《基本关系的应用》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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第四章三角恒等变换4.1.2基本关系式的应用◆教学目标1．能根据同角三角函数的基本关系，较为熟练地进行三角函数值的求值运算，并确定符号.2．能正确利用同角三角函数的基本关系，进行恒等式的证明，.3．通过本节的学习，能理解并运用恒等式的证明方法，构造属于自己的思路.◆教学重难点◆重点：常见三角函数的求值运算技巧；恒等式的证明方法．难点：如何利用同角三角函数的基本关系证明恒等式．◆教学过程◆一、新课导入温故知新：同学们，我们在上节课学习了同角三角函数的基本关系式，它们分别是sin2α+cos2α=1和tanα=sinαcosα，并且能通过某个三角函数的具体数值求出余下两个三角函数值.想一想：同学们，那如果我们得到的是三角函数间的和差关系或是乘除关系的时候，又该如何处理，比如已知sinα-cosα=-15，求α的三角函数值，应该从何入手？答案：结合同角三角函数的基本关系式，充分利用方程的思想，构建“联立-求解-定号”的思路框架，问题方能迎刃而解.设计意图：通过对旧知的复习，巩固学生对同角三角函数的基本关系的印象，并且引出新的课题，激发学生的学习兴趣，让学生在对新问题的挑战中，进一步深化方程思想，对这个强有力的学科工具的运用方法更加灵活多变．二、新知探究问题1：已知sinα-cosα=-15，π<α<3π2，求tanα.分析：因为题中给出了α的范围，所以我们直接利用sin2α+cos2α=1，联立方程组，进行代入消元，求出sinα和cosα，然后通过tanα=sinαcosα即可得出答案.解：根据题意可得sinα-cosα=-15sin2α+cos2α=1消去cosα，得25sin2α+5sinα-12=0 解方程，得sinα=35或sinα=-45因为π<α<3π2，sinα<0，所以sinα=-45代入已知条件，得cosα=-35于是tanα=sinαcosα=-45÷-35=43想一想：一般来说，这种求正切值的题目都需要先求出正弦和余弦，那么有没有直接求出正切值的方法呢？答案：我们可以利用转化的思想，把正弦、余弦转化成正切，把二元方程转化为一元方程，就以上一题为例：解：(sinα-cosα)2=125sin2α-2sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=125tan2α-2tanα+1tan2α+1=125解得：tanα=43或34因为sinα-cosα=-15，π<α<3π2，所以sinα1故tanα=43想一想：已知同角三角函数值的和差关系，求三角函数的具体数值的时候，我们的一般思路是怎样的？答案：因我们通常是利用同角的三角函数的基本关系和已知条件把问题归结为：解正弦函（或余弦）函数值的一个一元二次方程，或者解正弦函数和余弦函数值的二元方程组，但与此同时还是要注意角的象限问题，象限决定函数值的正负.问题2：（1）求证：cosα1-sinα=1+sinαcosα(cosα≠0).（2）求证：1-2sinαcosαcos2α-sin2α=cos2α-sin2α1+2sinαcosα分析：证明恒等式是我们全新接触的题型，具有一定的难度，我们需要解决的首要问题就是：如何证？一般来说证明恒等式有两种方式：①左式-右式=0；②左式=右式=某个式子.不过无论我们采取哪种方式，毫无疑问都需要对原式进行变形，而变形主要根据我们初中所积淀的四则运算技巧和同角三角函数的基本关系，下面我们就来认识一下这两种证明方法.证明：（1）由cosα≠0，知sinα≠1，所以1-sinα≠0左式-右式可得：cosα1-sinα-1+sinαcosα=cos2α-1+sinα1-sinα1-sinαcosα =cos2α-1-sin2α1-sinαcosα=cos2α-cos2α1-sinαcosα=0所以原式成立（2）对左式进行变形：1-2sinαcosαcos2α-sin2α=cos2α+sin2α-2sinαcosα1+2sinαcosα=(sinα-cosα)2(cosα-sinα)(cosα+sinα)=cosα-sinαcosα+sinα对右式进行变形：cos2α-sin2α1+2sinαcosα=(cosα-sinα)(cosα+sinα)(sinα+cosα)2=cosα-sinαcosα+sinα显然左式=右式，故原式恒成立小结：在实际应用当中到底使用哪一种证明方法，要根据难易程度而定，有的式子用作差的方法比较简单，有的式子用左右进行变形的方法比较简单，不过不论用哪种方法，都要求学生对已有公式的深刻理解以及一定的因式分解的能力，综合来说，因式分解的能力会更加重要.