广西钦州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理科）Word版含解析

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2020-2021学年广西钦州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．点P的直角坐标为，则点P的极坐标为（　　）A．B．C．D．2．复平面内，复数z＝对应的点在（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a，b∈R，如果a＞b，那么（　　）A．＞B．＞1C．a2＞b2D．a﹣1＞b﹣14．函数f（x）＝ex在x＝0处的切线方程为（　　）A．y＝x+1B．y＝2x+1C．y＝x﹣1D．y＝2x﹣15．下列点不在直线（t为参数）上的是（　　）A．（﹣1，2）B．（﹣3，2）C．（1，4）D．（2，5）6．已知随机变量ξ服从二项分布，ξ～B（3，），则P（ξ≥1）的值为（　　）A．B．C．D．7．（x+）6展开式中含x2项系数是（　　）A．12B．192C．60D．2408．已知某品牌的新能源汽车的使用年限x（单位：年）与维护费用y（单位：千元）之间有如表数据：使用年限x（单位：年）24568维护费用y（单位：千元）34.56.57.59x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的线性回归方程为＝1.05x+．据此估计，当使用年限为7年时，维护费用约为（　　）A．4千元B．5千元C．8.2千元D．9千元9．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布（110，σ2）（σ＞0），若ξ在（90，130）内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于90的概率为（　　）A．0.16B．0.24C．0.32D．0.48

110．直线l：x﹣y+1＝0与x，y轴分别交于A，B两点，Q是曲线C：（θ为参数）上的动点，则△ABQ面积的最大值是（　　）A．1+B．C．2D．211．现将包含甲乙在内的5名干部全部安排到3个村进行蹲点乡村振兴工作，每个村必须有1名干部，且甲乙必须去同一个村，则不同的选派方案共有（　　）A．36种B．18种C．144种D．72种12．直线x＝t（t＞0）与函数f（x）＝x2+1，g（x）＝lnx的图象分别交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）A．1B．2+1C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线C经过φ：变换后，得到的新曲线的方程为+＝1，则原曲线C的方程是　　．14．不等式|kx﹣1|＜5的解集是（﹣2，3），则k的值为　　．15．设a1、a2、a3、a4、a5、a6是2、3、4、5、6、7的一个排列，则a1a2a3+a4a5a6的最小值为　　．16．某航天器的一个零部件如图，该零件的底部为圆柱形，高为l，底面半径为r，上部是半径为r的半球形按照设计要求该零件的体积为π立方米，假设该零件的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该零件的建造费用最小时，半径r的值为　　．三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．函数f（x）＝x3﹣x2+2．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）在[﹣2，3]的最小值．

218．2021年年初，某城市的环境污染专项治理工作基本结束，为了解市民对该项工作的满意度，随机抽取若干市民对该工作进行评分（评分均为整数，最低分40分，最高分100分），绘制如图频率分布直方图，并将所有评分分数从低到高分为如下四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）已知满意度等级为“满意”的市民有700人．求频率分布于直方图中a的值，并依据频率分布直方图估计评分等级为“不满意”的人数；（2）若在（1）所得评分等级为“不满意”的市民中，女生人数占，男生人数占，现从该等级市民中按性别分层抽取6人了解不满意的原因，并从此6人中选取3人组成“整改督导小组”，求该督导小组既有男生又有女生的概率．[选修4-4：坐标系与参数方程]19．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）（1）求曲线C1的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，求弦长|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]20．已知函数f（x）＝|x+m|+|x﹣2|．（1）当m＝1时，求不等式f（x）＜4的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤2成立，求实数m的取值范围．21．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

3潜伏期（单位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人数85205310250130155（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了4名患者，设潜伏期超过6天的人数为X，求X的概率分布及数学期望．附：P（K2≥k0）0.050.0250.010k03.8415.0246.635K2＝，其中n＝a+b+c+d．22．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ax．（1）当a＝2时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）≤0恒成立，求a的值．

4参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．点P的直角坐标为，则点P的极坐标为（　　）A．B．C．D．【分析】根据点的直角坐标求出ρ，再由1＝ρcosθ，＝ρsinθ，可得θ，从而求得点P的极坐标．解：∵点P的直角坐标为（1，），∴ρ＝＝2，再由1＝ρcosθ，＝ρsinθ，可得θ＝，故点P的极坐标为（2，），故选：A．2．复平面内，复数z＝对应的点在（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到a+bi的形式，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到位置．解：复数＝＝1+i∴复数的在复平面内的对应点（1，1）．在复平面内，复数对应的点位于第一象限．故选：A．3．已知a，b∈R，如果a＞b，那么（　　）A．＞B．＞1C．a2＞b2D．a﹣1＞b﹣1【分析】根据已知条件，结合特殊值法和不等式可加性的性质，即可求解．解：对于选项A，当a＝2，b＝1时，a＞b，但，故A选项错误，对于选项B，当a＝1，b＝﹣1时，a＞b，，故B选项错误，对于选项C，当a＝1，b＝﹣1时，a＞b，a2＝b2，故C选项错误，对于选项D，由a＞b，﹣1＝﹣1，由不等式的可加性性质，可得a﹣1＞b﹣1，故D选项正确．故选：D．4．函数f（x）＝ex在x＝0处的切线方程为（　　）

