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时间:2024-09-04
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上海市川沙中学2021-2022学年高一下期中考试数学试卷一、填空题(本大题满分36分,本大题共有12题)1.函数定义域为_____________________.【答案】【解析】【分析】由,可得,结合正弦函数的性质,即可得到所求定义域.【详解】解:依题意可得,可得,解得,,所以函数的定义域为.故答案为:.2.已知向量,若向量,则实数_____.【答案】【解析】【分析】直接根据向量平行得到,解得答案.【详解】向量,由得,所以.故答案为:3.已知复数,则复数的虚部为_____.【答案】【解析】【分析】根据复数乘法和除法运算法则化简,即可得到复数的虚部.【详解】,则复数虚部为.故答案为:. 4.若,则角_____.【答案】【解析】【分析】利用反三角函数解方程即可.【详解】由于表示上正弦值等于的一个锐角,且,故.故答案为:.5.在中,,则的形状为_____.(填“锐角三角形”、“钝角三角形”或“直角三角形”)【答案】钝角三角形【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理求出,即可得到答案.【详解】在中,,由正弦定理得,所以,,由余弦定理得,因为,所以.故的形状是钝角三角形.故答案为:钝角三角形6.已知,,向量在上的投影向量为__.【答案】【解析】【分析】直接根据投影向量的概念计算得到答案.【详解】向量在上的投影向量为.故答案为: 7.已知两个单位向量、的夹角为,若向量,则__.【答案】【解析】分析】计算,,计算得到答案.【详解】由题意得,所以.故答案为:8.已知函数,且,则__.【答案】0【解析】【分析】计算得到,代入计算得到答案【详解】,则.故答案为:9.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,、、所对的边长分别为、、,则的面积.根据此公式,若,且,则的面积为__.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换得到,利用余弦定理得到,代入公式计算得到答案.【详解】由于,所以,故, 即,因为,,故.由余弦定理得,整理得,所以.故答案为:10.在中,,是的中点,若,在线段上运动,则的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】先判断是等腰直角三角形,,以所在的直线为轴,以的中点为坐标原点建立直角坐标系,写出点的坐标,设且,求出和的坐标,计算再求最值即可.【详解】在中,,,所以,,是等腰直角三角形,,如图以所在的直线为轴,以的中点为坐标原点建立直角坐标系,则,设则, 所以,所以时,取得最小值为,故答案为:【点睛】关键点点睛:本题的关键点是判断是等腰直角三角形,易于建坐标系,设出动点坐标且,求出定点坐标,即可用坐标表示数量积,再计算最值.11.定义在区间上的函数与的图象的交点个数为____.【答案】16【解析】【分析】画出时的图像,根据图像结合函数的奇偶性得到答案.【详解】由于,故为偶函数,因为也为偶函数,故考虑的情况,画出图像,如图所示:共有个交点,且时,没有交点,故共有16个交点.故答案为:1612.已知平面向量满足,则的最大值是__.【答案】【解析】【分析】计算得到,平方化简得到,,计算得到最值.【详解】由,得,所以,当和共线时等号成立,所以,即,所以, 又,当时取等号.所以的最大值是.故答案为:二、选择题(本大题满分12分,本大题共有4题)13.下列命题一定成立的是()A.若,则B.若,则C.若,则是纯虚数D.若且,则且【答案】D【解析】【分析】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断.【详解】对于,当时,,故选项错误;对于,当时,,但并不相等,故选项错误;对于,若,则并不是纯虚数,故选项错误;对于,因为且,所以为正实数,则且,故选项正确,故选:.14.已知向量,则下列能使成立的一组向量是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量基本定理,只要不共线即可.【详解】A中是零向量,与任何向量共线,B中,,D中,,只有C中不共线,根据平面向量基本定理,存在使得.故选:C. 【点睛】本题考查平面向量基本定理,掌握平面向量基本定理是解题基础.15.若把函数的图象沿轴向左平移个单位,沿轴向下平移一个单位,然后再把图象上各个点的横坐标缩短为原来的,得到函数的图象,则的解析式为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据图象的平移变换求即可.