上海市浦东新区进才中学2021-2022学年高一下学期4月期中阶段练习数学Word版含解析.docx

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进才中学高一年级期中考试数学试卷一、填空题1.若扇形的弧长和半径都是3，则扇形的面积为______.【答案】【解析】【分析】直接代入扇形面积公式进行求解.【详解】由扇形面积公式可得：.故答案为：2.点是角终边上一点，那么______.【答案】##【解析】【分析】利用任意角三角函数的定义直接求解即可【详解】因为点是角终边上一点，所以，故答案为：3.函数的最大值是．【答案】【解析】【分析】先将原式化简，得到，进而可得其最大值．【详解】因为，，所以，当且仅当时，取得最大值． 故答案为：．【点睛】本题主要考查求正弦型函数的最大值，熟记二倍角公式，以及正弦函数的性质即可，属于基础题型．4.已知向量，方向相反，且，，则在方向上的数量投影为______.【答案】-4【解析】【分析】根据给定条件，利用在方向上的数量投影的定义直接计算作答.【详解】因向量，方向相反，且，，则，所以，在方向上的数量投影是.故答案为：5.函数的定义域为______.【答案】，【解析】【分析】利用真数大于0列出不等式，求出定义域.【详解】由题意得：，即，所以.故答案为：，6.在直角坐标系中，轴在正半轴上一点依逆时针方向作匀速圆周运动，若点一分钟转过角，分钟到达第三象限，分钟回到原来位置，则______.【答案】【解析】【分析】根据分钟回到原来位置和可知角速度可能为、和，根据分钟到达第三象限可确定角速度为，由此可得. 【详解】由题意知：点的角速度为，又，或或；当时，角速度为，则分钟到达的位置，不在第三象限，不合题意；当时，角速度为，则分钟到达的位置，位于第三象限，符合题意；当时，角速度为，则分钟到达的位置，位于第四象限，不合题意；.故答案为：.7.方程在区间上的解集为______.【答案】【解析】【分析】根据余弦二倍角公式展开cos2x，根据二次方程解法求出cosx的值，结合x的范围即可求出x的值．【详解】∵，∴，即，即，∴或，，或故答案为：．8.已知，且，则______.【答案】-5【解析】【分析】从得到，从而利用函数奇偶性求出.【详解】，故，所以 故答案为：-59.直角△ABC中，，，，点O是△ABC所在平面上任意一点，则向量的模为______.【答案】【解析】【分析】根据题意求出BC和cosC，根据向量减法化简，根据向量数量积的运算律即可求其模．【详解】∵在直角△ABC中，，，，∴BC=，cosC=，∵，∴==．故答案为：．10.已知定义在R上的偶函数的最小正周期为，当时，，在区间上恰有三个解、、，且满足，其中，则______.【答案】【解析】【分析】根据题中已知，画出简图，根据图像可找到三个解之间的关系，得到答案.【详解】根据已知可得的简图如下，则有，又，可得，解得.故答案为：. 二、选择题（11-16为单项选择，17-20至少有一个正确选项）11.已知△ABC所在平面上有一点P满足，则下列说法正确的是（）A.点P在AC的延长线上B.点P在△ABC的内部C.点P在直线AB上D.点P在线段AC上【答案】D【解析】【分析】作图，从图形以及向量的方向上理解即可.【详解】因为与的方向是相反的，所以点P必定在AC线段上，如上图，故选：D.12.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用反三角函数进行求解.【详解】由题意得：.故选：D13.方程的实数解的个数是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将方程的实数根的个数，转化为两个函数的交点个数.【详解】分别画出函数和的图象，由图象可知两个函数的交点个数是3个，所以方程程的实数解的个数是3个.故选：B14.化简：的结果为（）A.1B.-1C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式直接化简即可.【详解】故选：A15.在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】取AB的中点D，连接CD，由已知向量等式可得AB与CD 垂直，从而得到三角形为等腰三角形.【详解】若，取AB中点D，连接CD，则，即AB与CD垂直且D为AB的中点，所以可得CB=CA，即三角形为等腰三角形.故选：C16.已知,若,则一定有（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性,然后判断出函数在上的单调性,最后利用函数的奇偶性和单调性的性质，结合二倍角的余弦公式选出正确答案.【详解】,所以函数是偶函数.当时,函数是单调递增函数且函数值都为非负数,故函数是上的递增函数.于是有：,因此有.故选：A【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的应用,考查了余弦的二倍角公式.17.关于函数的图象变换，下列说法正确的是（）A.将的图象向右平移个单位，得到函数的图象B.将的图象向右平移个单位，得到函数的图象 C.将图象上的点横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到图象D.将图象上点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到图象【答案】BC【解析】【分析】根据余弦函数图象的变换性质进行逐一判断即可.【详解】因为的图象向右平移个单位得到的图象，所以选项A不正确；因为的图象向右平移个单位得到的图象，所以选项B正确；因为图象上的点横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到图象，所以选项C正确；将图象上的点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到图象，所以选项D不正确，故选：BC18.关于函数的性质，下列说法正确的是（）A.