上海市仙霞高级中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题 Word版含解析.docx

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高一下学期4月线上练习卷数学试题一、填空题（每题4分，共40分）1.将角度化为弧度是______.【答案】##【解析】【分析】利用角度制和弧度制的互化求解.【详解】角度化为弧度是，故答案为：2.在边长为2正方形ABCD中，______.【答案】2【解析】【分析】由向量运算可求解.【详解】.故答案为：2.3.函数的最大值是______.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式计算可得；【详解】解：，其中，；因为，所以；故答案为：4.化简求值：______.【答案】0【解析】【分析】根据余切的定义结合平方关系计算即可得出答案. 【详解】解：.故答案为：0.5.在边长为2的等边△ABC中，在方向上的数量投影是______.【答案】【解析】【分析】根据数量投影的定义直接求解即可.【详解】由题可得在方向上的数量投影是.故答案为：.6.已知等腰三角形的底角的余弦值等于，则这个三角形的顶角的余弦值是______.【答案】【解析】【分析】首先用底角表示顶角，再求余弦值.【详解】设等腰三角形底角为，则，则顶角为，.故答案为：7.已知，，则满足条件的角x的集合是______.【答案】 【解析】【分析】根据方程直接求解即可.【详解】因为，，解得或或或，所以满足条件的角x的集合是.故答案为：.8.已知△ABC外接圆半径，，，则△ABC的面积是______.【答案】【解析】【分析】首先根据正弦定理求得边角，并判断三角形的形状，再求面积.【详解】，，，或（舍），，所以角，.故答案为：9.函数单调增区间是______.【答案】【解析】【分析】根据正切函数的单调性即可得出答案.【详解】解：令，得，所以函数的单调增区间是.故答案为：. 10.如图所示为函数的部分图象，其中，则______.【答案】【解析】【分析】设，其中，根据，求得，得到，得到函数，结合，即可求解.【详解】由函数的部分图象，设，其中，因，可得，解得，即，所以，可得，所以，又由，可得，因为，所以.故答案为：.二、单选题（每题4分，共16分）11.下列有关向量的命题正确的是（）A.长度相等的向量均为相等向量B.若ABCD是平行四边形，则必有C.非零向量，，，等式恒成立D.若非零向量，满足，则，所在的直线平行或重合【答案】D【解析】 【分析】由相等向量的概念可判断A；结合图形和相等向量概念可判断B；由数量积的性质可判断C；由共线向量的概念可判断D.【详解】由相等向量概念可知A错误；由图知，为相反向量，B错误；记，则，显然，，不共线时，C错误；由平行向量的概念可知，D正确.故选：D12.函数是（）A.周期为偶函数B.周期为的奇函数C.周期为的偶函数D.周期为的奇函数【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式化简，再结合正弦函数的性质判断即可；【详解】解：，所以函数的最小正周期，且为奇函数；故选：B13.已知是第四象限的角，化简的结果是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式，化简求值. 【详解】原式，因为是第四象限的角，所以，所以原式化简的结果是.故选：D14.已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点O顺时针旋转至，则点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义，求出的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【详解】解：点的坐标为，设，则，，将绕坐标原点顺时针旋转至，则的倾斜角为，则，则点的纵坐标为，点的横坐标为，即故选：C．三、解答题 15.已知：.（1）化简：；（2）求函数的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）利用二倍角公式公式将函数变形，再根据余弦函数的有界性及二次函数的性质计算可得；【小问1详解】解：即【小问2详解】解：因为，，当时，函数取得最小值，最小值为．16.已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）若，求的最小值及取得最小值时对应的x的取值. 【答案】（1）最小正周期为；单调递增区间为（2）的最小值为，此时.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换和辅助角公式化简，再利用周期公式和整体代换法即可求解；（2）利用（1）的结论，根据整体代换法求出最小值及取得最小值时对应的x的取值即可.【小问1详解】依题意得：的最小正周期为；由得：单调递增区间为：【小问2详解】，即：，此时.17.（1）已知，是两个不平行的向量，向量，，，求证：A，C，D三点共线；（2）已知，满足，，，求.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算求出，证明，即可得证； （2）分别求出，再根据即可得解.【详解】（1）证明：由，，，得，，所以，所以，又点为公共点，所以A，C，D三点共线；（2）解：因为，，，所以，，，所以，所以.18.已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒（1）若，求b、c；（2）若，求c．【答案】（1）1，；（2）﹒【解析】【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．(2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得、的值，进而根据正弦定理可得的值．【小问1详解】 ∵，由正弦定理得，又，可得，由于，可得．【小问2详解】∵，0＜C＜π，∴，C＞＞A，.∵，∴，又，可解得或(舍)，由正弦定理，可得．