河南省洛阳市2020-2021学年高二下学期期末数学（理科）Word版含解析

《河南省洛阳市2020-2021学年高二下学期期末数学（理科）Word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2020-2021学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z满足，则z的共轭复数对应的点位于复平面的（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在用最小二乘法进行线性回归分析时，有下列说法：①由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心；②由样本点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）得到回归直线，则这些样本点都在回归直线上；③利用来刻画回归的效果，R2≈0.75比R2≈0.64的模型回归效果好；④残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越低．其中正确的结论是（　　）A．①②B．①③C．②③D．②④3．已知，则x+2y的最大值为（　　）A．2B．4C．6D．84．双曲线C：y2﹣x2＝a2（a＞0）与抛物线y2＝4x的准线交于A，B两点，若|AB|＝4，则双曲线C的实轴长为（　　）A．1B．2C．D．5．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是（　　）A．B．ea＞ebC．a2＞b2D．lna＞lnb＞06．已知，则的值等于（　　）A．31B．32C．63D．647．南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为

1．若△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2sinA＝sinC，，a＜b＜c，则用“三斜求积术”求得△ABC的面积为（　　）A．B．1C．D．8．从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，事件A为“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件B为“取到的两张均为假钞”，则P（B|A）＝（　　）A．B．C．D．9．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且（n≥2），则这个数列的第10项等于（　　）A．B．C．D．10．如图1，在直角梯形A3A2A1C1中，A3B＝BC＝CA2＝BB1＝1，A2A1∥CC1∥BB1，沿CC1，BB1折叠，使点A3，A2重合于点A，如图2，则异面直线AB1，BC1所成角的余弦值为（　　）A．B．C．D．11．若，则（　　）A．cln7＞bln5＞aln3B．bln5＞aln3＞cln7C．aln3＞cln7＞bln5D．cln7＞aln3＞bln512．函数y＝f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）＝叫做曲线y＝f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y＝x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A、B是抛物线y＝x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设曲线y＝ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2＝1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．以上正确命题的序号为（　　）A．①②B．②③C．③④D．②③④

2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量X～B（5，），则P（X＝2）＝　　．14．函数y＝sinx，y＝cosx与y轴在第一象限内所围成平面图形的面积为　　．15．2021年，北京冬奥组委会召开记者招待会，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出4个媒体团进行现场提问，要求这四个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为　　.（用数字作答）16．若x＜y时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是　　．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，2Sn+3＝an+1．（1）证明数列{an}为等比数列；（2）设bn＝log3an，求数列的前n项和Tn．18．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC的周长L的最大值．19．如图，圆柱的底面圆直径，AA1，BB1，CC1均为圆柱的母线，点E在AA1上，且BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若E为AA1的中点，B为弧的中点，且AE＝AB，求二面角C﹣EB1﹣C1的余弦值．20．某中学模拟新高考模式，将本校期末考试成绩划分为A，B，C三个等级．教务处为了调研高一新生学习情况，随机抽取了高一某班10名同学的语文、数学、英语成绩，并对他们的成绩进行量化：A级记为2分，B级记为1分，C级记为0分，用（x，y，z）表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，得到如下结果：人员编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10

3（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（0，0，1）（1，2，1）（1，2，2）（1，1，1）（1，2，2）（1，2，1）（1，1，1）现用综合指标ω＝x+y+z的值评定该同学的得分等级：若ω≥4，则得分等级为一级；若2≤ω≤3，则得分等级为二级；若0≤ω≤1，则得分等级为三级．（1）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；（2）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X＝a﹣b，求X的分布列及数学期望．21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，平行于x轴的直线l经过点，且与椭圆C交于P，Q两点，四边形B1PB2Q的面积为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点M是椭圆C上一动点，直线MF1，MF2分别与椭圆C交于点A，B，试问：是否为定值？若是，求出该定值．22．已知函数f（x）＝x2﹣2x+alnx（a∈R）．（1）当a＝﹣4时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．

