安徽省河南省皖豫联盟体2020-2021学年高二下学期期末联合调研数学（理科）Word版含解析

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2020-2021学年安徽省、河南省皖豫联盟体高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∪B＝（　　）A．（2，3）B．（﹣1，3）C．（2，+∞）D．（﹣1，+∞）2.已知为虚数单位，若，则的共扼复数（）A.B.C.D.3.已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A.3B.5C.7D.84．“x＞0”是“sinx＞0”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（　　）A.B.C.D.6.如图，图象对应函数解析式可能是（）A.B.C.D.7.已知－1，a，b，－4成等差数列，－1，c，d,e，－4成等比数列，则＝（　　）

1A.B.－C.D.或－8．令（x+1）2020＝a1+a2x+a3x2+⋯+a2020x2019+a2021x2020（x∈R），则a2+2a3+⋯+2019a2020+2020a2021＝（　　）A．2019•22019B．2019•22020C．2020•22019D．2020•220209．3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（　　）A．576B．432C．388D．21610.（）A.B.8C.D.11.已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（）A.B.C.D.12.若函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．13.已知单位向量满足，则___________.14．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为　　．15．已知三棱锥P﹣ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，PB＝PC，，O1为△ABC的外接圆的圆心，，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为　　．16．已知点M为双曲线在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|，则双曲线C的离心率为　　；若MF，MO分别交双曲线C于P，Q两点，记直线PM与PQ的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝　　．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且．（1）求△ACD的面积；（2）若，求AB的长．

218．在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下（单位：cm）：序号12345678910身高168167165186abcd178158序号11121314151617181920身高166178175169172177182169168176由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在（160，182）之间（单位：cm），且这20组身高数据的平均数为，标准差为s＝7．（1）为了更好地研究本校男生的身高数据决定用这20个数据中在区间（﹣2s，+2s）以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少（方差保留两位小数）？（2）使用统计学的观点说明，（﹣2s，+2s）以内的数据与原数据对比有什么特点（主要用平均数与方差进行说明）？（参考公式：s2＝（xi﹣）2＝（xi2﹣n2））19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点．（1）证明：直线MN∥平面PAB；（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值．

320．已知点P（﹣2，y0）为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且△FPQ面积为2．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l经过（2，5）交抛物线C于M，N两点（异于点P），求证：∠MPN的大小为定值．21．已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当λ＝2时，求证：f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立；（3）求证：当x＞0时，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为（1，1），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；（2）若函数在区间[﹣1，1]上递减，求a的取值范围．

4参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∪B＝（　　）A．（2，3）B．（﹣1，3）C．（2，+∞）D．（﹣1，+∞）解：∵集合A＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}，B＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|x＞﹣1}＝（﹣1，+∞）．故选：D．2．已知i为虚数单位，若，则z的共轭复数＝（　　）A．cosθ﹣isinθB．cosθ+isinθC．sinθ+icosθD．sinθ﹣icosθ解：＝＝cosθ﹣isinθ，故z的共轭复数＝cosθ+isinθ，故选：B．3．已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（　　）A．4B．5C．7D．8解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m＝8故选：D．4．“x＞0”是“sinx＞0”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当x＝时，sinx＝﹣1＜0，当x＝﹣时，sinx＝1＞0，∴“x＞0”推不出“sinx＞0”；“sinx＞0”推不出“x＞0”；故“x＞0”是“sinx＞0”的既不充分也不必要条件，故选：D．

55．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（　　）A．B．C．D．解：根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率P＝＝，故选：B．6．如图，图象对应的函数解析式可能是（　　）A．B．C．D．解：根据题意，用排除法分析：对于B，在区间（0，1）上，sinx＞0，cosx＞0，x2＞0，（4x﹣4﹣x）＞0，则必有f（x）＞0，不符合题意，对于C，其定义域为{x|x≠0}，不符合题意，对于D，在区间（0，1）上，sinx＞0，＞0，必有f（x）＞0，不符合题意，故选：A．7．已知﹣1，a，b，﹣4成等差数列，﹣1，c，d，e，﹣4成等比数列，则＝（　　）A．B．﹣C．D．或﹣解：∵﹣1，a，b，﹣4成等差数列，

6∴3（b﹣a）＝﹣4+1＝﹣3∴d＝b﹣a＝﹣1∵﹣1，c，d，e，﹣4五个实数成等比数列，∴d2＝（﹣1）×（﹣4）＝4，d＝（﹣1）q2＜0，∴d＝﹣2，则＝．故选：C．8．令（x+1）2020＝a1+a2x+a3x2+⋯+a2020x2019+a2021x2020（x∈R），则a2+2a3+⋯+2019a2020+2020a2021＝（　　）A．2019•22019B．2019•22020C．2020•22019D．2020•22020解：∵（x+1）2020＝a1+a2x+a3x2+……+a2020x2019+a2021x2020，∴2020（x+1）2019＝a2+2a3x+……+2019a2020x2018+2020a2021x2019，令x＝1得，2020•22019＝a2+2a3+……+2019a2020+2020a2021，故选：C．9．3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（　　）A．576B．432C．388D．216解：根据题意，分2步进行分析：①先将3名男生排好，有A33＝6种排法，排好后有4个空位，②将女生分为1﹣2的两组，有C31＝3种分组方法，安排到4个空位中，考虑2个女生一组的顺序，有2×A42＝12种情况，则有3×24＝72种排法，则有6×72＝432种不同排法，故选：B．10．（+x2）dx＝（　　）A．B．C．8D．2π解：＝＝＝2π．故选：A．11．已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系是（　　）A．b＞a＞cB．c＞b＞aC．b＞c＞aD．c＞a＞b

