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时间:2018-10-25
《浅谈lebesgue积分与riemann积分的联系与区别》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别有人说,Lebesgue积分是Riemann釈分的推广。然而对广义Riemann积分来说,Riemann积分的AT积性并不意味着Lebesgue积分的可积性。那么,他们之间有怎么样的联系和区别呢,首先,我们先来回顾一下两种积分的定义。一、积分定义Riemann积分定义假设),=/(x)是区间[rz,川上的函数,若存在某个常数A,使得对区间[“,/?]的任意分害1J:6/=又()<七〈…〈弋=/?及任意),x,+1],/=O,l,.",n—l,只要max{xM-就有:卜1Z/
2、(D(X+i-易)->a/=0则称/在.[6/,/?]上Riemann可税。Lebesgue积分定义设£c是测度有限的可测集,/是定义在E上的有界可测函数,即存在尺,使/(£)=[/£}c(汉,/?).若D••a=10<“◊••,,=夕是[汉,川得任一,分点组,则记=max^-lk_x},Ek=£{水_!3、ebc=J/+(x)dx-J/"(x)JxEEE若j*/(%)也为有限数,则称/(X)在£上Lebesgue可积。E二、L积分与R积分的联系由于在通常意义下的R可积性意味着L可积性,所以我们有定理如果有界函数/(x)在闭区间[6Z,/d是R可积的,则/(幻在也是L可积的,且^f(x)dx=^f(x)dx,[“力】此处J*f(x)dx表示/在上的L积分,£f(x、dx表示/在[a,b]上的R和分。[“川证明:因为/是有界函数,所以只需证明/是上的可测函数。由于/是R可积的,取[6/,/7]的分点组Dma=x^n}4、D川cD,n+”^(DJ=maxfc-)-47>卜0,记分别为/在的下确界与上确界,由R积分的定义知•m'mlim艺州广)(人⑽-々))=⑽-x«)=Jf(x)dx州一>的w—>ooJa/=!/=1令},k,,,}为如下的函数列:(/")识,,u)=乂⑻,x=a5、M广),XG(x;_T,x;,M)J1/⑻,x=a则因久<=久+1,故当区间长度缩小时,上确界不增,下确界不减,所以于是lim仍,,W,即/./h—>00—_注意到/,/都是有机可测的,所以/-/是非负L可积函数,从而J(f-f)dx=^fdx-Jfdx>0[“6、力j~[a.b]~fMdx>J(pm(x)ch=£min}(x;w)-J7(xk/x[a,b]~[“》]/==,JfMdx7、然而,通过一些条件变换,我们有定理若/(%)在[M]上广义R可积,且/(x)不变号,则/(x)L可积,且积分值相等。证明:就无界函数/(%),积分值域为[0,1],/(x)仅在“=0无界,/(%)在[0,1]上非负来证明。令0,/U),XE8、0,一nXEI—,1n则每个人(X),HeTV都是非负的有界可测函数,容易证明打—><»09、oi)/w、x、dm=limif(x)dm=limj^f(x、dm三、L积分与R积分的区别从L积分与R积分的定10、义来看,两种积分的主要区别是,R积分是将给定函数的定义域分小而产生的,而L积分则是划分函数的值域而产生的。R积分的优点是6=['+1]得度量容易给出,但是当分发的细度11、12、r13、14、充分小时,函数/*(x)在么上的振幅4=sup/(x)-inf/(%)仍可能较大。L积分的优点是函数/⑴在圮上的振幅4=sup/(x)-inf/(x)€J(DJ较小,但不再是区间,而是可kx^Ek•拓圮测集。L积分理论是在测度理论棊础上建立的,而测度是平面上度量的推广,故而L积分可以处理有界函数和无界函数的情形,而且把函数定义在更一般的点集上,而不仅仅局15、限于上,从而使L积分的积分范围比R积分更广泛。而在重积分运算时,R积分理论要求重积分和两个累次积分都存在时才和等,而L积分则只需可测且有一个累次积分存在即可,也就是说在L积分理论下重积分化累次积分的条件减弱了。另一方面,R积分中的逐项积分问题,也就是积分与极限交
