为：，的渐近线方程为.小问2详解】，双曲线为：，，，，设，则由定比分点坐标公式，得：，解得，又∵，，则，所以的值为.【小问3详解】 设，，，则，，由，得，，，由，得，，，即，又，化简得，解得，当时，由，得，由，得，即，代入化简得：，解得，当时，满足， 当时，由，得（舍去），综上，得.21.已知函数.（1）已知时函数的极值为3，求和的值；（2）已知在上是严格增函数，求的取值范围；（3）设，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）时函数的极值为3，有，可解和的值；（2）在上是严格增函数，则在上恒成立，分离常数求的取值范围；（3）分类讨论的单调性，计算最小值，看是否存在使得函数的最小值为2.【小问1详解】，，依题意有：，解得；【小问2详解】，在上是严格增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以是上的严格减函数，当时，，故，的取值范围为. 【小问3详解】，，①当时，，是上的严格减函数，最小值为，不合题意；②当时，，是上的严格减函数，最小值为，不合题意；③当时，在上，，严格减，在上，严格增，，即，所以当时，存在.