7解：由＞60＝1，6＜8＝2，故1＜a＜2，b＝log78+log5649＝+≥2＝2＞2，7b+24b＝25c≥2＞2×7×24＝336，可得1＜c＜2，由于a比c更靠近2一些，故a＞c，所以b＞a＞c．故选：A．12．若函数f（x）＝（2ax+）lnx﹣（a﹣1）x3有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）A．（0，）B．（1，）C．（0，1）∪（1，）D．（0，1）∪{}解：令f（x）＝（2ax+）lnx﹣（a﹣1）x3＝0，即2a•+（）2﹣（a﹣1）＝0，设t＝g（x）＝，令g′（x）＝＝0，则x＝，即有g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，则t＜g（）＝，原方程可化为t2+2at﹣（a﹣1）＝0，设方程两根为t1＜t2，则0＜t2＜，t1＜0，设h（t）＝t2+2at﹣（a﹣1），则，解得1＜a＜，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．

813．已知单位向量满足，则＝　90°　．解：因为单位向量满足，所以＝，所以5﹣4＝5，所以＝0，所以＝90°．故答案为：90°．14．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为　2　．解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（1，1），B（3，1），C（2，0），则直线z＝x+2y，过可行域内的点C（2，0）时的最小值，目标函数z＝x+2y的最小值为：2．故答案为：2．15．已知三棱锥P﹣ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，PB＝PC，PA＝，O1为△ABC的外接圆的圆心，cos∠PAO1＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为　14π　．解：因为∠BAC＝90°，O1为△ABC的外接圆的圆心，所以O1为BC的中点，则AO1＝，因为AB＝AC＝2，PB＝PC，所以BC⊥AO1，BC⊥PO1，又AO1∩PO1＝O1，AO1，PO1⊂平面PAO1，所以BC⊥平面PAO1，又BC⊂平面ABC，故平面ABC⊥平面PAO1，

9作PH⊥平面ABC，垂足为H，因为P∈平面PAO1，则PH⊂平面PAO1，又平面ABC∩平面PAO1＝AO1，则H∈AO1，所以AH＝PAcos∠PAO1＝，因为∠BAC＝90°，所以ABHC是矩形，取PA的中点O，连结OO1，则OO1∥PH，从而OO1⊥平面ABC，则点O即为三棱锥P﹣ABC也就是四棱锥P﹣ABHC的外接球的球心，球的半径R＝，所以三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为＝14π．故答案为：14π．16．已知点M为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|，则双曲线C的离心率为　4　；若MF，MO分别交双曲线C于P，Q两点，记直线PM与PQ的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝　15　．解：设M（x0，y0），由已知可得，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|＝7c，则，＝，即M（），把M代入双曲线方程，可得，即4b2c2﹣45a2c2＝16a2b2，又b2＝c2﹣a2，代入上式可得4c4﹣65a2c2+16a4＝0，即4e4﹣65e2+16＝0，解得e2＝16或（舍），所以双曲线C的离心率e＝4；设P（x1，y1），则Q（﹣x0，﹣y0），所以＝，

10把P、M的坐标分别代入双曲线方程，得，两式作差,可得，由e＝4，得，即c2＝a2+b2＝16a2，所以．∴k1k2＝15．故答案为：4；15．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝2，CD＝6，cosB＝．（1）求△ACD的面积；（2）若BC＝6，求AB的长．解：（1）∵cosB＝，0＜B＜π，可求：sinB＝．∴sinD＝sin2B＝2sinBcosB＝．∴S△ACD＝•AD•CD•sinD＝4．…

11（2）∵AD＝2，CD＝6，cosD＝2cos2B﹣1＝﹣，∴在△ACD中，由余弦定理知，AC＝＝＝4，∵在△ABC中，BC＝6，可得：cosB＝＝＝，整理可得AB2﹣4AB+24＝0，∴解得：AB＝2．…18．在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下（单位：cm）：序号12345678910身高168167165186abcd178158序号11121314151617181920身高166178175169172177182169168176由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在（160，182）之间（单位：cm），且这20组身高数据的平均数为，标准差为s＝7．（1）为了更好地研究本校男生的身高数据决定用这20个数据中在区间（﹣2s，+2s）以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少（方差保留两位小数）？（2）使用统计学的观点说明，（﹣2s，+2s）以内的数据与原数据对比有什么特点（主要用平均数与方差进行说明）？（参考公式：s2＝（xi﹣）2＝（xi2﹣n2））解：（1）由平均数为，标准差为s＝7，所以区间（﹣2s，+2s）＝（158，186），不在该区间内的数据有158和186，剔除后，剩余18个数据，其平均数为，