3、ebc=J/+(x)dx-J/"(x)JxEEE若j*/(%)也为有限数,则称/(X)在£上Lebesgue可积。E二、L积分与R积分的联系由于在通常意义下的R可积性意味着L可积性,所以我们有定理如果有界函数/(x)在闭区间[6Z,/d是R可积的,则/(幻在也是L可积的,且^f(x)dx=^f(x)dx,[“力】此处J*f(x)dx表示/在上的L积分,£f(x、dx表示/在[a,b]上的R和分。[“川证明:因为/是有界函数,所以只需证明/是上的可测函数。由于/是R可积的,取[6/,/7]的分点组Dma=x^n}4、D川cD,n+”^(DJ=maxfc-)-47>卜0,记分别为/在的下确界与上确界,由R积分的定义知•m'mlim艺州广)(人⑽-々))=⑽-x«)=Jf(x)dx州一>的w—>ooJa/=!/=1令},k,,,}为如下的函数列:(/")识,,u)=乂⑻,x=a5、M广),XG(x;_T,x;,M)J1/⑻,x=a则因久<=久+1,故当区间长度缩小时,上确界不增,下确界不减,所以于是lim仍,,W,即/./h—>00—_注意到/,/都是有机可测的,所以/-/是非负L可积函数,从而J(f-f)dx=^fdx-Jfdx>0[“6、力j~[a.b]~fMdx>J(pm(x)ch=£min}(x;w)-J7(xk/x[a,b]~[“》]/==,JfMdx7、然而,通过一些条件变换,我们有定理若/(%)在[M]上广义R可积,且/(x)不变号,则/(x)L可积,且积分值相等。证明:就无界函数/(%),积分值域为[0,1],/(x)仅在“=0无界,/(%)在[0,1]上非负来证明。令0,/U),XE8、0,一nXEI—,1n则每个人(X),HeTV都是非负的有界可测函数,容易证明打—><»09、oi)/w、x、dm=limif(x)dm=limj^f(x、dm三、L积分与R积分的区别从L积分与R积分的定10、义来看,两种积分的主要区别是,R积分是将给定函数的定义域分小而产生的,而L积分则是划分函数的值域而产生的。R积分的优点是6=['+1]得度量容易给出,但是当分发的细度11、12、r13、14、充分小时,函数/*(x)在么上的振幅4=sup/(x)-inf/(%)仍可能较大。L积分的优点是函数/⑴在圮上的振幅4=sup/(x)-inf/(x)€J(DJ较小,但不再是区间,而是可kx^Ek•拓圮测集。L积分理论是在测度理论棊础上建立的,而测度是平面上度量的推广,故而L积分可以处理有界函数和无界函数的情形,而且把函数定义在更一般的点集上,而不仅仅局15、限于上,从而使L积分的积分范围比R积分更广泛。而在重积分运算时,R积分理论要求重积分和两个累次积分都存在时才和等,而L积分则只需可测且有一个累次积分存在即可,也就是说在L积分理论下重积分化累次积分的条件减弱了。另一方面,R积分中的逐项积分问题,也就是积分与极限交
4、D川cD,n+”^(DJ=maxfc-)-47>卜0,记分别为/在的下确界与上确界,由R积分的定义知•m'mlim艺州广)(人⑽-々))=⑽-x«)=Jf(x)dx州一>的w—>ooJa/=!/=1令},k,,,}为如下的函数列:(/")识,,u)=乂⑻,x=a
5、M广),XG(x;_T,x;,M)J1/⑻,x=a则因久<=久+1,故当区间长度缩小时,上确界不增,下确界不减,所以于是lim仍,,W,即/./h—>00—_注意到/,/都是有机可测的,所以/-/是非负L可积函数,从而J(f-f)dx=^fdx-Jfdx>0[“
