《余弦函数的图像与性质再认识》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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《余弦函数的图象与性质再认识》教案◆教学目标1.用描点法画出y=cosx的图象,进一步理解余弦函数的性质;2.利用余弦函数的图象再认识其性质(定义域、周期性、单调性、最值、值域、奇偶性、图象与x轴的交点等性质);3.通过对余弦函数图象研究的过程,深化对一般函数研究方法的再认识,通过从单位圆和图象两个不同的角度去观察和认识三角函数的变化规律,提高学生直观想象素养.◆教学重难点◆重点:利用描点法画出余弦函数图象,通过图象对函数的性质再认识.难点:能通过诱导公式cosx=sinx+π2法画y=cosx的图象.◆教学过程一、新课导入我们已经学习过了正弦函数,余弦函数的概念,并借助单位圆学习了三角函数的基本性质,上一节课我们又学习了正弦函数y=sinx的图象和性质,那么余弦函数y=cosx的图象是怎样的呢?二、新知探究问题1:我们怎样画出余弦函数y=cosx的图象呢?答案:由于余弦函数y=cosx是以2π为周期,我们只需要画出区间0,2π内余弦函数的图象,再利用周期性将其延拓到整个定义域上.在区间上0,2π取一系列x的值(x的值取得越多,图象越精确,曲线越光滑),例如0,π6,π3,π2,⋯,2π,列表,描点做出图象:0π6π3π22π35π6π7π64π33π25π311π62π cosx132120-32-12-1-32-12012321  由周期性,函数y=cosx在区间2kπ,2k+1π,k∈Z,k≠0上与在区间0,2π上的函数图象形状完全相同,将函数y=cosx,x∈0,2π的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=cosx,x∈R的图象(如图).余弦函数的图象叫做余弦曲线.问题2:观察y=cosx的图象,你认为哪些点起着关键性作用,理由是什么?答案:(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π2,0),(2π,1)这五个点起关键性作用.它们分别表示了余弦曲线与x轴的交点(π2,0)和(3π2,0)余弦函数取得最大值的点(0,1)和(2π,1),取得最小值的点(π,-1).根据余弦曲线的基本性质,描出这五个关键点后,函数y=cosx,x∈0,2π的图象形状就基本确定了.在精度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲线将它们连接起来,就得到余弦函数的简图.这种作余弦曲线的方法称为“五点(画图)法”.问题3:除了描点作图,我们还可以用其他方法画出y=cosx的图象吗?  答案:由诱导公式cosx=sinx+π2可知,余弦函数y=cosx图象可以通过正弦曲线y=sinx 向左平移π2个单位长度得到.问题4:观察余弦函数图象,我们可以得余弦函数y=cosx的哪些性质,并将看到的性质列表总结出来.答案:与正弦函数相同,我们可以根据余弦曲线得到余弦函数性质并总结如下:函数y=cosx性质定义域R值域[-1,1]周期性是周期函数,周期为2kπ(k∈Z),最小正周期为2π最值当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值1 当x=2k+1π,k∈Z时,取得最小值-1 单调性增区间2k-1π,2kπ,k∈Z减区间2kπ,2k+1π,k∈Z奇偶性偶函数对称性对称轴为x=kπ,k∈Z对称中心为点π2+kπ,0,k∈Z三、应用举例例1画出函数y=cosx-π在一个周期上的函数图象.解:按五个关键点列表x-π0π2π3π22π xπ3π22π5π23πy=cosx-π10-101于是得到y=cosx-π在区间π,3π上的五个关键点为:(π,1),(3π2,0)(2π,-1),(5π2,0),(3π,1)描点,并用光滑曲线将它们顺次连接起来,就画出y=cosx-π在一个周期上的图象同样的,我们也可以根据诱导公式y=cosx-π-cosx,画出y=-cosx的图象.例2画出y=cosx-1在一个周期上的图象,并根据图象讨论函数的性质.分析:利用0,2π内五个关键点确定y=cosx-1的图象.解:函数y=cosx的最小正周期是2π,按五个关键点列表x0π2π3π22πy=cosx10-101y=cosx-10-1-2-10于是得到函数y=cosx-1在区间0,2π上的五个关键点为:(0,0),(π2,-1)(π,-2),(3π2,-1),(2π,0)描点,并用光滑曲线将它们顺次连接起来,就画出y=cosx-1在0,2π上的图象如图: 由函数y=cosx-1的图象得到它的主要性质如下表:函数y=cosx-1定义域R值域-2,0奇偶性偶函数周期性周期函数,周期是2π单调性在每一个闭区间2k-1π,2kπ,k∈Z单调递增;在每一个闭区间2kπ,2k+1π,k∈Z单调递减最大值与最小值当=2kπ,kϵZ时,最大值为0;当=2k+1π,kϵZ时,最小值为-2设计意图:通过例题,重视利用“五点法”画函数y=cosx-1图象以及利用函数图象研究函数性质的方法,为后续学习积累经验.四、课堂练习  1.函数y=cosx的图象的一条对称轴方程可以是(  ).    A.x=-π6B.x=π6  C.x=-π2    D.x=π  2.利用五点法画出函数y=2+cosx和y=3cosx在区间0,2π上的图象.   3.利用函数y=cosx的图象,求满足不等式cosx≤22的x的取值范围.参考答案:1.解析:函数y=cosx图象的对称轴方程为x=kπ,k∈Z,当k=1时,x=π,    故选D.2.解析:按五个关键点列表x0π2π3π22πy=cosx10-101y=2+cosx32023y=3cosx30-303于是得到函数y=2+cosx在区间0,2π上的五个关键点为:(0,3),(π2,2)(π,0),(3π2,2),(2π,3)函数y=3cosx在区间0,2π上的五个关键点为:(0,3),(π2,0)(π,-3),(3π2,0),(2π,3)描点,并用光滑曲线将它们顺次连接起来,就画出函数y=2+cosx和y=3cosx在0,2π上的图象如图:3.解析:画出函数y=cosx在区间0,2π上的图象,如图所示: 结合图象,得出不等式cosx≤22的x的取值范围是:x|2kπ+π4≤x≤2kπ+3π4,k∈Z.五、课堂小结1.五点作图法:根据余弦曲线的基本性质,描出(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π2,0),(2π,1)这五个关键点后,函数y=cosx,x∈0,2π的图象形状就基本确定了.在精度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲线将它们连接起来,就得到这个函数的简图.这种作余弦曲线的方法称为“五点(画图)法”.此外,我们还可以通过诱导公式作出余弦函数的图象.2.余弦函数的性质:函数y=cosx性质定义域R值域[-1,1]周期性是周期函数,周期为2kπ(k∈Z),最小正周期为2π最值当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值1 当x=2kπ-π,k∈Z时,取得最小值-1 单调性增区间2k-1π,2kπ,k∈Z减区间2kπ,2k+1π,k∈Z奇偶性偶函数对称性对称轴为x=kπ,k∈Z对称中心为点π2+kπ,0,k∈Z六、布置作业 教材第37页练习第2,3,4,5题.

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