辽宁省协作校2022-2023学年高三上学期期末考试试题数学试题（解析版）

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2022—2023学年度高三上学期期末考试试题数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求得，再根据交集的定义可得结果．【详解】集合，，．故选：B．2.已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数的虚部为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简.【详解】因为，所以，则故复数的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.3.下表是某校在年高考中各班的最高分，则这组数据从小到大的第百分位数是（）班级最高分班级最高分第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

1班班班班班班班班班班班班A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将数据由小到大进行排列，利用百分位数的定义可求得结果.【详解】将数据由小到大进行排列为：、、、、、、、、、、、，因为，因此，该组数据的第百分位数是.故选：D.4.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A.B.C.D.【答案】A第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

2【解析】【分析】首先画出正六棱锥的底面和侧面，利用几何图形中边长的关系，求侧棱与底面内切圆半径的比.【详解】如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱，底面边长，底面内切圆半径，,则是等边三角形，，侧面中，，，即.故选：A5.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是A.BC.D.【答案】B【解析】【详解】因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．故选B．【考点定位】1、向量模；2、向量的数量积．第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

36.为双曲线（，）上一点，，分别为其左、右焦点，为坐标原点.若，且，则的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】结合正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义，求得，由此求得双曲线的离心率.【详解】由，以及正弦定理可得，因为，所以，，因为，，所以，所以，在中，.化简可得，所以的离心率.故选：B7.已知，则与的大小关系是（）A.B.C.D.不确定【答案】C【解析】【分析】令，结合题意可知，进而有，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令，则当时，，当时，；由，得考虑到得，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

4由，得，即故选：C8.已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（）A.无论，，如何，总有唯一交点B.存在，，使之有无穷多个交点C.无论，，如何，总是无交点D.存在，，使之无交点【答案】A【解析】【分析】根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项.【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点，所以即，故既在直线上，也在直线上.因为与是两个不同的点，故、不重合，故无论，，如何，总有唯一交点.故选：A.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.“，”的否定形式是“，”B.“”的一个充分不必要条件是“”C.两个非零向量，，“，且”是“”的充分不必要条件D.若随机变量，且，则等于0.6【答案】BD【解析】第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

5【分析】根据全称量词命题的否定判断A；结合三角函数知识以及向量相等的概念，根据命题间的逻辑推理关系，判断；根据正态分布曲线的对称性求得概率，判断D.【详解】对于A，“，”的否定形式是“，”，A错误；对于B,当时，成立；当时，或，比如可能是，不一定是，故“”的一个充分不必要条件是“”，B正确；对于C,两个非零向量，，“，且”,那么，可能是方向相反向量，故推不出成立，当时，一定有，且，故“，且”是“”的必要不充分条件，C错误；对于D,随机变量，且,则，则，故D正确，故选：10.已知函数关于对称，则下列结论正确的是（）A.B.在上单调递增C.函数是偶函数D.把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称【答案】AC【解析】【分析】根据题意，可知是对称轴，可解得第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

6，然后根据三角函数的性质，即可求出单调性，对称中心.【详解】因为,函数关于对称，可知，所以解得：，故A对.,当时，，故B不对.，所以是偶函数，故C对.的图象向左平移个单位长度，得到,当时，，所以D错.故选：AC11.已知直线与圆相切，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据给定条件，求出a与b的关系式，再利用均值不等式逐项判断作答.【详解】因为直线与圆相切，则，即，，对于A，因为，解得，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，因为，当且仅当时取等号，则，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

7因此，当且仅当时取等号，D不正确.故选：ABC12.如图所示，正方体的棱长为2，为线段的中点，为上的点，且，过，，的平面截该正方体的截面记为，则下列命题正确的有（）A.为五边形B.三棱锥外接球的体积为C.三棱锥的体积为D.与平面所成的角的正切值为【答案】BC【解析】【分析】利用面面平行的性质判断A；确定三棱锥外接球半径计算判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算距离及线面角判断CD作答.【详解】对于A，显然与正方形的交线为线段MN，而与正方形有公共点，则与正方形有交线，又面面，因此该交线与MN平行，交于点O，如图，即有与正方形交线为线段，与正方形交线为线段，从而与正方体的四个面相交，即是四边形，A不正确；第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

8对于B，三棱锥与正方体有相同的外接球，而正方体的外接球直径为体对角线长，球半径，此球的体积，B正确；对于C，以点D为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系，则，，令平面的法向量为，则，令，得，点N到平面的距离，而，中，由余弦定理得，，，因此三棱锥的体积，C正确；对于D，由选项C知，，设平面的法向量，则，令，得，设与平面所成的角为，则，，，D不正确.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

9故选：BC【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列的通项公式为，为前项和，则最小值时，______.【答案】或【解析】【分析】求出时的范围即可得答案.【详解】令得，即当时，，当时，当时，最小值时，或故答案为：或.14.若多项式，则______【答案】【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】，二项式的通项公式为：，因为，所以令，因此，故答案为：15.已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点，若，则直线的斜率为______.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