函数在上的值域是B.函数的图象关于直线对称C.函数在第一象限是严格单调递增函数D.函数的图象既关于对称，也关于对称【答案】BD【解析】【分析】A选项，在上的值域是，B选项，的图象关于直线对称，C 选项，举出反例；D选项，的对称中心为.【详解】在上的值域是，A错误；函数的图象关于直线对称，B正确；，，均为第一象限角，且，而，故不满足函数在第一象限是严格单调递增函数，C错误.函数的图象既关于对称，也关于对称，D正确.故选：BD19.在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A.若，，则A可以是B.若，，，则b只能是1C.若△ABC是锐角三角形，，，则边长c的取值范围是D.若，则角A的取值范围是【答案】CD【解析】【分析】根据正余弦定理对选项逐一判断即可【详解】对于A，当时，根据正弦定理，得到，故A错误；对于B，由余弦定理，得到，或，故B错误，对于C，，要使是锐角三角形，需满足，，，故C正确；对于D，由正弦定理角化边得：，，，，故D正确故选：CD 20.设函数，给出的下列结论中正确的是（）A.当，时，为偶函数B.当，时，在区间上是单调函数C.当，时，在区间上恰有个零点D.当，时，设在区间上的最大值为，最小值为，则的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦型函数的奇偶性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；在时解方程，可判断C选项；对实数的取值进行分类讨论，求出的取值范围，可判断D选项.【详解】对于A选项，当，时，为偶函数，A对；对于B选项，当，时，，当时，，此时函数在区间上不单调，B错；对于C选项，当，时，，当时，，由可得，解得，此时在区间上恰有个零点，C对；对于D选项，当，时，，因为，则， ①若，即当时，函数在区间上单调递增，则；②若时，即当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，，因为，则，，所以，；③若，即当时，函数在区间上单调递减，则；④若时，即当时， 函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，，因为，则，，所以，.综上所述，，D对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数基本性质的综合，难点在于判断D选项，要注意对实数的取值进行分类讨论确定函数在区间上的单调性，求得、的值或表达式，结合三角函数的有界性来求解.三、解答题21.某公园有三个警卫室A、B、C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.（1）保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x、y的值；（2）若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内最大通话距离不超过3千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到0.01小时）【答案】（1），；（2）小时.【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量模的公式结合题意进行求解即可.【小问1详解】因为，所以，因此建立如图所示的平面直角坐标系，，设保安甲从C出发小时后达点D，所以有，设，由，即，当时，，由；【小问2详解】设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为，于是有，因为对讲机在公园内的最大通话距离超过3千米，两人不能通话，所以有，所以，或， 而，所以有，因为，所以两人约有小时不能通话.22.已知函数的最小正周期为.（1）求的值及函数的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若，，，求的取值范围.【答案】（1）；，（2）【解析】【分析】（1）由可得到，化简，结合正弦型函数单调性即可求解；（2）由（1）可得，利用余弦定理和基本不等式可得的最大值，根据三角形三边关系可知，即可求解.【小问1详解】因为最小正周期为，所以，则，所以，则，所以，，所以，，所以的单调减区间为：， 【小问2详解】由（1），则，因为，所以，则，因为，由余弦定理有，即，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，又，所以23.已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数”.（1）判断下面两组函数中，是否为的“n重覆盖函数”，并说明理由；①，，“4重覆盖函数”；②，，“2重覆盖函数”；（2）若，为，的“9重覆盖函数”，求的最大值.【答案】（1）①是，理由见解析；②不是，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）①：根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可；②：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即可；（2）利用正弦型函数的性质，结合反比例函数的性质进行求解即可.【小问1详解】 ①：当时，，根据余弦函数的图象可知，是“4重覆盖函数”；②：由可知：，函数的图象如下图所示：当时，，当，所以不是的“重覆盖函数”；【小问2详解】因为，所以，因为，所以当时，，当时，，函数和函数都是单调递减函数，故该函数单调递减，当时，，函数是单调递增函数，函数是单调递减函数，而函数 递增的速度快于函数递减的速度，所以函数单调递增，而函数的最小正周期为：，因此函数，的图象如下图所示：因此要想，为，的“9重覆盖函数”，只需，所以的最大值.【点睛】关键点睛：根据函数的单调性结合函数图象是解题的关键.