设计意图：我们主要针对常见的三角函数运算求值的方法以及证明恒等式的方法进行讲解，其中较为重要的应该是弦切转化的能力以及通过因式分解证明恒等式的能力，因此在这一部分例题的选取中，都会出现体现上述能力的模块，由此丰富学生的解题技巧，让他们感知数学中一步步地化简式子的魅力所在.三、应用举例例1：已知tanα=3，求sinα+cosαsinα-cosα分析：本题可直接联立方程组进行求解，通过tanα的值可以确定象限，从而分类讨论.解：根据题意可得sinαcosα=3sin2α+cos2α=1消去sinα，得9cos2α+cos2α=1解方程，得cosα=±1010因为tanα>0，故α是第一或第三象限角当α是第一象限角时，cosα=1010sinα=31010则sinα+cosαsinα-cosα=31010+101031010-1010=2当α是第三象限角时，cosα=-1010sinα=-31010则sinα+cosαsinα-cosα=-31010-1010-31010+1010=2想一想：不难发现，本题中无论α在哪个象限，结果都是2，是不是意味着可以有更简单的方法求解？ 因为tanα=sinαcosα=3,故cosα≠0所以sinα+cosαsinα-cosα=sinαcosα+1sinαcosα-1=3+13-1=2这个解法比较巧妙，并不需要求得sinα和cosα的值，实际上，这种通过分子分母同除以cosα，达到消去部分cosα和把sinα转化成tanα的方法很常用，可以多多留意哪些类型的式子适用这种方法.例2：求证：（1）sin4α-cos4α=sin2α-cos2α（2）sin4x+sin2xcos2x+cos2x=1分析：充分发挥因式分解的作用，注意观察形如完全平方公式和平方差公式的式子.证明：（1）左式=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=右式故sin4α-cos4α=sin2α-cos2α（2）左式=sin2x(sin2x+cos2x)+cos2x=sin2x+cos2x=1=右式故sin4x+sin2xcos2x+cos2x=1四、课堂练习1.化简与求值：（1）(1+tan2α)cos2x.（2）2cos2θ-11-2sin2θ2.已知tanα=-2，求：（1）sinα-cosαsinα+cosα（2）sin2α-cos2α3.求证：1+2sinαcosαsin2α-cos2α=tanα+1tanα-1参考答案：1.解：（1）原式=(1+sin2αcos2α)cos2α=cos2α+sin2α=1（2）原式=2cos2θ-11-2sin2θ=2cos2θ-sin2θ-cos2θsin2θ+cos2θ-2sin2θ=cos2θ-sin2θcos2θ-sin2θ=12.解：（1）因为tanα=-2，所以cosα≠0原式=tanα-1tanα+1=-2-1-2+1=3（2）原式=sin2α-cos2αsin2α+cos2α=tan2α-1tan2α+1=4-14+1=353.证明：左式=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α-cos2α=(sinα+cosα)2(sinα+cosα)(sinα-cosα)=sinα+cosαsinα-cosα=tanα+1tanα-1=右式 故1+2sinαcosαsin2α-cos2α=tanα+1tanα-1五、课堂小结1.进行三角函数的运算求值时，一定要贯彻落实“联立-求解-定号”的思想方针，这个属于万金油的方法，有时候可能不是最优解，但一定能得出答案.2.进行三角函数恒等式的证明时，要充分锻炼自身因式分解的能力，同时也要选取适合自身的证明方法，多尝试才能进步.六、布置作业教材第142页习题4-1A组第3题，B组第1、2题．