10【答案】【解析】【分析】由条件可得，然后求出点坐标，然后由可得答案.【详解】因为，，，所以，所以，，所以，故答案为：.16.定义在上的函数满足，，若，则______，______.【答案】①.0②.-100【解析】【分析】根据得到，，从而得到，即的一个正周期为4，故，用赋值法得到，求出，再求出关于对称，关于对称，结合，求出，，结合函数的正周期，求出的值.【详解】由可得：，即，将替换为得：，两式相减得：，即的一个正周期为4，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

11因为，所以，又中令得：，所以，中令得：，故，故；由知：关于对称，因为的最小正周期为4，所以，故，即关于对称，因为，所以，，由知：，所以，则，因为的最小正周期为4，所以.故答案为：0，-100【点睛】设函数，，，．（1）若，则函数的周期为2a；（2）若，则函数的周期为2a；第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

12（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a；（5）若，则函数的周期为；（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.的内角的对边分别为，，.设.（1）求A；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理得到，结合，求出；（2）由正弦定理得到，表达出，利用为锐角三角形，求出，从而得到，.【小问1详解】变形为，由正弦定理得：，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

13由余弦定理得：，因为，所以；【小问2详解】由正弦定理得：，故，故，因为为锐角三角形，所以，，解得：，故，，则.18.已知数列的首项，且满足N*）．（1）求证：数列为等比数列；（2）若＜100，求满足条件的最大正整数n．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

14【分析】（1）由已知递推公式得，由此可得证；（2）由（1）得，根据等比数列的求和公式可求得，再令，得函数的单调性和可得答案.【小问1详解】解：，，又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．【小问2详解】解：由（1）可知，，，若，则，令，所以在上单调递增，且，所以满足条件的最大正整数．19.2022年某省社科院发布了本年度“城市居民幸福指数排行榜”，某市成为了本年度城市居民最“幸福城”，随后，某机构组织人员进行社会调查，用“10分制”随机调查“明月”社区人们的幸福指数.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）.若幸福指数不低于9.0分，则称该人的幸福度为“超级幸福”.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

15（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“超级幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选4人，记表示抽到“超级幸福”的人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）众数：8.6；中位数：8.75.（2）.（3）分布列见解析；1.【解析】【分析】（1）根据茎叶图即可求得众数和中位数；（2）根据互斥事件的概率加法公式以及古典概型的概率公式，即可求得答案;（3）确定可能取值，确定幸福度为“超级幸福”的概率为，由题意可知，根据二项分布的概率计算可求得的每个值对应的概率，可得分布列，继而求得二项分布的数学期望.【小问1详解】由茎叶图可知众数：86；中位数：.【小问2详解】设表示所取3人中有i个人是“超级幸福”事件，至少有2人是“超级幸福”记为事件A，则.【小问3详解】由题意可知,的可能取值为,任选一人，该人的幸福度为“超级幸福”的概率为，故，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

16则，,，，所以的分布列为；01234因为,所以.20.如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，且，，，，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值，求点与平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）分别取中点O，G，证明，再结合面面垂直性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）求出EO长，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点与平面的距离作答.【小问1详解】分别取中点O，G，连接，如图，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

17于是得，而，，则，即四边形为平行四边形，，又，有，因为平面平面，平面平面，平面，因此平面，即有平面，而平面，所以平面平面.【小问2详解】连接，菱形中，，则为正三角形，有，由（1）知平面，即有为直线与平面所成的角，即，，而，则，显然两两垂直，以点O为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，所以点与平面的距离.21.已知椭圆，过点直线，的斜率为，，与椭圆交于，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

18两点，与椭圆交于，两点，且，，，任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线交直线，于，.（1）求证：；（2）的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）为定值【解析】【分析】（1）依题意可得直线，直线，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可求出、的值，即可得证；（2）设，，依题意可得、、三点共线，则，即可求出，同理可得，再结合（1）的结论得到，即可得到，从而得证.【小问1详解】证明：依题意直线，直线，由，消去整理得，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

19显然，所以，，所以，由，消去整理得，显然，所以，，所以，所以.【小问2详解】解：为定值，设，，由已知可得，，即，，因为、、三点共线，所以，即，解得，同理可得，由（1）知，可得，整理得，即，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

20所以，所以，所以，即.22.已知函数的图象在点处的切线方程为.（1）用表示出，；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）证明：.【答案】（1）.（2）（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的结合意义，列出等式，即可求解；（2）由在上恒成立，设函数，求得其导数，分类讨论，判断函数单调性，根据不等式恒成立，求得参数范围.（3）利用（2）的结论，可得当时，，令，则可推得，将这n个不等式累加,即可证明结论.【小问1详解】由可得，则，且，则.【小问2详解】由（1）知，，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

21令，则，当时，，若，则，是减函数，所以，这与题意不符；当时，，若，则，仅当时等号成立，是增函数，所以，即恒成立，仅当时等号成立，综上所述，所求a的取值范围为.【小问3详解】由（2）知，当时，有，取，有，且当时，，令，则，即，即，，，，将上述n个不等式依次相加得，两边加，整理得【点睛】关键点点睛：证明不等式时，要利用（2）中结论，即当时，有，取，有，且当第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

22时，，因此解答的关键点就在于要采用赋值的方法，即令，得到，然后采用累加的方法，即可证明.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司

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