4参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z满足，则z的共轭复数对应的点位于复平面的（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：由＝，得z＝，则，∴z的共轭复数对应的点的坐标为（），位于复平面的第一象限．故选：A．2．在用最小二乘法进行线性回归分析时，有下列说法：①由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心；②由样本点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）得到回归直线，则这些样本点都在回归直线上；③利用来刻画回归的效果，R2≈0.75比R2≈0.64的模型回归效果好；④残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越低．其中正确的结论是（　　）A．①②B．①③C．②③D．②④解：由回归方程的求法知，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，故①正确；由样本点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）得到回归直线，则这些样本点都在回归直线附近，故②不正确；利用来刻画回归的效果，R2越大回归效果越好，故③正确；残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越高，故④不正确；

5故选：B．3．已知，则x+2y的最大值为（　　）A．2B．4C．6D．8解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），令z＝x+2y，化为y＝，由图可知，当直线y＝﹣过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．故选：C．4．双曲线C：y2﹣x2＝a2（a＞0）与抛物线y2＝4x的准线交于A，B两点，若|AB|＝4，则双曲线C的实轴长为（　　）A．1B．2C．D．解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，设等轴双曲线与抛物线的准线x＝﹣1的两个交点A（﹣1，y），B（﹣1，﹣y）（y＞0），则|AB|＝|y﹣（﹣y）|＝2y＝4，解得y＝2．将x＝﹣1，y＝2代入双曲线C：y2﹣x2＝a2，得4﹣1＝a2，解得a＝，则2a＝2．故选：C．5．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是（　　）A．B．ea＞ebC．a2＞b2D．lna＞lnb＞0解：A：∵a＞b＞0⇔＞＞0，∴＞＞0是a＞b＞0的充要条件，∴A错误，B：∵ea＞eb，∴a＞b，∵a＞b＞0⇒a＞b，∴ea＞eb是a＞b＞0的必要不充分条件，∴B错误，

6C：∵a＞b＞0⇒a2＞b2，∴a2＞b2是a＞b＞0的必要不充分条件，∴C错误，D：∵lna＞lnb＞0，∴a＞b＞1，∵a＞b＞1⇒a＞b＞0，∴D正确．故选：D．6．已知，则的值等于（　　）A．31B．32C．63D．64解：∵（1+3x）n＝1+•3x+•32x2+•••+•（3x）n，∴令x＝1，可得1+3+32+33+•••+3n＝4n＝22n，∴2n＝10，n＝5．则＝1+﹣1＝2n﹣1＝31，故选：A．7．南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为．若△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2sinA＝sinC，，a＜b＜c，则用“三斜求积术”求得△ABC的面积为（　　）A．B．1C．D．解：因为c2sinA＝sinC，由正弦定理得ac2＝c，即ac＝1，因为，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，所以a2+c2﹣b2＝，所以＝＝．故选：B．8．从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，事件A为“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件B为“取到的两张均为假钞”，则P（B|A）＝（　　）

7A．B．C．D．解：设事件A表示“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件B表示“取到的两张均为假钞”，则所求的概率即P（B|A）．又P（AB）＝P（B）＝＝，P（A）＝＝结合条件概率公式可得：P（B|A）＝＝．故选：D．9．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且（n≥2），则这个数列的第10项等于（　　）A．B．C．D．解：∵，∴，∴＝＝＝（），∴＝，即{}为等差数列，（n≥2）．然后可得d＝，，∴．故选：C．10．如图1，在直角梯形A3A2A1C1中，A3B＝BC＝CA2＝BB1＝1，A2A1∥CC1∥BB1，沿CC1，BB1折叠，使点A3，A2重合于点A，如图2，则异面直线AB1，BC1所成角的余弦值为（　　）