5A．y＝x+1B．y＝2x+1C．y＝x﹣1D．y＝2x﹣1【分析】求出函数的导函数，把x＝0代入导函数求出的函数值即为切线的斜率，把x＝0代入函数解析式中得到切点的纵坐标，进而确定出切点坐标，根据求出的斜率和切点坐标写出切线方程即可．解：由题意得：f′（x）＝ex，把x＝0代入得：f′（0）＝1，即切线的斜率k＝1，且把x＝0代入函数解析式得：y＝1，即切点坐标为（0，1），则所求切线方程为：y＝x+1．故选：A．5．下列点不在直线（t为参数）上的是（　　）A．（﹣1，2）B．（﹣3，2）C．（1，4）D．（2，5）【分析】首先把参数方程转换为直角坐标方程，进一步利用点和直线的位置关系的应用求出结果．解：直线（t为参数），转换为直角坐标方程为x﹣y+3＝0．由于ACD三个坐标满足该方程，故该点在直线上，点B的坐标不满足该直线方程，故选：B．6．已知随机变量ξ服从二项分布，ξ～B（3，），则P（ξ≥1）的值为（　　）A．B．C．D．【分析】利用对立事件的概率公式以及二项分布的概率公式求解即可．解：因为随机变量ξ服从二项分布，ξ～B（3，），所以P（ξ≥1）＝1﹣P（ξ＜1）＝1﹣P（ξ＝0）＝1﹣＝1﹣．故选：B．7．（x+）6展开式中含x2项系数是（　　）A．12B．192C．60D．240【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解：∵（x+）6展开式的通项公式为Tr+1＝•2r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝2，可得展开式中含x2项的系数是•22＝60，

6故选：C．8．已知某品牌的新能源汽车的使用年限x（单位：年）与维护费用y（单位：千元）之间有如表数据：使用年限x（单位：年）24568维护费用y（单位：千元）34.56.57.59x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的线性回归方程为＝1.05x+．据此估计，当使用年限为7年时，维护费用约为（　　）A．4千元B．5千元C．8.2千元D．9千元【分析】先求出样本中心，再利用回归方程经过样本中心，求出，然后将x＝7代入回归方程求解即可．解：由题意可得，，，因为回归方程经过样本中心（5，6.1），所以6.1＝1.05×5+，解得＝0.85，所以当使用年限为7年时，维护费用约为1.05×7+0.85＝8.2千元．故选：C．9．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布（110，σ2）（σ＞0），若ξ在（90，130）内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于90的概率为（　　）A．0.16B．0.24C．0.32D．0.48【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，可得ξ在（0，90）内的概率为0.5﹣0.3＝0.2，再结合组合的概率公式，即可求解．解：∵ξ服从正态分布（110，σ2），∴曲线的对称轴是直线x＝110，∵ξ在（90，130）内的概率为0.6，∴ξ在（90，110）内的概率为0.3，∴ξ在（0，90）内的概率为0.5﹣0.3＝0.2，∴恰有一名学生成绩不高于90的概率P＝．故选：C．

710．直线l：x﹣y+1＝0与x，y轴分别交于A，B两点，Q是曲线C：（θ为参数）上的动点，则△ABQ面积的最大值是（　　）A．1+B．C．2D．2【分析】首先把参数方程转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．解：曲线C：（θ为参数）转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1．利用圆心（1，0）到直线x﹣y+1＝0的距离d＝，直线l：x﹣y+1＝0与x，y轴分别交于A，B两点，所以|AB|＝，由于点Q为圆上的一点，所以＝1+．故选：A．11．现将包含甲乙在内的5名干部全部安排到3个村进行蹲点乡村振兴工作，每个村必须有1名干部，且甲乙必须去同一个村，则不同的选派方案共有（　　）A．36种B．18种C．144种D．72种【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名干部分为3组，甲乙在同一组，②将分好的三组全排列，安排到3个村进行蹲点，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将5名干部分为3组，甲乙在同一组，若分为1、1、3的三组，有种分组方法，若分为1、2、2的三组，有种分组方法，则共有+＝6种分组方法，②将分好的三组全排列，安排到3个村进行蹲点，有＝6种情况，则有6×6＝36种安排方法；故选：A．12．直线x＝t（t＞0）与函数f（x）＝x2+1，g（x）＝lnx的图象分别交于A，B两点，则|AB

