lebesgue积分极限定理

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1、1Lebesgue积分的极限定理若每个都可积，则是否可积？已接触的例子？在Riemann积分或Lebesgue积分框架下考虑问题：在Riemann积分框架下，要附加很强条件，使得积分与极限可以交换次序，而在Lebesgue积分框架下，条件很弱！设是函数列且按照某种意义收敛到若可积，那么积分的极限是否为的积分？即积分与极限是否可以交换次序？3.2.1Lebesgue积分与极限运算的交换定理定理3.2.1（Lebesgue基本定理）设是可测集合E上非负可测函数列，则证明关键：Levi渐升列积分定理。33注：

2、非负可测函数的级数求和与积分次序可换。证明：令故由Levi定理，非负单调递增可测函数列且积分线性推论3.2.2设是可测集中互不相交可测子集，若在E上积分存在，则在每个上积分存在；2）若，则，且积分对积分域的可列可加性55由于类似的，66于是正项级数不妨设若在上积分存在，与至少一个有限，特别的，所以在上积分存在。若，即因而对每个故8899证明：考虑非负函数则非负可测单调递增，且利用Levi定理，设是可测集上非负可测函数列，则定理3.2.3(Fatou引理)注：Fatou引理中，不等号可能会出现。1111注

3、：Fatou引理中，不等号可能会出现。则例子：考虑上非负函数列但是当时，即极限函数于是，高斯分布1212即得2）。2）在对函数列应用1）的结果，并意到证明：1）对函数列应用Fatou引理即得1）；若存在可积函数，则练习：设是一列可测函数。若存在可积函数，则；1313定理3.2.4(Lebesgue控制收敛定理)设且有若存在使得，则且注：可积函数称为函数列的控制函数。左侧极限存在？证明：由于为可测函数。进而由因此知：考虑上可积函数列由于由Fatou引理，14141515即由于得即最后，由令，即知命题成立。

4、推论3.2.5设，，且若，满足，则，且1717记：类似上面定理，只需要证明证明：由于由Riesz定理，存在子列由Lebesgue控制收敛定理，1818假如结论不成立，则存在与，使得因为，必有由Riesz定理，存在子列，即于是这与上述不等式矛盾。因此结论成立。19推论3.2.6(有界收敛定理)设一致有界，即存在常数若则当，或者时，有注：Fatou引理常用于判断非负极限函数的可积性质；控制收敛定理则给出积分与极限可换序的充分条件。应用控制收敛定理关键在于找出控制函数！进而注意到当时，上常函数可积，有：202

5、0定理3.2.7(逐项积分)设若则级数在上几乎处处收敛。，则记和函数为，且有证明：定义函数由非负可测函数列逐项积分定理（Lebesgue基本定理）即，从而这说明在上几乎处处收敛，。记和函数为可积则几乎处处有限22由于因此有：记，则由控制收敛定理，2323在微积分中，交换积分运算与极限运算次序是研究含参变量积分的主要工具。是定义的有限实值函数，称为上参变积分。24设存在使得则若在上几乎处处存在，就有定理3.2.8对于上述参变积分，如下结论成立：其中2)若的偏导数存在，且存在则25证明：1考察收敛于的序列，

6、则定义函数列则在上几乎处处收敛，且由控制收敛定理，（关键在于将收敛转化为序列的收敛）。2626由微分中值定理，存在使得于是由1），结论成立。2）取定，令由积分的线性性质，需要证明等式：2727注：由1）的证明，可以看出如下结论成立。设存在使得