河南省新乡市名校2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理科）Word版含解析

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2020-2021学年河南省新乡市名校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合M＝{x|2x﹣x2≥0}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（　　）A．a＜2B．a＞2C．a≥2D．a≤22．已知复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（　　）A．1B．C．2D．3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝40，a2＝5，则S11＝（　　）A．165B．176C．180D．1874．党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（GDP）y（单位：万亿元）关于年份代号x的回归方程为＝6.6x+50.4（x＝1，2，3，4，5，6，7），由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（　　）A．14.0B．13.6C．202.2D．195.65．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（　　）A．B．C．D．6．设函数f（x）＝2x﹣2﹣x+x3，则使得不等式f（2x﹣1）+f（3）＜0成立的实数x的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2）C．（﹣1，+∞）D．（2，+∞）7．已知＝（1，2），＝（m，1），＝（3，﹣4），若（+）⊥，则向量，夹角的正切值为（　　）A．B．1C．D．

18．已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为（　　）A．8B．7C．6D．59．设0＜a，b，c＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012Pabc若，则（　　）A．B．C．D．10．已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x＝0时，y的值表示2021年年初的种群数量．若t（t∈N*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（　　）（参考值：ln3≈1.09）A．9B．10C．11D．1211．已知椭圆G：（a＞b＞0）的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为，则G的方程为（　　）A．B．C．D．12．若函数f（x）＝cosx与函数（m∈R）的图象在区间上有且仅有一个公共点，则实数m的取值范围为（　　）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若二项式（n∈N*）的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是　　．14．南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就．在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，设该数列前n项和为Sn，若数列{an}满足an＝2log2（Sn+1）﹣1，则a2021＝　　．

215．中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，且，|PF1|＝8，则e2＝　　．16．如图，正四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形．若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为　　．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求sinB；（Ⅱ）若，b＝2．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求△ABC的面积．18．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．关注没关注合计男

3女合计附：P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879，其中n＝a+b+c+d（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC上一点，E是BC1的中点，且DE∥平面ABB1A1．（1）证明：DA＝DC；（2）若BB1⊥平面ABC，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，AA1＝AC＝AB，求直线DE与平面A1BC1所成角的正弦值．20．已知点M是抛物线C1：y＝x2的准线上的任意一点，过点M作C1的两条切线MP，MQ，其中P，Q为切点．（1）证明：直线PQ过定点，并求出定点坐标；（2）若直线PQ交椭圆C2：+＝1于A，B两点，求的最小值．

421．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R且a≠0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝2时，若关于x的方程f（x）＝m有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．【选考题】请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M（，0），求|PM|2+|QM|2的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣2|x﹣b|（a＞0，b＞0）．（1）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＞0；（2）若函数g（x）＝f（x）+|x﹣b|的最大值为2，求的最小值．

5参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合M＝{x|2x﹣x2≥0}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（　　）A．a＜2B．a＞2C．a≥2D．a≤2解：由已知可得M＝[0，2]，N＝（﹣∞，a），因为M⊆N，则只需a＞2，故选：B．2．已知复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（　　）A．1B．C．2D．解：∵z＝＝＝，∴．故选：D．3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝40，a2＝5，则S11＝（　　）A．165B．176C．180D．187解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S5＝40，a2＝5，可得，解得a1＝2，d＝3，所以a6＝a1+5d＝2+15＝17，所以S11＝11a6＝11×17＝187．故选：D．4．党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（GDP）y（单位：万亿元）关于年份代号x的回归方程为＝6.6x+50.4（x＝1，2，3，4，5，6，7），由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（　　）A．14.0B．13.6C．202.2D．195.6解：到2035年底对应的年份代号为23，

6把x＝23代入＝6.6x+50.4得，＝6.6×23+50.4＝202.2（万亿元），又≈14.0，所以到2035年底，我过人均国内生产总值约为14.0万元．故选：A．5．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（　　）A．B．C．D．解：北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，基本事件总数n＝＝21，玉衡和天权至少一颗被选中包含的基本事件个数m＝＝11，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为P＝＝．故选：B．6．设函数f（x）＝2x﹣2﹣x+x3，则使得不等式f（2x﹣1）+f（3）＜0成立的实数x的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2）C．（﹣1，+∞）D．（2，+∞）解：由函数解析式知函数f（x）是定义在R上的奇函数和单调递增函数，原不等式可化为f（2x﹣1）＜f（﹣3），∴2x﹣1＜﹣3，解得x＜﹣1，∴x的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：A．7．已知＝（1，2），＝（m，1），＝（3，﹣4），若（+）⊥，则向量，夹角的正切值为（　　）

