lebesgue积分的应用

《lebesgue积分的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、本科生毕业设计（论文）Lebesgue积分的应用论文题目：姓名：学院：教师教育学院专业：数学与应用数学（S）年级、学号：11级、指导教师：江苏师范大学教务处印制Lebesgue积分的应用（江苏师范大学教师教育学院徐州）摘要：本文利用积分理论解决分析的问题，它比积分更加方便，大大地开拓了我们的数学视野，提高了我们认识问题、解决问题的能力.关键词：积分；积分；可积我们知道黎曼积分具有一定的局限性，用它处理有些问题显得不太方便，有时甚至解决不了问题.而勒贝格积分的适用范围更加广泛，它比黎曼积分更加深刻，它能使我们更加方便、灵活的处理问题，揭示问题的本质.预备知识1

2、、（定理）设为可测集，为上的一列非负可测函数，当时,对任一自然数,有，令，则2、设为可测集，是上的实函数.如果对于任意的，作为的函数在上可积，对于的，作为的函数在上可导且，这里是上某个非负可积函数，则作为的函数在上可导，则3、（逐项积分定理）设为可测集，为上的一列非负可测函数，则4、（贝塞尔（）不等式）设是内积空间中的有限或可数规范正交系，那么对每个，成立不等式.5、设是内积空间中可数规范正交系，则对任何，106、（斯捷克洛夫定理）设是希尔伯特空间中规范正交系，若帕塞瓦尔等式在的某个稠密子集上成立，则完全.7、（可积的第三充要条件）函数在上可积的充要条件是：

3、任给正数、，总存在某一分割，使得属于的所有小区间中，对应于振动的那些小区间的总长例1计算,1、2、3、解由定理可知：1、=.2、.3、.方法二：由定理知，对任意，存在子集，使在上一致收敛，且，故，故.同理可得：，.例2求，此处，解：方法一令，则，作为的函数在上L可积，作为的函数在任何有限区间上可导且，，这里是上某个可积函数，故10同理可得，方法二令，因为，，故不是瑕点.，，.收敛，故收敛对任意给定的，因为，所以对一致收敛，由的任意性知同理可知.（推广形式的可微性定理）设与在区域上连续，若在上收敛，对任意给定的，在上一致收敛，则.例1在内积空间中，定义内积为，

4、.则三角函数系为中规范正交系由预备知识4不等式知，若函数在上可积，则10.由预备知识5得黎曼—勒贝格引理，若函数在上可积，则..由预备知识6及定理知，上述三角函数系是中完全规范正交函数系，于是在希尔伯特空间中成立帕塞瓦尔等式，即.即若函数在上按段光滑，则有.证明.解考察函数在上的傅里叶级数展开式得：故由帕塞瓦尔等式有：,即.例1计算.解由逐项积分定理可得，.例2计算解，，故存在，从而10存在，且二者相等..一种错解：令则.上式最后一步为：无意义.例6计算.解：注意到.因而，,又.所以.例7计算.解利用Fubini定理，.例8设，在上可积，如果对任何有界可测函

5、数，都有则于.证明：对任意，设是的特征函数，则所以，同样，故10又因所以即于.例子若连续，在上可积，如果对任何是上的有界连续函数，都有,则.例9证明：若在上可积，且处处有，则证：方法一：（反证法）若则.故可得于，这与，矛盾.故方法二：由在上可积，故至少存在一个连续点，已知处处有，所以由极限的保号性知，存在，使得当时，，故.例10证明：若在上连续，在上可积，，，则在上可积.证：方法一：由于，则的连续点也是的连续点.在上可积，故其不连续点的测度为，从而的不连续点的测度为，因而在上可积.10方法二：任给，.由于在上一致连续，因此对上述，存在，当且时，.由假设在上可

6、积，对上述正数和，存在某一分割，使得在所属的小区间中，的所有小区间的总长；而在其余小区间上.设，.由以上可知：在中的小区间上，；至多在所有上，而这些小区间的总长至多为.由可积的第三充要条件，证得复合函数在上可积.例11证明黎曼函数：在上可积.证：由于黎曼函数在内任何无理点处都连续，任何有理点都不连续，故的不连续点为可数集，从而为零测集，即黎曼函数在上可积.同理可知，①狄利克雷函数的不连续点全体为，其测度为1，故狄利克雷函数在上不可积.②区间上的单调函数可积..例12证明：若，则可积可积.证：“充分性“由可积，故的不连续点为零测集，又的连续点也为的连续点.事实

7、上，设为的任一连续点，则由10及在的局部保号性知在局部有界，故在连续.从而的不连续点至多为零测集，可积.“必要性“：由可积，则的不连续点为零测集.对于，，，有.故的连续点为的连续点，从而的不连续点为至多零测集，可积.方法二：由于在上可积，从而有界，设，任给，，由于在上一致连续，从而对上述，存在，当，且时，有.由于在上可积，对上述和，由可积的第三充要条件知，存在某一分割，使得在所属的区间中的所有区间的总长，而在其余区间上.由上可知，在的区间上，，即，从而有，这里，，于是有，即；另一方面，至多在上，而这些区间的总长至多为，故由可积的第三充要条件知在上可积.类似上

8、述证明可知，我们有更一般的结论，即：若，，则可积可积