【详解】函数的图象上各个点的横坐标伸长为原来的2倍得到,然后向上平移一个单位得到,向右平移个单位得到,所以.故选:D.16.在△中,为中点,为中点,则以下结论:①存在△,使得;②存在三角形△,使得∥,则()A.①成立,②成立B.①成立,②不成立C.①不成立,②成立D.①不成立,②不成立【答案】B【解析】【分析】建立坐标系,设出坐标,利用坐标关系表示出即可判断.【详解】不妨设,,,,,①,,若,∴,∴,满足条件的明显存在,∴①成立;②F为AB中点,,与交点即重心, ∵为三等分点,为中点,∴与不共线,即②不成立;故选:B三、解答题(本大题满分52分,本大题共有5题)17.已知,其中.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】利用同角三角函数基本公式和正弦的和差公式求值即可.【小问1详解】因为,,且,,所以,,,所以.【小问2详解】因为,,所以.18.已知平面向量,.(1)当为何值时,与垂直; (2)若与的夹角为锐角,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由与的数量积为可得;(2)由与的数量积大于0,再去除两向量同向的情形.【详解】(1)由已知,,,与垂直,则.解得;(2),,又时,,两相向夹角为0,所以且.19.已知向量,,,设函数.(1)求函数最小正周期和严格单调增区间;(2)求函数在恒成立,其实数的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)化简得到,得到周期,计算得到单调区间.(2)题目转化为在恒成立,根据范围计算函数的值域得到答案.【小问1详解】 ,最小正周期为,令,解得,严格单调增区间为;【小问2详解】恒成立,得在恒成立,当时,,,,所以.20.图所示,我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛与小岛、小岛相距都为公里,与小岛相距公里(其中为常数),已知角为钝角,且.(1)求小岛与小岛之间的距离;(用表示)(2)求四个小岛所形成的四边形的面积;(用表示)(3)记为,为,求的值.【答案】(1)公里;(2)平方公里;(3).【解析】【分析】(1)结合同角得平方关系求出的值,进而在中结合余弦定理即可求出结果;(2)结合(1)的结果求出的面积,再在中利用余弦定理求出 ,进而结合三角形的面积公式求出的面积,进而可以求出结果;(3)在利用余弦定理求出的值,进而结合同角的平方关系求出的值,然后结合两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】(1)因为角为钝角,且,所以,在中,,即,因为,解得,所以小岛与小岛之间的距离公里;(2)由(1)知,所以,因为,所以,在中,,即,因为,解得,所以,所以,所以四个小岛所形成的四边形的面积为平方公里;(3)在中,,,因此,,则,,所以.21.已知函数,任取,若函数在区间上的最大值为,最小值为,记. (1)求函数的最小正周期及对称轴方程;(2)当时,求函数的解析式;(3)设函数,,其中为参数,且满足关于的不等式有解,若对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1),();(2).(3).【解析】【分析】(1)根据正弦型函数的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程;(2)分类讨论、、时,求出对应函数的解析式;(3)根据的最小正周期求出函数的最小正周期,研究函数在一个周期内的性质,求出的解析式,画出的部分函数图像,求出值域,利用不等式求出k的取值范围,再把“若对任意,存在,使得成立”转化为“在上的值域是在上的值域的子集”,从而求出k的取值范围.【详解】(1)函数的最小正周期为,令,解得对称轴为;(2)①当时,在区间上,,,所以 ②当时,在区间上,,,所以,③当时,在区间上,,,所以,所以当时,;(3)因为函数的最小正周期为4,所以,所以即函数的周期为4,由(2)可得,画出函数的部分图像如图所示,函数的值域为, 已知有解,即,则,若对任意,存在,使得成立,则在上的值域是在上的值域的子集,,当时,在上单调递减,在上单调递增,所以,因在上单调递增,所以,所以,即.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质,涉及周期性、对称性与单调性,考查不等式恒成立问题,分段函数的单调性与值域,属于难题.
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