8|的最小值为（　　）A．1B．2+1C．D．【分析】根据题意可得|AB|＝f（t）＝t2+1﹣lnt，对f（t）求导，通过讨论f（t）的单调性与最值，来确定|AB|的最小值．解：根据题意，有|AB|＝f（t）＝|t2+1﹣lnt|＝t2+1﹣lnt，则f′（t）＝t﹣＝，所以当0＜t＜1时，f′（t）＜0，此时f（t）单调递减；当t＞1时，f′（t）＞0，此时f（t）单调递增，所以当t＝1时，f（t）有最小值且最小值为f（1）＝1+＝，所以|AB|的最小为．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线C经过φ：变换后，得到的新曲线的方程为+＝1，则原曲线C的方程是　x2+y2＝1　．【分析】变换后的坐标（x'，y'）满足，再通过进行替换．解：设原曲线C上任意一点坐标为（x，y），经过变换φ后，坐标变换为（x'，y'）．所以坐标（x'，y'）满足，又，所以，整理得x2+y2＝1．故答案为：x2+y2＝1．14．不等式|kx﹣1|＜5的解集是（﹣2，3），则k的值为　2　．【分析】根据已知条件，可得﹣4＜kx＜6，分k＝0，k＜0，k＞0三种情况讨论，并求其并集，即可求解．解：∵|kx﹣1|＜5，∴﹣5＜kx﹣1＜5，∴﹣4＜kx＜6，当k＝0时，解集为R，故与题意不符，舍去，当k＜0时，则，∵不等式|kx﹣1|＜5的解集是（﹣2，3），

9∴，k无解，故与题意不符，舍去，当k＞0时，则，∵不等式|kx﹣1|＜5的解集是（﹣2，3），∴，解得k＝2，符合题意，综上所述，k＝2．故答案为：2．15．设a1、a2、a3、a4、a5、a6是2、3、4、5、6、7的一个排列，则a1a2a3+a4a5a6的最小值为　142　．【分析】利用基本不等式得到a1a2a3+a4a5a6≥＝，结合142＝72+70＝3×4×6+2×5×7，即可得到答案．解：因为a1、a2、a3、a4、a5、a6是2、3、4、5、6、7的一个排列，所以a1a2a3+a4a5a6≥＝，因为142＝72+70＝3×4×6+2×5×7，所以a1a2a3+a4a5a6≥142，故a1a2a3+a4a5a6的最小值为142．故答案为：142．16．某航天器的一个零部件如图，该零件的底部为圆柱形，高为l，底面半径为r，上部是半径为r的半球形按照设计要求该零件的体积为π立方米，假设该零件的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该零件的建造费用最小时，半径r的值为　　．【分析】根据已知条件先表示出容器的建造费用S，然后根据容器的体积，得到l，r之间的等量关系，由此将建造费用S表示为关于半径r的函数，利用导数的思想分析出S（r）的最小值，即可求解出建造费用最小时半径r的值．解：设容器的建造费用为S，所以S＝3（πr²+2πrl）+4•2πr2＝11πr²+6πrl，

10又因为V＝πr²1+，所以，所以，所以S＝11πr²+6πr•，所以S'＝7π（2r﹣），令S'＝0，则r＝，当r∈（0，）时，S'＜0；当r∈时，S'＞0，所以当r＝时，S有最小值，所以r＝，故答案为：．三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．函数f（x）＝x3﹣x2+2．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）在[﹣2，3]的最小值．【分析】（1）对函数f（x）求导，可得f'（x）＝x2﹣2x，令f'（x）＞0，解得x＜0或x＞2，令f'（x）＜0，解得0＜x＜2，即可确定单调区间．（2）由（1）可得，f（x）在[﹣2，3]上的最小值在x＝﹣2或x＝2处取得，比较f（﹣2）和f（2）的大小，即可求解．解：（1）∵f（x）＝x3﹣x2+2，∴f'（x）＝x2﹣2x，令f'（x）＞0，解得x＜0或x＞2，令f'（x）＜0，解得0＜x＜2，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．（2）由（1）可得，f（x）在[﹣2，3]上的最小值在x＝﹣2或x＝2处取得，

11又∵，，∴f（﹣2）＜f（2），∴函数f（x）在[﹣2，3]的最小值为．18．2021年年初，某城市的环境污染专项治理工作基本结束，为了解市民对该项工作的满意度，随机抽取若干市民对该工作进行评分（评分均为整数，最低分40分，最高分100分），绘制如图频率分布直方图，并将所有评分分数从低到高分为如下四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）已知满意度等级为“满意”的市民有700人．求频率分布于直方图中a的值，并依据频率分布直方图估计评分等级为“不满意”的人数；（2）若在（1）所得评分等级为“不满意”的市民中，女生人数占，男生人数占，现从该等级市民中按性别分层抽取6人了解不满意的原因，并从此6人中选取3人组成“整改督导小组”，求该督导小组既有男生又有女生的概率．【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可求出a的值，再结合满意度等级为“满意”的市民有700人，可推得总调查人数为2000，再将总调查人数与不满意的频率相乘，即可求解．（2）根据分层抽样的性质，可得抽取的6人中，女生占2人，男生占4人，即督导小组既有男生又有女生的概率为，即可求解．解：（1）由频率分布直方图知，0.035+0.02+0.014+0.014+0.002＝0.075，由10×（0.075+a）＝1，解得a＝0.025，

