四川省南充市南充高级中学2023-2024学年高一下期开学考试数学试题 Word版含解析.docx

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2023—2024学年高一下学期开学考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式可求得集合，易知，可得结果.【详解】解不等式可得，易知，所以.故选：D2.已知函数，则（）A.-1B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】代入数值，即可求解.详解】令，得，则.故选：A3.函数是（） A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式可求得，由奇偶性定义和周期公式可得结论.【详解】因为，所以是最小正周期为，且，为奇函数；可得是最小正周期为的奇函数.故选：C4.设，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件和不等式的性质，分别判断各选项中的结论是否正确．【详解】因为，所以，则，则A选项错误；因为，所以，又0，则，即，所以，即，则B选项正确；当时，，则C选项错误；因为，由B选项可知，所以，则D选项错误.故选：B5.函数的图象大致为：（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数定义域，根据函数的奇偶性的定义及特殊值法可得结果.【详解】要使函数有意义，即，所以故的定义域为，关于原点对称.因为，所以为奇函数，排除选项BC.当时，，所以，所以排除选项A，故选：D.6.已知，则（）A.B.C.D.或【答案】A【解析】【分析】由，计算，由，利用两角差的余弦公式求解即可.【详解】由，得，因为，所以，则， .故选：A7.“双碳”战略倡导绿色､环保､低碳的生活方式.加快降低碳排放的步伐，有利于引导绿色技术创新，提高产业和经济的竞争力.某企业准备在新能源产业上布局，计划第1年投入万元，此后每年投入的资金比上一年增长，到第年，投入的资金首次超过万元，则（）（参考数据：）A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】【分析】根据增长率，列不等式求解【详解】令，解得，故.故选：D8.已知函数，则“”是“在上恰好存在3个不同的满足”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由的取值范围，求满足题意的的范围；由，求在区间上的解，分别判断充分性和必要性得结论.【详解】当时，，若在上恰好存在3个不同的满足， 则，解得，必要性成立.若，有，则时，当或或时，有或或满足，即在上恰好存在3个不同的满足，充分性成立.所以“”是“在上恰好存在3个不同的满足”的充要条件.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.是幂函数B.是减函数C.是奇函数D.是偶函数【答案】ACD【解析】【分析】分别判断各选项中函数的类型和性质即可.【详解】函数是幂函数，选项正确；由指数函数是减函数，则是增函数，选项错误；函数定义域为R，，是奇函数，选项正确.函数定义域为R，，所以是偶函数，选项正确.故选：ACD.10.已知函数，则（）A.的最大值为 B.的图象关于点对称C.是偶函数D.不等式的解集是【答案】ACD【解析】【分析】利用两角和的正弦公式，降幂公式，辅助角公式化简函数解析式，通过解析式和正弦函数的性质，研究最大值，对称中心，奇偶性，解正弦不等式.【详解】.，则的最大值为，故A选项正确.令，解得，则的图象关于点对称，故B选项错误.是偶函数，则C选项正确.，即，即，则，解得，即不等式的解集是，故D选项正确.故选：ACD.11.已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，下列结论正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于直线对称 C.函数最小值为D.若方程有两个解，则【答案】ABD【解析】【分析】利用函数的单调性和图象的对称性，对选项逐一判断即可.【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于直线对称，A选项正确；令函数，则，即，所以函数图象关于直线对称，B选项正确；因为函数的图象关于直线对称，，且在上单调递增，所以，，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立.因为取等条件不同，所以取不到等号，C选项错误；因，所以.令函数，则，即，所以函数的图象关于直线对称，若方程有两个解，则，D选项正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的定义域是，则函数的定义域是__________.【答案】【解析】【分析】根据抽象函数和具体函数的形式，求解函数的定义域.【详解】由题意可得，解得. 所以函数的定义域为.故答案为：13.如图1，这是一副扇形装饰挂画，可将其视为如图2所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的），米.该扇形环面的周长为4米，则该扇形环面的面积是__________平方米.【答案】0.96【解析】【分析】设米，利用扇形环面的周长，表示出与的关系，代入面积公式求扇形环面的面积.【详解】设米，则弧的长度，弧的长度.因为该扇形环面的周长为4米，所以，即4，整理得.则该扇形环面的面积：平方米.故答案为：0.96.14.设正实数满足，则的最小值是__________；当取得最小值时，的最小值为__________.【答案】①.3②.-4【解析】【分析】由已知等式得，利用基本不等式求最小值；此时，利用配方法求最小值. 【详解】因为，所以.因为为正实数，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为3；此时，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：3；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合.（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解绝对值不等式，得到，利用并集的概念求出并集；（2）根据交集的结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出的取值范围.【小问1详解】，故，解得，由题意可得，当时，，则；【小问2详解】因为，所以. 当时，，即，符合题意；当时，解得，综上，的取值范围是.16.已知函数.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）应用诱导公式，把所有的形式都转化为表示，进一步化简即可；（2）利用齐次式形式，将因式转为表示，用求值即可.小问1详解】因为，所以.【小问2详解】由（1）知， 则，则，故.17.已知函数，其中是自然对数的底数.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）若关于的方程有解，求的取值范围.【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性定义可判断是偶函数；（2）易知函数的值域为，利用换元法以及二次函数性质可得的取值范围.【小问1详解】的定义域为.因为，所以是偶函数.【小问2详解】令，当且仅当，即时，等号成立，则有解，又开口向上，对称轴为，当时，，由二次函数性质可得，解得.当时，，可得，即，解得或.又，所以. 综上可得的取值范围是.18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间；（3）若存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据图象可求得，可得，再结合可求得，又由，求得，从而可求解.（2）利用整体代换法可求出的单调递增区间.（3）由可得，然后求得的最小值为，即，从而可求解.【小问1详解】由题意可得，则， 因为，且，所以，由图可知，则，解得，因为，所以，由图可知，解得，故.【小问2详解】令，解得，则的单调递增区间为.【小问3详解】因为，所以，所以当，即时，取得最小值.因为存在，使得，所以，解得，则的取值范围是.19.已知是定义在上的奇函数.（1）求的值域；（2）设函数，若对任意的，存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由函数为奇函数，求出的值，根据解析式和奇偶性，结合指数函数的性质求值域；（2）依题意，函数在上的值域是函数在上的值域的子集，分别求两个函数在区间内的值域，利用包含关系求的取值范围.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得.经验证，符合题意.当时，，所以，所以，即在上的值域为.因为是奇函数，所以在上的值域为，则的值域为.【小问2详解】因为对任意的，存在，使得，所以函数在上的值域是函数在上的值域的子集..因为，所以，所以，则，所以，即.因为，所以，则，所以，即，所以，