7A．B．1C．D．解：根据题意，设向量，夹角为θ，＝（1，2），＝（m，1），＝（3，﹣4），则+＝（1+m，3）若（+）⊥，则有（+）•＝3（1+m）﹣12＝0，解可得m＝3；则＝（3，1），则有||＝＝，||＝＝，•＝3+2＝5，则cosθ＝＝＝，又由0≤θ≤π，则θ＝，故tanθ＝1；故选：B．8．已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为（　　）A．8B．7C．6D．5解：设原数据为x1，x2，•••，x6，则，[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+•••+（x6﹣4）2]＝8，加入2和6两个新数据后，这8个数的平均数为，，故这8个数的方差为[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+•••+（x6﹣4）2+（2﹣4）2+（6﹣4）2]＝．故选：B．9．设0＜a，b，c＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012Pabc若，则（　　）A．B．C．D．解：∵，∴由离散型随机变量X的分布列的性质知：，

8解得a＝，b＝，c＝．故选：B．10．已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x＝0时，y的值表示2021年年初的种群数量．若t（t∈N*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（　　）（参考值：ln3≈1.09）A．9B．10C．11D．12解：由题意可知＝8k，∴，即，∴，∴，∴≈10.9．故选：C．11．已知椭圆G：（a＞b＞0）的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为，则G的方程为（　　）A．B．C．D．解：设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则，两式作差得：，整理可得．设线段AB的中点为，即，

9另一方面，kOM＝﹣1，所以，，所以，，解得，故椭圆G的方程为．故选：D．12．若函数f（x）＝cosx与函数（m∈R）的图象在区间上有且仅有一个公共点，则实数m的取值范围为（　　）A．B．C．D．解：由题意知，方程在区间上有且仅有一个实根，即（1+cosx）ex﹣m＝0在区间上有且仅有一个实根．令h（x）＝（1+cosx）ex﹣m，则，当时，，所以，所以，故函数h（x）在区间上单调递增，又（1+cosx）ex﹣m＝0在区间上有且仅有一个实根，所以函数h（x）在区间上只有一个零点，所以由零点存在性定理，可得，解得，所以m的取值范围是．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若二项式（n∈N*）的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是　84　．解：∵二项式（n∈N*）的展开式的通项公式为Tr+1＝•，展开式中第5项与第6项的系数相同，∴＝，∴n＝9，

10故令9﹣＝0，求得r＝6，可得其常数项是为＝84，故答案为：84．14．南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就．在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，设该数列前n项和为Sn，若数列{an}满足an＝2log2（Sn+1）﹣1，则a2021＝　4041　．解：∵每一行的数字之和构成的数列为等比数列，且第一行的数字之和为1，第二行的数字之和为2，第三行的数字之和为4，∴该等比数列的首项为1，公比为2，∴，则an＝2log2（Sn+1）﹣1＝2log22n﹣1＝2n﹣1，∴a2021＝2×2021﹣1＝4041．故答案为：4041．15．中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，且，|PF1|＝8，则e2＝　2　．解：设椭圆与双曲线的标准方程为+＝1，﹣＝1（a1，a2，b1，b2＞0，a1＞b1），焦距为2c（c＞0），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，且|PF1|＝8，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a2，所以2a1＝8+2c，2a2＝8﹣2c，即a1＝c+4，a2＝4﹣c（c＜4），所以a1﹣a2＝2c（c＜4），两边同时除以c，可得﹣＝2，

11又e1＝，解得e2＝2，故答案为：2．16．如图，正四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形．若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为　　．解：如图，连接PO，BD，取CD的中点E，连接PE，OE，过O作OH⊥PE于H．易知PO⊥底面ABCD，设AB＝4，则，，．设球M的半径为R，半球O的半径为R0.则．易知R0＝OH．则，故．故答案为：．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求sinB；（Ⅱ）若，b＝2．

12（ⅰ）求的值；（ⅱ）求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由得，，由余弦定理得，，且B∈（0，π），∴；（Ⅱ）（ⅰ）由正弦定理知，，，又a＜b，∴，∴，；（ⅱ）由b2＝a2+c2﹣2accosB，即c2+2c＝1，解得（舍去负根），∴△ABC的面积．18．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．关注没关注合计男女合计附：P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879，其中n＝a+b+c+d（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“

13嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．解：（1）2×2列联表如下：关注没关注合计男303060女122840合计4258100所以＝3.941＞3.841，所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”；（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为＝，又因为X～B（3，），所以随机变量X的分布列为：X0123P故E（X）＝np＝．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC上一点，E是BC1的中点，且DE∥平面ABB1A1．（1）证明：DA＝DC；（2）若BB1⊥平面ABC，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，AA1＝AC＝AB，求直线DE与平面A1BC1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连结CB1，AB1，因为四边形BCC1B1是平行四边形，

14所以C，E，B1三点共线，且E是CB1的中点，因为平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1，又DE∥平面ABB1A1，且DE⊂平面AB1C，所以DE∥AB1，所以D是CA的中点，即DA＝DC；（2）解：因为BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥BA，BB1⊥BC，因为平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，所以∠ABC即为二面角A﹣BB1﹣C的平面角，因为平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，所以∠ABC＝90°，故BA，BC，BB1两两垂直，以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为，∠ABC＝90°，所以BA＝BC，设AC＝2，则，，所以，设平面A1BC1的法向量为，则，即，令，则，故，所以＝，故直线DE与平面A1BC1所成角的正弦值为．20．已知点M是抛物线C1：y＝x2的准线上的任意一点，过点M作C1的两条切线MP，MQ，其中P，Q为切点．（1）证明：直线PQ过定点，并求出定点坐标；

15（2）若直线PQ交椭圆C2：+＝1于A，B两点，求的最小值．解：（1）证明：根据题意，设M（t，﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2），由y＝x2，求导得y′＝x，所以切线MP的方程为y﹣y1＝（x﹣x1），又y1＝x12，所以MP的方程可化为x1x＝2（y+y1），同理，切线MQ的方程为x2x＝2（y+y2），因为上述两条直线都过点M，把M的坐标代入两方程，得tx1﹣2y1+2＝0和tx2﹣2y2+2＝0，这两个方程说明点P，Q都在直线tx﹣2y+2＝0上，而此直线过定点（0，1），所以直线PQ过定点（0，1）．（2）设直线PQ的方程为y＝kx+1（k总存在），A（x3，y3），B（x4，y4），联立方程组，，消去y，得x2﹣4kx﹣4＝0，△1＝16（1+k2）＞0，所以x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，所以|PQ|＝|x1﹣x2|＝4（k2+1），联立，消去y，得（5+4k2）x2+8kx﹣16＝0，△2＝64×5（1+k2）＞0，所以x3+x4＝，x3x4＝，所以|AB|＝|x3﹣x4|＝，所以＝k2+≥，所以的最小值为．21．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R且a≠0）．

16（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝2时，若关于x的方程f（x）＝m有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．解：（1）由，得，讨论：当a＜0时，f'（x）＞0对任意的x∈（0，+∞）成立，当a＞0时，令f'（x）＜0，得；令f'（x）＞0，得，综上，当a＜0时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．（2）证明：当a＝2时，方程f（x）＝m即为．根据题意，得，两式相减，得，即，故，令，则，设，则，因为0＜t＜1，所以h'（t）＞0，所以h（t）在区间（0，1）上单调递增．又当t＝1时，，所以当t∈（0，1）时，h（t）＜0，即所以当t∈（0，1）时，即x1+x2＞1．【选考题】请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

1722．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M（，0），求|PM|2+|QM|2的值．解：（Ⅰ）由（k为参数），消去参数k，可得曲线C的普通方程为y2＝2x，由，得，即，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣；（Ⅱ）由题意可得直线l的参数方程为（t为参数），代入y2＝2x，得．设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则，，∴|PM|2+|QM|2＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣2|x﹣b|（a＞0，b＞0）．（1）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＞0；（2）若函数g（x）＝f（x）+|x﹣b|的最大值为2，求的最小值．解：（1）当a＝b＝1时，f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣1|，①当x≤﹣1时，f（x）＝﹣（x+1）+2（x﹣1）＝x﹣3＞0，∴x＞3，∴无解，②当﹣1＜x＜1时，f（x）＝（x+1）+2（x﹣1）＝3x﹣1＞0，∴＜x＜1，③当x≥1时，f（x）＝（x+1）﹣2（x﹣1）＝﹣x+3＞0，∴1≤x＜3，综上所述：不等式f（x）＞0的解集为（，3）．（2）g（x）＝）＝|x+a|﹣2|x﹣b|+|x﹣b|＝|x+a|﹣|x﹣b|，∵|x+a|﹣|x﹣b|≤|（x+a）﹣（x﹣b）|＝|a+b|，

18∴g（x）max|＝|a+b|＝2，∵a＞0，b＞0，∴a+b＝2，∴+＝（+）（a+b）×＝（++5）×≥（2+5）×＝，当且仅当＝，即b＝2a时取等号，∴+的最小值为．