12设总共调查了N个人，则满意的为N×10×0.035＝700，解得N＝2000，∵不满意的频率为10×（0.002+0.004）＝0.06，∴不满意的人数为2000×0.06＝120．（2）评分等级为“不满意”的120名市民中按年龄分层抽取6人，则女生人数为人，男生人数人，从6人中抽取3人，既有男生又有女生的取法为种．所以该督导小组既有男生又有女生的概率为．[选修4-4：坐标系与参数方程]19．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）（1）求曲线C1的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，求弦长|AB|的值．【分析】（1）直接把曲线C1的参数方程中的参数消去，即可得到曲线C1的普通方程；（2）把直线C2的参数方程代入曲线C1的普通方程，化为关于t的一元二次方程，由根与系数的关系结合参数t的几何意义求解．解：（1）C1：（θ为参数），消去参数θ得．∴曲线C1的普通方程为；（2）将C2：代入，得5t2﹣4t﹣12＝0．，，可知t1，t2异号，又∵|AB|＝|t1|+|t2|＝

13＝．∴弦长|AB|的值为．[选修4-5：不等式选讲]20．已知函数f（x）＝|x+m|+|x﹣2|．（1）当m＝1时，求不等式f（x）＜4的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤2成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）当m＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三种情况讨论，取其并集，即可求解．（2））由|（x+m）﹣（x﹣2）|≤|x+m|+|x﹣2|，可得|x+m|+|x﹣2|≥|m+2|，将原条件转化为f（x）min≤2，即可求解．解：（1）当m＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，当x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＜4，解得x＞，∴，当﹣1≤x≤2时，f（x）＝（x+1）﹣（x﹣2）＜4，即3＜4，∴﹣1≤x≤2，当x＞2时，f（x）＝（x+1）+（x﹣2）＜4，解得x＜，∴，综上所述，当m＝1时，不等式f（x）＜4的解集为．（2）∵|（x+m）﹣（x﹣2）|≤|x+m|+|x﹣2|，∴|x+m|+|x﹣2|≥|m+2|，∵存在x0∈R，使得f（x0）≤2成立，∴f（x）min≤2，即|m+2|≤2，∴﹣4≤m≤0，故实数m的取值范围为[﹣4，0]．21．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]

14（单位：天）人数85205310250130155（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了4名患者，设潜伏期超过6天的人数为X，求X的概率分布及数学期望．附：P（K2≥k0）0.050.0250.010k03.8415.0246.635K2＝，其中n＝a+b+c+d．【分析】（1）先补充完整列联表，再计算K2，并与附表中的数据对比，即可作出判断；（2）随机变量X～B（4，），再由二项分布的概率公式可得分布列，二项分布的期望公式可得数学期望．解：（1）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期＜6天潜伏期≥6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200∴K2＝＝≈2.083＜3.841，故没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．（2）该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为＝，随机变量X～B（4，），

15∴P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3，4，∴X的概率分布为X01234P数学期望E（X）＝4×＝．22．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ax．（1）当a＝2时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）≤0恒成立，求a的值．【分析】（1）先根据导数的符号与函数单调性之间的关系求出函数的单调性，进而求函数f（x）的极值；（2）f（x）≤0恒成立等价于f（x）max≤0，分a＝0，a＞0，a＜0三种情况分别求函数f（x）最大值即可求a的值．解：（1）f（x）＝ln（x+1）﹣2x的定义域为（﹣1，+∞），，令f′（x）＝0，解得，当时，f′（x）＞0，此时f（x）在上单调递增，当时，f′（x）＜0，此时f（x）在上单调递减．所以f（x）的极大值为，无极小值．（2）f（x）＝ln（x+1）﹣ax的定义域为（﹣1，+∞），∴，①当a＝0时，f′（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，所以f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，又因为f（0）＝0，∴f（x）≤0不恒成立，所以a＝0不符合题意；②当a＞0时，令f′（x）＝0，解得，当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，又因为f（0）＝0．所以当且仅当a＝1时，满足f（x）≤0恒成立．

16③当a＜0时，令f′（x）＝0，解得，当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，又因为f（0）＝0．所以a＜0时，不符合题意．综上，函数f（x）⩽0恒成立，a的值为1．