《基本关系式》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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第四章三角恒等变换4.1.1基本关系式◆教学目标1．能根据三角函数的定义，利用单位圆，推导出三角函数的基本关系式.2．能正确利用基本关系式进行三角函数式的求值运算，并且确定符号.3．通过本节的学习，能把方程的思想、代数变换、分类讨论的逻辑方法融入到解题中.◆教学目标重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用；已知一个角的一个三角函数值，利用基本关系式求其它的三角函数值．难点：已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其它三角函数时符号的确定．◆教学过程◆一、新课导入温故知新：请同学们回忆一下，我们之前学习三角函数的时候，是如何对它们进行定义的？给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为，点的横坐标就定义为角α的余弦，即，纵坐标定义为角的正弦，即.想一想：如果已知，我们如何把这个角的正弦值和正切值求出来呢？答案：如果我们能得出同角的三角函数之间的关系，就可以达到知一求二的效果了，接下来，我们一起来探究这个问题.设计意图：通过对过往章节中学习的对三角函数的定义方法，引出本节课内容中一个重要桥梁——单位圆，加深知识之间的联系与衔接，帮助学生建立起知识网络，与此同时，提出本节课的核心问题——已知一个角的一个三角函数值，如何求出其它的三角函数值呢？可以引起学生的思考． 二、新知探究问题1：小组讨论：请大家阅读下列常见特殊角的三角函数值，再结合刚才提到的单位圆中三角函数的定义，能否得出通一个角的正弦、余弦、正切这三个三角函数之间的关系？请在小组内讨论一下这个问题.????0sin????01cos????10tan????0不存在-1追问1：大家能否用数学表达式将你发现的这个关系写出来？答案：有不少细心的同学已经发现，第一个关系就是我们之前第一章学习的正切函数的定义：，第二关系是正弦与余弦之间的关系：．同角的三角函数的两条基本关系式：问题2：如何去理解关系式呢？答案：有同学想到了在我们初中学习三角函数的时候，特意强调了它们需要在直角三角形中使用，在直角三角形中ac根据定义可得：，bα则根据勾股定理：故进入到高中，我们学习了单位圆中三角函数的定义.根据定义可知，角α的终边与单位圆交于点，则点的横坐标就是角α的余弦值，则点的纵坐标就是角α的正弦值，且点到原点的距离为1.过点作轴的垂线，垂足为，构造直角三角形： 根据勾股定理，易得：问题3：在使用同角三角函数的基本关系式的时候，有什么地方需要注意的？答案：我们在使用这两条基本关系的时候，要注意以下几点：1.注意是否为“同角”，这里所谓的同角可以指终边相同的角若，则2.公式成立的条件：（1）对任意实数都成立，例如：（2）要求式子有意义，这时.3.在书写的时候要特别注意，或表示的平方，表示的正弦值.问题4：请大家判断以下等式是否成立？如果不成立，理由是什么？（1）（2）（3）（4）（5）答案：根据两条基本关系式的适用条件进行判断（1）都是，属于同角，等式成立；（2）都是，属于同角，但是要分类讨论，若，即，右边没有意义，等式不成立，反之则成立；（3）都是，属于同角，等式成立；（4）需要分类讨论，若，则等式成立，反之不成立；（5）其中，属于终边相同的角，等式成立.设计意图：让学生通过对单位圆的理解以及对一些常见角度的三角函数值得观察，自主思考探究，进而得出同角三角函数值之间的关系，并且要求它们尝试用自己的方法去证明，锻炼他们的发散性思维，然后还要再次强调使用时的注意事项，那么整个过程下来，学生可以在对这个基本关系式的探究当中，进一步地强化他们求参数取值范围和分类讨论的思想． 三、应用举例例1：已知，且角的终边在第二象限，求和的值.分析：直接利用和代入求解即可.解：∵角的终边在第二象限∴想一想：为什么题目特意强调角的终边在第二象限？如果没有这句话，答案会变吗？y答案：因为中平方的存在，角处于第几象限需要结合具体的三角函数值和题目所给条件才能确定.xO如图所示，2条过原点的红色直线是关于轴对称的，它们可以表示成4个终边不同的角，但是不难发现，它们的和是相等的，这就是为什么例1中特意强调角所在的象限，就是为了确定的正负，从而得出正确的的值，如果没有这个条件，那么就需要进行分类讨论了.例2：已知，求和的值.分析：注意，和例1有所不同，这里并没有说明所在象限，故需要分类讨论. 解：因为，故角的终边在第二或第三象限当在第二象限时，，当在第三象限时，，例3：已知，求和.分析：已知的情况下，需要列方程组求解，本题未说明所在象限，故需分类讨论.解：根据题意，可得方程组由②式得将③代入②，可得解得因为，故的终边不在坐标轴上所以 四、课堂练习1.（1）已知，且为第一象限角，求和的值.（2）已知，且为第三象限角，求和的值.（3）已知，且为第二象限角，求和的值.2.已知，求和的值.3.已知，求和.参考答案：1.（1）解：∵角的终边在第一象限∴（2）解：∵角的终边在第三象限∴（3）解：因为角的终边在第二象限，故 根据题意可得：解得2.解：因为，故是第三、第四象限角当在第三象限时，，当在第四象限时，，3.解：因为，故肯定有意义所以五、课堂小结1.三角函数的基本关系式：，.使用时要注意是否为同角以及等式的成立条件. 2.已知一个角的其中一个三角函数值，我们就可以使用以上关系式求出其余的三角函数值，但是一定要注意根据题意确定角所在的象限，进而确定三角函数值的正负，如果不能确定，则需要分类讨论.六、布置作业教材第142页习题4-1A组第1，2题．