《复数的加法与减法》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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第五章复数5.2.1复数的加法与减法◆教学目标1.学会复数代数形式的加减运算法则，能够运用法则求两个复数的和与差；2.了解复数的加法运算的交换律、结合律；3.了解复数加法运算、减法运算的几何意义．◆教学重难点◆教学重点：复数代数形式的加、减运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义．教学难点：复数减法的运算法则．◆教学过程一、新课导入问题1：我们为了解决类似x2+1=0在实数范围无解的问题，引入了虚数单位i，从而把数集范围从实数集扩大到复数集.依据我们研究实数的经验，接下来我们要研究复数的哪些问题？答案：接下来要研究讨论复数集中的运算问题.追问：还记得复数的概念吗？答案：对于形如：z=a+bi（a，b∈R）的数叫做复数.其中i叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.设计意图：通过复习回顾数集的扩展、复数概念为探究本节课的新知识作铺垫.二、新知探究问题2：我们希望在扩充到复数集后，两个复数的和仍是一个复数，并且保持实数的运算律，设z1=a+bi,z2=c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，该如何规定复数的加法法则呢？答案：z1+z2=a+bi+c+di，由于期望加法结合律成立，故z1+z2=(a+c)+(bi+di) ；由于期望乘法对加法满足分配律，故z1+z2=(a+c)+(b+d)i，所以我们规定：设z1=a+bi,z2=c+di（a，b，c，d∈R），则z1+z2=(a+c)+(b+d)i.追问1：两个复数的和是复数吗，它的值唯一确定吗？答案：两个复数的和仍然是个复数，且是一个确定的复数，它可以推广到多个复数相加；追问2：当b=0，d=0时，与实数加法法则一致吗？答案：当b=0，d=0时，复数的加法与实数加法法则一致；追问3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答案：两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚部的和，类似于实数运算中的合并同类项.设计意图：加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性.将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣.问题3：我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？答案：类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，我们通过引入相反数来定义复数的减法．给定复数z2，若存在复数z，使得z2+z=0，则称z是z2的相反数，记作z=-z2.设z2=c+di的相反数是z=x+yix，y，c，d∈R，则c+x+d+yi=0，解得x=-c，y=-d，即z=-c-di=-c+di=-z2.对任意的复数z1=a+bi和非零复数z2=c+di，规定复数的减法z1-z2=z1+-z2，即减去一个复数，等于加上这个复数的相反数，也就是：a+bi-c+di=a-c+b-di.追问1：推导一个复数的相反数时用到了什么方法？答案：我们在推导一个复数的相反数时，应用了待定系数法，这种方法也是确定未知复数实部与虚部经常用的一种方法.追问2：两个复数的差是复数吗，它的值唯一确定吗？答案：两个复数的差与和相同，仍然是个复数，且是一个确定的复数.追问3：复数的减法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答案：两个复数的差的实部是它们的实部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差，类似于实数运算中的合并同类项. 问题4：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？答案：对任意的z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+ z1，z1+z2+z3=z1+ z2+ z3.证明：设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），则z1+z2=(a+c)+(b+d)i.z2+z1=(c+a)+(d+b)i.因为a+c=c+a，b+d=d+b，所以z1+z2=z2+z1.证明：设z1=a+bi，z2=c+di，z3=e+fi（a，b，c，d，e，f∈R），z1+z2+z3=a+c+(b+d)i+e+fi=a+c+e+b+d+fi，z1+ z2+ z3=a+bi+(c+e)+(d+f)i=a+c+e+b+d+fi，所以z1+z2+z3=z1+ z2+ z3.问题5：我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量有一一对应的关系．而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？答案：如图z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）分别与向量OZ1=(a,b)，OZ2=(c,d)对应．由平面向量的坐标运算法则，得OZ1+OZ2=(a+c,b+d).而z1+z2=(a+c)+(b+d)i.这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义．问题6：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？答案：如图z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）分别与向量OZ1=(a,b)，OZ2=(c,d)对应．由平面向量的坐标运算法则，得OZ1+OZ2=(a-c,b-d)，而z1-z2=(a-c)+(b-d)i.这说明两个向量OZ1与OZ2的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量. 设计意图：通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,加深复数几何意义的理解，也培养了学生的数形结合思想.复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了化归与转化的数学思想方法.三、应用举例例1计算：(-5+3i)+(2-4i)+(23-4i)．解：原式=-5+3i+2-4i+23-4i=(-5+2)+(3-4)i+(23-4i)=(-3-i)+(23-4i)=(-3+23)+(-1-4)i=(-3+23)-5i．例2设z=a+bi（a，b∈R），求z+z与z-z．解：因为z=a+bi，所以z=a-bi，z+z=a+bi+a-bi=a+a+b-bi=2a，z-z=a+bi-a-bi=a-a+b--bi=2bi．例3已知向量OZ对应的复数是z=-2+23i，请计算z+-2-i的结果，并给出几何解释．解：因为z+-2-i=-2+23i+-2-i=-2-2+23-1i=-4+23-1i．如图，这两个复数的和与相应的两个向量的和相对应． 四、课堂练习1.已知i是虚数单位，则复数z=3+i+-3-2i的虚部是(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．-1　　　　D．-i2.设z1=x+2i，z2=3-yi(x，y∈R)且z1+z2=5-6i，则z1-z2=________．3.如图所示，在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3+2i，-2+4i.求：向量AO、CA、OB对应的复数．参考答案：1.解：z=3+i+-3-2i=3-3+1-2i=-i，故复数z的虚部为-1.答案：C2.解：∵z1=x+2i，z2=3-yi且z1+z2=5-6i，∴x+3+2-yi=5-6i，∴x+3=5，2-y=-6，即x=2y=8.∴z1-z2=2+2i-3-8i=-1+10i. 3.解：因为AO=-OA，所以向量AO对应的复数为-3-2i.因为CA=OA-OC，所以向量CA对应的复数为3+2i--2+4i=5-2i.因为OB=OA+OC，所以向量OB对应的复数为3+2i+-2+4i=1+6i. 五、课堂小结1.复数代数形式的加法、减法的运算法则.复数的加(减)法实质是：复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;2.复数加法减法的几何意义.复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按照向量的减法（三角形法则）来进行.六、布置作业教材第171页练习第1题．