6、力j~[a.b]~fMdx>J(pm(x)ch=£min}(x;w)-J7(xk/x[a,b]~[“》]/==,JfMdx7、然而,通过一些条件变换,我们有定理若/(%)在[M]上广义R可积,且/(x)不变号,则/(x)L可积,且积分值相等。证明:就无界函数/(%),积分值域为[0,1],/(x)仅在“=0无界,/(%)在[0,1]上非负来证明。令0,/U),XE8、0,一nXEI—,1n则每个人(X),HeTV都是非负的有界可测函数,容易证明打—><»09、oi)/w、x、dm=limif(x)dm=limj^f(x、dm三、L积分与R积分的区别从L积分与R积分的定10、义来看,两种积分的主要区别是,R积分是将给定函数的定义域分小而产生的,而L积分则是划分函数的值域而产生的。R积分的优点是6=['+1]得度量容易给出,但是当分发的细度11、12、r13、14、充分小时,函数/*(x)在么上的振幅4=sup/(x)-inf/(%)仍可能较大。L积分的优点是函数/⑴在圮上的振幅4=sup/(x)-inf/(x)€J(DJ较小,但不再是区间,而是可kx^Ek•拓圮测集。L积分理论是在测度理论棊础上建立的,而测度是平面上度量的推广,故而L积分可以处理有界函数和无界函数的情形,而且把函数定义在更一般的点集上,而不仅仅局15、限于上,从而使L积分的积分范围比R积分更广泛。而在重积分运算时,R积分理论要求重积分和两个累次积分都存在时才和等,而L积分则只需可测且有一个累次积分存在即可,也就是说在L积分理论下重积分化累次积分的条件减弱了。另一方面,R积分中的逐项积分问题,也就是积分与极限交
7、然而,通过一些条件变换,我们有定理若/(%)在[M]上广义R可积,且/(x)不变号,则/(x)L可积,且积分值相等。证明:就无界函数/(%),积分值域为[0,1],/(x)仅在“=0无界,/(%)在[0,1]上非负来证明。令0,/U),XE
8、0,一nXEI—,1n则每个人(X),HeTV都是非负的有界可测函数,容易证明打—><»09、oi)/w、x、dm=limif(x)dm=limj^f(x、dm三、L积分与R积分的区别从L积分与R积分的定10、义来看,两种积分的主要区别是,R积分是将给定函数的定义域分小而产生的,而L积分则是划分函数的值域而产生的。R积分的优点是6=['+1]得度量容易给出,但是当分发的细度11、12、r13、14、充分小时,函数/*(x)在么上的振幅4=sup/(x)-inf/(%)仍可能较大。L积分的优点是函数/⑴在圮上的振幅4=sup/(x)-inf/(x)€J(DJ较小,但不再是区间,而是可kx^Ek•拓圮测集。L积分理论是在测度理论棊础上建立的,而测度是平面上度量的推广,故而L积分可以处理有界函数和无界函数的情形,而且把函数定义在更一般的点集上,而不仅仅局15、限于上,从而使L积分的积分范围比R积分更广泛。而在重积分运算时,R积分理论要求重积分和两个累次积分都存在时才和等,而L积分则只需可测且有一个累次积分存在即可,也就是说在L积分理论下重积分化累次积分的条件减弱了。另一方面,R积分中的逐项积分问题,也就是积分与极限交
9、oi)/w、x、dm=limif(x)dm=limj^f(x、dm三、L积分与R积分的区别从L积分与R积分的定
10、义来看,两种积分的主要区别是,R积分是将给定函数的定义域分小而产生的,而L积分则是划分函数的值域而产生的。R积分的优点是6=['+1]得度量容易给出,但是当分发的细度
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14、充分小时,函数/*(x)在么上的振幅4=sup/(x)-inf/(%)仍可能较大。L积分的优点是函数/⑴在圮上的振幅4=sup/(x)-inf/(x)€J(DJ较小,但不再是区间,而是可kx^Ek•拓圮测集。L积分理论是在测度理论棊础上建立的,而测度是平面上度量的推广,故而L积分可以处理有界函数和无界函数的情形,而且把函数定义在更一般的点集上,而不仅仅局
15、限于上,从而使L积分的积分范围比R积分更广泛。而在重积分运算时,R积分理论要求重积分和两个累次积分都存在时才和等,而L积分则只需可测且有一个累次积分存在即可,也就是说在L积分理论下重积分化累次积分的条件减弱了。另一方面,R积分中的逐项积分问题,也就是积分与极限交
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