8A．B．C．D．解：由题意知△ABC是边长为1的正三角形，AA1∥CC1∥BB1，AA1⊥平面ABC，BB1＝1，AA1＝2，所以可以C为坐标原点，CA，CC1所在直线分别为y轴，z轴，过点C且垂直于平面ACC1A1的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A（0，1，0），，所以，所以，故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：B．11．若，则（　　）A．cln7＞bln5＞aln3B．bln5＞aln3＞cln7C．aln3＞cln7＞bln5D．cln7＞aln3＞bln5解：设f（x）＝，求导可得f'（x）＝，令f（x）＝0，解得x＝e，当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，故f（x）单调递减，又∵e＜3＜5＜7，∴f（3）＞f（5）＞f（7），即，又∵，∴3a＜5b＜7c，即ln3a＜ln5b＜ln7c，

9∴aln3＜bln5＜cln7．故选：A．12．函数y＝f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）＝叫做曲线y＝f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y＝x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A、B是抛物线y＝x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设曲线y＝ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2＝1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．以上正确命题的序号为（　　）A．①②B．②③C．③④D．②③④【解答】解析：①错：解：对于（1），由y＝x3﹣x2+1，得y′＝3x2﹣2x，则kA＝1，kB＝8，则|kA﹣kB|＝7y1＝1，y2＝5，则|AB|＝，φ（A，B）＝，①错误；②对：如y＝1时成立；③对：φ（A，B）＝＝＝；④错：对于（4），由y＝ex，得y′＝ex，φ（A，B）＝＝．t•φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t＝1时该式成立，∴（4）错误．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量X～B（5，），则P（X＝2）＝　　．解：因为随机变量X～B（5，），所以P（X＝2）＝＝．

10故答案为：．14．函数y＝sinx，y＝cosx与y轴在第一象限内所围成平面图形的面积为　　．解：y＝sinx与y＝cosx在x＝相交，由定积分的定义可得，函数y＝sinx，y＝cosx与y轴在第一象限内所围成平面图形的面积为：＝（sinx+cosx）＝．故答案为：．15．2021年，北京冬奥组委会召开记者招待会，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出4个媒体团进行现场提问，要求这四个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为　684　.（用数字作答）解：根据题意，选出{国内，国外}的可能组合为{1，3}，{2，2}，{3，1}不满足国内媒体团不能连续提问，当{1，3}组合时，选取方式有，提问方式＝24种，则不同的提问方式为6×24＝144，当{2，2}组合时，选取方式有＝45种，提问方式，安排国内两个媒体的提问先后顺序种，由于国内媒体团不能连续提问，再将2个国外媒体插入到2个空（非头尾），确定国外媒体提问顺序，或将国内两个媒体团捆绑插入国内两个团中间提问，则有1种情况，确定国外媒体提问顺序，故共有＝12种，则不同的提问方式为45×12＝540，综合以上两种情况，不同的提问方式的种数为144+540＝684．故答案为：684．16．若x＜y时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是　（﹣∞，﹣2]　．解：设f（x）＝2sin（x+）﹣mx，∵若x＜y时，不等式恒成立，∴2sin（x+）﹣mx＜2sin（y+）﹣my恒成立，即x＜y时，f（x）＜f（y）恒成立，

11∴f（x）＝2sin（x+）﹣mx在R上为增函数，则f′（x）＝2cos（x+）﹣m≥0，∴m≤[2cos（x+）]min，∴m≤﹣2，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，2Sn+3＝an+1．（1）证明数列{an}为等比数列；（2）设bn＝log3an，求数列的前n项和Tn．【解答】（1）证明：由a1＝3，2Sn+3＝an+1，得2Sn﹣1+3＝an（n≥2），两式相减可得2an＝an+1﹣an（n≥2），得an+1＝3an（n≥2），又a2＝2a1+3＝9，满足a2＝3a1，所以{an}是首项为3，公比为3的等比数列．（2）由（1）知，∴，令cn＝，则cn＝，所以Tn＝c1+c2+…cn＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC的周长L的最大值．解：（1）∵，由正弦定理得，∵sinB≠0，∴，∴，∴，∴，∵C∈（0，π），∴．