12方差为：＝，（2）（﹣2s，+2s）以内的数据与原数据对比，有以下特点：①（﹣2s，+2s）以内的数据占总数据个数的90%，说明该校90%左右的男生身高都在区间（158，186）以内；②（﹣2s，+2s）以内的数据与原数据对比，平均数没变，即平均身高没有变化；③原数据的方差为49，而（﹣2s，+2s）以内的数据的方差约为32.67，方差变小了，说明剔除两个极端数据后，数据更趋于集中，更具有代表性．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点．（1）证明：直线MN∥平面PAB；（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值．解：（Ⅰ）证明：如图，以A为原点，分别以方向为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，由题意，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），P（0，0，3），M（0，1，2），N（2，1，0）．显然，是平面ABP的一个法向量，，故，即，又因为MN⊄平面PAB，故直线MN∥平面PAB．（Ⅱ）设平面PCD的法向量为，又，由，得取z＝2，可得．

13由已知，可得．设平面PDN的法向量为，有，取z＝1，可得．所以，因此．所以二面角C﹣PD﹣N的正弦值为．20．已知点P（﹣2，y0）为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且△FPQ面积为2．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l经过（2，5）交抛物线C于M，N两点（异于点P），求证：∠MPN的大小为定值．解：（1）因为△FPQ面积为2．所以|FQ|•2＝2，即|FQ|＝2，x2＝2py即y＝的导数为y′＝，可得P处的切线的斜率为，切线的方程为y﹣y0＝﹣（x+2），令x＝0，可得y＝y0﹣＝﹣＝﹣，所以+＝2，解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y；（2）证明：设M（x1，），N（x2，），设直线l的方程为y＝k（x﹣2）+5，由可得x2﹣4kx+8k﹣20＝0，

14所以x1+x2＝4k，x1x2＝8k﹣20，因为P（﹣2，1），＝（x1+2，﹣1），＝（x2+2，﹣1），所以•＝（x1+2）（x2+2）+（﹣1）（﹣1）x1x2+2（x1+x2）+4+﹣+1＝8k﹣20+8k+﹣+5＝0，所以⊥，所以∠PMN的大小为定值90°．21．已知函数f（x）＝lnx+（λ∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当λ＝2时，求证：f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立；（3）求证：当x＞0时，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣＝，令g（x）＝x2﹣λx+1，△＝λ2﹣4，当λ＜﹣2时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣2≤λ≤2时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当λ＞2时，△＞0，设方程g（x）＝0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＝＞0，x2＝＞0，当0＜x＜x1或x＞x2时，g（x）＞0，f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时，g（x）＜0，f′（x）＜0，故f（x）在（x1，x2）上单调递减，在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增．综上，当λ≤2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当λ＞2时，f（x）在（，）上单调递减，在（0，）和（，+∞）上单调递增．

15（2）证明：由（1）可得，当λ＝2时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）＝0，故f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立．（3）证明：由（2）知，当x＞1时，lnx＞，当x＞0时，ln（x+1）＞，要证（ex﹣1）ln（x+1）＞x2，只需证（ex﹣1）＞x2，只需证ex＞x2+x+1，令h（x）＝ex﹣x2﹣x﹣1（x＞0），h′（x）＝ex﹣x﹣1，h″（x）＝ex﹣1＞0，所以h′（x）在（0，+∞）上为增函数，所以h′（x）＞h′（0）＝0，所以h（x）在（0，+∞）上为增函数，h（x）＞h（0）＝0，即ex＞x2+x+1，故当x＞0时，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．（另解）要证当x＞0时，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2，即证＞，即证＞，令m（x）＝，即证m[ln（x+1）]＞m（x），m′（x）＝，令φ（x）＝（1﹣x）ex﹣1，φ′（x）＝﹣xex＜0，φ（x）在（0，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（0）＝0，所以m′（x）＜0，所以m（x）单调递减，又ln（x+1）＜x，所以m[ln（x+1）]＞m（x），所以当x＞0时，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2，成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为（1，1），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．

16解：（Ⅰ）∵直线l参数方程为（t为参数）．∴直线l消去参数t可得直线l的普通方程为x+y﹣2＝0，∵圆C的方程为ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4．（Ⅱ）将直线l参数方程，代入（x﹣2）2+y2＝4，得t2+2﹣2＝0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t1＝﹣2＜0，t1t2＝﹣2＜0，∴|PA|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝4．23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；（2）若函数在区间[﹣1，1]上递减，求a的取值范围．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|＝，当x≤﹣1时，函数f（x）＝﹣3x+3≥f（﹣1）＝6，当﹣1＜x＜2时，f（x）＝﹣x+5＞f（2）＝3，当x≥2时，f（x）＝3x﹣3≥f（2）＝3，综上所述函数f（x）的最小值为3；（2）当a＜﹣1时，x≥﹣1时，f（x）＝x+1+2（x﹣a）＝3x+1﹣2a，函数单调递增，与题意不符合，当a≥﹣1时，f（x）＝，∵f（x）在[﹣1，1]上单调递减，则a≥1，综上所述a的取值范围为[1，+∞）．