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1、第四章Lebesgue积分∫︀1设?(?)>0,?∈?(?),?在?上非负且?(?)??=0.证明:?在?上几乎处处等于?零.证明对于任意的自然数?,??={?∈?:?(?)>1/?}∫︁∫︁1/??(??)≤?(?)??≤?(?)??=0.???从而?(?)=0.这样?(?>0)=∪∞?也是零测度集合.??=1?2设?是可测集且?∈?(?)。证明lim??(?(
2、?
3、≥?))=0.?→∞证明一注意：?在?上Lebesgue可积意味着?几乎处处有限,同时??(?)=
4、?(?)
5、??(
6、?
7、≤?)(?)在?上几乎处处收敛于
8、?
9、,由Levi引理知道：∫︁∫︁??(?)??↑
10、?
11、(?)
12、??.??所以∫︁(︁)︁lim?(?)−??(?)??=0.?→∞?所以就有∫︁lim
13、?(?)
14、??=0.?→∞?(
15、?
16、>?)5556第四章LEBESGUE积分这当然给出理想的结论.证明二:由于?∈?(?),所以由积分的绝对连续性,对于任给?>0,存在?>0,使得对于任意?⊂?,当?(?)
17、?(?)
18、??
19、?
20、≥?))≤
21、?(?)
22、??<∞,?从而lim?(?(
23、?
24、≥?))=0.?→∞这样就知道：存在?,使得当?>?时?((?(
25、?
26、≥?))?时∫︁??(?(
27、
28、?
29、>?))≤
30、?(?)
31、??
32、?
33、≥?)这就给出理想的结论.证明三首先注意到?∈?(?)意味着∑︁∞??(?(?<
34、?
35、≤?+1))<∞.?=1因此,∑︁∞lim??(?(?<
36、?
37、≤?+1))=0.?→∞?=?另一方面,利用测度的可数可加性,可以写??(?(
38、?
39、>?)=??(?(?<
40、?
41、≤?+1))+??(?
42、?
43、>?+1)∑︁∞=??(?(?<
44、?
45、≤?+1))?=?∑︁∞≤??(?(?<
46、?
47、≤?+1)).?=?57这立即给出lim??(?(
48、?
49、>?))=0.?→∞(3)设?是可测集合且?(?)<∞,{??}是?上几乎处处有限的可测函数列.证明：下面
50、两个条件是等价的.(a){??}?≥1依测度收敛于零；(b)∫︁
51、??(?)
52、lim??=0.?→∞?1+
53、??(?)
54、证明假如{??}?≥1依测度收敛于零，则对于任意的?>0,(︁{︁}︁)︁?lim??∈?:
55、??(?)−?(?)
56、≥=0.?→∞1+?从而∫︁∫︁
57、??(?)
58、
59、??(?)
60、??=???1+
61、??(?)
62、?(
63、??(?)−?(?)
64、≥?/(1+?))1+
65、??(?)
66、∫︁
67、??(?)
68、+???(
69、??(?)−?(?)
70、
71、??(?)
72、(︁{︁}︁)︁??≤??∈?:
73、??(?)−?(?)
74、≥+?(?)1+?1+?先固定?令?→∞再令?→
75、0就可以得到(b)成立。反过来，假设结论(b)成立，由于对于任意的?>0,我们可以取?>0使得?>?.明显地1+???({?∈?:
76、??(?)−?(?)
77、>?})1+?∫︁
78、??(?)
79、≤???(
80、??(?)−?(?)
81、≥?/(1+?))1+
82、??(?)
83、∫︁
84、??(?)
85、≤???1+
86、??(?)
87、这立即给出理想的结论.(4)设?∈?([?,?],证明：对于任意的?>0,58第四章LEBESGUE积分(i)存在有界可测函数?使得∫︁?
88、?(?)−?(?)
89、??
90、?(?)−ℎ(?)
91、??
92、ℎ(?)
93、≤sup
94、
95、?(?)
96、;?∈[?,?]?∈[?,?](iii)存在多项式函数?,使得∫︁?
97、?(?)−?(?)
98、??
99、?(?)
100、≤sup
101、?(?)
102、+??∈[?,?]?∈[?,?](iv)存在阶梯函数?,使得∫︁?
103、?(?)−?(?)
104、??
105、?(?)
106、≤sup
107、?(?)
108、;?∈[?,?]?∈[?,?]证明(i)?在?上可积，所以由积分的绝对连续性知道：对于任意的?>0,存在?>0,使得当?⊂?,且?(?)
109、?(?)
110、??
111、?(?)
112、>?})=0.?→∞存在?使得?({?∈?
113、:
114、?(?)
115、>?})
116、?(?)
117、≤?;?(?)=0,?∈?且?(?)>?.就满足∫︁
118、?(?)−?(?)
119、??
120、?(?)
121、≤?.由Lusin定理知道：存在沿?连续的函数?，使得sup
122、?(?)
123、≤sup
124、?(?)
125、≤?,?∈??∈?且?({?∈?:?(?)̸=?(?)})≤?/(4?).这样∫︁
126、?(?)−?(?)
127、??≤?.?现在转向结论(iii).我们只要证明?是[?,?]上的有界函数时结论成立.