12（2）∵，由正弦定理可得a＝2sinA，b＝2sinB，∴＝，∵，∴，∴当即，时，，∴（a+b）max＝2，∴△ABC的周长L＝a+b+c的最大值为．19．如图，圆柱的底面圆直径，AA1，BB1，CC1均为圆柱的母线，点E在AA1上，且BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若E为AA1的中点，B为弧的中点，且AE＝AB，求二面角C﹣EB1﹣C1的余弦值．【解答】（1）证明：由题设知，B1C1⊥A1B1，且B1C1⊥B1B，而B1C1∩B1B＝B1，∴B1C1⊥平面B1BAA1，∵BE⊂平面B1BAA1，∴B1C1⊥BE，∵BE⊥EC1且B1C1∩EC1＝C1，∴BE⊥平面EB1C1．（2）由题设知，AB＝1，∴AE＝1，AA1＝2，取AC中点O，A1C1中点O1，以O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系如图所示，

13则，，，，，∴，．设是平面CEB1的法向量，则，即，∴可取．由（1）知是平面EB1C1的一个法向量，而，∴二面角C﹣EB1﹣C1的余弦值为．20．某中学模拟新高考模式，将本校期末考试成绩划分为A，B，C三个等级．教务处为了调研高一新生学习情况，随机抽取了高一某班10名同学的语文、数学、英语成绩，并对他们的成绩进行量化：A级记为2分，B级记为1分，C级记为0分，用（x，y，z）表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，得到如下结果：人员编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（0，0，1）（1，2，1）（1，2，2）（1，1，1）（1，2，2）（1，2，1）（1，1，1）现用综合指标ω＝x+y+z的值评定该同学的得分等级：若ω≥4，则得分等级为一级；若2≤ω≤3，则得分等级为二级；若0≤ω≤1，则得分等级为三级．（1）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；（2）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X＝a﹣b，求X的分布列及数学期望．解：（1）设事件A为“从10名同学中随机抽取两人，他们的英语得分相同”，英语得分为1的有：A2，A4，A5，A7，A9，A10，英语得分为2的有：A1，A3，A6，A8，从10名同学中随机抽取两人的所有可能结果数为，英语得分相同的所有可能结果数为，∴英语得分相同的概率．（2）计算10名同学的综合指标，可得下表：

14人员编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指标4461453543其中综合指标是一级的（w≥4）有：A1、A2、A3、A5、A5、A8、A9共7名，综合指标不是一级的（w＜4）有：A4、A7、A10，共3名，随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5，，，，，，∴X的分布列为：X12345P∴．21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，平行于x轴的直线l经过点，且与椭圆C交于P，Q两点，四边形B1PB2Q的面积为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点M是椭圆C上一动点，直线MF1，MF2分别与椭圆C交于点A，B，试问：是否为定值？若是，求出该定值．解：（1）∵椭圆的离心率为，∴，∵b2+c2＝a2，∴．①由题意将代入椭圆方程可得，∴，∴，∴．②解①②可得a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的标准方程为．

15（2）设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），当y0≠0时，设直线MF1，MF2的方程分别为x＝m1y﹣1，x＝m2y+1，由，∴，△＞0，，∵x0＝m1y0﹣1，∴，∵，∴，同理由，∴．∴．当y0＝0时，直线MF1，MF2与x轴重合，∴．综上，．22．已知函数f（x）＝x2﹣2x+alnx（a∈R）．（1）当a＝﹣4时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）a＝﹣4时，f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，定义域为（0，+∞），．∴0＜x＜2时：f'（x）＜0，x＞2时，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为[2，+∞），单调减区间为[0，2]（2）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，．由f'（x）＝0．得2x2﹣2x+a＝0，当△＝4﹣8a＞0，时，x1+x2＝1，，，则x1＞0，∴a＞0．由，可得，，，令，

16则，因为.，，又2lnx＜0．所以h'（x）＜0，即时，h（x）单调递减，所以，即，故实数m的取值范围是．