riemann积分和lebesgue积分性质的比较

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1、Riemann积分和Lebesgue积分性质的比较第30卷第3期2010年3月湖北广播电视大掌掌报Journ~ofHuBeiTVUniversityVo1.30,No.3March.2010.159～160Riemann积分和Lebesgue积分性质的比较掾秋岔(肇庆科技职业技术学院,广东肇庆526100)[内容提要]本文主要对Riemann积分和Lebesgue积分进行归纳总结,并着重比较了这两种积分性质上的异同,以及它们在极限,微分等方面的应用.[关键词]Riemann积分:Lebesgue积分;口]积函数

2、[中图分类号]O15[文献标识码]A[文章编号]1008.7427(2010)03.0159.02Riemann积分是通过特殊和式(即Riemann和)取极限来实现,但是,由于Riemann积分存在着很大的局限性,引进了Lebesgue积分,Lebesgue积分是Riemann积分的推广.本文归纳总结了这两种积分,并着重比较了这两种积分在性质上的异同,以及它们在极限,微分等方面的应用.1.预备知识定义1.1:(Riemann积分概念)请读者参考文献1.定义1.2:(Lebesgue积分概念)请读者参考文献】.定

3、义1.412][4]:设fix)的定义域EcR”可分为有限个互不相交的可测集巨,,…,巨,E:rJE,使在每个历上都等于某一常数Ci,则称J)i=I为EJ:的简单函数.特别地,当每个目是长方体时,称斯)为E上的阶梯函数定义1.5[21:(下方图形)设fix)是E[R上的非负函数,则”中的点集{(,z)I∈E,0z<_厂()},称fix)为在E上的下方图形,记为G(E.定义Riemann积分和Lebesgue积分性质的比较第30卷第3期2010年3月湖北广播电视大掌掌报Journ~ofHuBeiTVUniv

4、ersityVo1.30,No.3March.2010.159～160Riemann积分和Lebesgue积分性质的比较掾秋岔(肇庆科技职业技术学院,广东肇庆526100)[内容提要]本文主要对Riemann积分和Lebesgue积分进行归纳总结,并着重比较了这两种积分性质上的异同,以及它们在极限,微分等方面的应用.[关键词]Riemann积分:Lebesgue积分;口]积函数[中图分类号]O15[文献标识码]A[文章编号]1008.7427(2010)03.0159.02Riemann积分是通过特殊和式(即R

5、iemann和)取极限来实现,但是,由于Riemann积分存在着很大的局限性,引进了Lebesgue积分,Lebesgue积分是Riemann积分的推广.本文归纳总结了这两种积分,并着重比较了这两种积分在性质上的异同,以及它们在极限,微分等方面的应用.1.预备知识定义1.1:(Riemann积分概念)请读者参考文献1.定义1.2:(Lebesgue积分概念)请读者参考文献】.定义1.412][4]:设fix)的定义域EcR”可分为有限个互不相交的可测集巨,,…,巨,E:rJE,使在每个历上都等于某一常数Ci,则

6、称J)i=I为EJ:的简单函数.特别地,当每个目是长方体时,称斯)为E上的阶梯函数定义1.5[21:(下方图形)设fix)是E[R上的非负函数,则”中的点集{(,z)I∈E,0z<_厂()},称fix)为在E上的下方图形,记为G(E.定义1.6:(1)设X为一非空集,F为X上的代数.称二元组合(咒F)为可测空间.(2)设/t为可测空间(,,)上的测度.称三元组合(X.F.)为测度空间为了研究Riemann积分的一些性质,我们给出了n维Euclid空间R”中常义Riemann积分的种等价定义,它通过阶梯函数

7、积分取极限来实现.具体说来,定义如下:定义17:设PcR是任一闭长方体,P≠,,:PR是任一函数,如果VS>O,],∈(P)((P)表示P上阶梯函数全体的集合,使得(),()≤(),∈P,f(()一())<￡P则称,在P上Riemann可积.2.两种积分的?陛质比较Riemann积分和Lebesgue积分这两种积分除了线性关系,不等式性质外还有其他一些重要性质,下面由本人归纳并总结这两种积分在性质上的异阔.2.1绝对可积性性质2.1.1it]:设fix)在[Ⅱ,纠上R可积,则)I在[Ⅱ,上也R可积,

8、且l,()Il,()()注意:这个性质的逆命题一般不成立.例2.1...1,,fl,是有理数1一l,x是无理数显然,)在f0,1】上小是R可积(类似于狄利克雷函数);但l()I;1,lr()j在[O,l】上R可积.性质2.1.2:设几)在可测集E上可测,则)在E上L可积§Ir()j在E上L可积,且有f』,()dJ≤』l,().证明:’.’,()在可测集E上可测,则}f(x)l在E上也可