《正弦函数的图像与性质再认识》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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第一章三角函数1.5.1正弦函数的图象与性质再认识◆教学目标1．用描点法画出y=sinx的图象，进一步理解正弦函数的性质；2．利用正弦函数的图象再认识其性质（定义域、周期性、单调性、最值、值域、奇偶性、图象与x轴的交点等性质）；3．通过对正弦函数图象研究的过程，深化对一般函数研究方法的再认识，通过从单位圆和图象两个不同的角度去观察和认识三角函数的变化规律，提高学生直观想象素养．◆教学重难点◆重点：利用描点法画出正弦函数图象，通过图象对函数的性质再认识．难点：描点法画y=sinx的图象．◆教学过程一、新课导入我们已经学习过了正弦函数，余弦函数的概念，并借助单位圆学习了三角函数的基本性质，对于正弦函数y=sinx，它的图象是怎样的呢？观察下图：满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直的运动的木板上的曲线轨迹，就与正弦函数图象相似．二、新知探究问题1：我们怎样画出正弦函数y=sinx的图象呢?答案：由于正弦函数y=sinx是以2π为周期，我们只需要画出0，2π正弦函数的图象，再利用周期性将其延拓到整个定义域上． 追问１：你能用描点法作出正弦函数y=sinx在0，2π上的图象吗？答案：在区间上0，2π取一系列x的值（x的值取得越多，图象越精确，曲线越光滑），例如0，π6，π3，π2，⋯，2π，列表，描点做出图象：0π6π3π22π35π6π7π64π33π25π311π62πsinx01232132120-12-32-1-32-120　　追问２:表格中的数据，有一些无理数，怎样在平面直角坐标系中比较准确地画出？答案：第1步：作单位圆，把圆Ｏ12等分（当然分得越细，图象越精确）；　　第2步：12等分后得到对应于0，π6，π3，π2，……，2π的角，并作出相应的正弦值；第3步：将x轴上从0到2π一段分成12等分；第4步：平移相应角的正弦值；第5步：描点，用平滑曲线顺次连接，就得到y=sinx在区间0，2π上的图象（如图）．由周期性，函数y=sinx在区间2kπ，2k+1π，k∈Z，k≠0上与在区间0，2π上的函数图象形状完全相同，将函数y=sinx，x∈0，2π的图象向左、右平移（每次平移2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象（如图）．正弦函数的图象叫做正弦曲线． 问题2：观察y=sinx的图象，你认为哪些点起着关键性作用，理由是什么？答案：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，-1)，(2π，0)这五个点起关键性作用．根据正弦曲线的基本性质，例如0，2π上，从正弦函数图象可以看到：0，π，2π是函数y=sinx的零点，π2，3π2是函数y=sinx取得最大值、最小值时自变量的值，它们在正弦曲线中起着关键的作用．根据正弦曲线的基本性质，描出(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，-1)，(2π，0)这五个关键点后，函数y=sinx，x∈0，2π]的图象形状就基本确定了．在精度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图．这种作正弦曲线的方法称为“五点（画图）法”．问题３：观察正弦函数图象，你能从中看到哪些性质，并将看到的性质用数学语言描述．答案：结合函数图象以及我们曾经学习过的，利用单位圆得到的，正弦函数的性质，可知，正弦函数的定义域为R，值域为-1，1，其中，当x=2kπ+π2，k∈Z时，正弦函数y=sinx取得最大值1；当x=2kπ-π2，k∈Z时，正弦函数取得最小值-1．正弦函数的周期为2kπ，k∈Z，其中最小正周期为2π； 对于任意的k∈Z，正弦函数在区间2kπ-π2，2kπ+π2上单调递增，在区间2kπ+π2，2kπ+3π2上单调递减．　　追问：借助函数图象探究正弦函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？如果有，请写出它的对称轴方程和对称中心的坐标；如果没有，请说明理由．答案：由正弦型函数图象可以看出，正弦函数的对称轴为x=π2+kπ，k∈Z，对称中心为kπ，0，k∈Z．正弦函数性质可总结为下表：函数y=sinx性质定义域R值域[-1，1]周期性是周期函数，周期为2kπ(k∈Z)，最小正周期为2π最值当x=2kπ+π2，k∈Z时，取得最大值1 当x=2kπ-π2，k∈Z时，取得最小值-1 单调性增区间2kπ-π2，2kπ+π2，k∈Z减区间2kπ+π2，2kπ+3π2，k∈Z奇偶性奇函数对称性对称轴为x=π2+kπ，k∈Z对称中心为点kπ，0，k∈Z三、应用举例例1比较下列各组三角函数值的大小:（1）sin-π15与sin-π11；（2）sin18π7与sin23π9． 分析：根据函数单调性，结合函数图象，可以得到结论．解：（1）如图，因为-π2<-π11<-π15<0，且正弦函数y=sinx在-π2，0单调递增，所以sin-π15>sin-π11．（1）sin18π7=sin2π+4π7=sin4π7;sin23π9=sin2π+5π9=sin5π9．因为π2<5π9<4π7<π，且正弦函数y=sinx在π2，π单调递减，所以sin4π7