《积化和差与和差化积公式》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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第四章三角恒等变换两角和与差的三角函数公式4.2.4积化和差与和差化积公式◆教学目标1．能利用之前所学公式进行积化和差与和差化积公式的推导.2．感受各个三角函数公式的使用场合以及化简过程中的运用.◆教学重难点教学重点：利用积化和差与和差化积公式进行化简．教学难点：积化和差与和差化积公式的推导与记忆．◆教学过程◆一、新课导入想一想：我们之前已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，一起回顾一下.sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ接下来我们将探究三角函数积的形式与和的形式如何相互转化.设计意图：本节课的核心内容是积化和差与和差化积公式的记忆与运用，所以我们采取先示范推导方法，然后让学生自行推导其它的公式，这样可以帮助学生更好地进行公式的记忆．二、新知探究问题1：请把cosαcosβ转化成三角函数的和的形式.答案：cosαcosβ=12cosαcosβ+cosαcosβ=12cosαcosβ+sinαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=12[cosα-β+cosα+β]问题2：仿照刚才的做法，把sinαsinβ转化成三角函数的和的形式. 答案：sinαsinβ=-12-sinαsinβ-sinαsinβ=12cosαcosβ-sinαsinβ-cosαcosβ-sinαsinβ=-12[cosαcosβ-sinαsinβ-(cosαcosβ+sinαsinβ)]=-12[cosα+β-cosα-β]按照以上做法，我们可以得出以下四条积化和差公式cosαcosβ=12[cosα+β+cosα-β]sinαsinβ=-12[cosα+β-cosα-β]sinαcosβ=12[sinα+β+sinα-β]cosαsinβ=12[sinα+β-sinα-β]问题3：请把sinα+sinβ转化成三角函数的积的形式.答案：设α+β=x,α-β=y,则α=x+y2,β=x-y2则sinαcosβ=12[sinα+β+sinα-β]可以改写为2sinx+y2cosx-y2=sinx+siny故sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2同理我们可以得到以下三个和差化积公式sinα-sinβ=2cosα+β2sinα-β2cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2设计意图： 这个环节的关键是通过老师对推导过程的示范，激发学生的创造能力，让他们自己去探究推导余下的公式，这样他们就算是忘记了公式本身，只要知道原理，一样可以通过自身能力把公式推导出来.三、应用举例例1：求sin5π12cosπ12的值解：sin5π12cosπ12=12sin5π12+π12+sin5π12-π12=12sinπ2+sinπ3=121+32=12+34例2：求sin15°sin30°sin75°的值解：sin15°sin30°sin75°=12sin15°sin75°=-14[cos15°+75°-cos15°-75°]=-14[cos90°-cos60°]=-14×-12=18例3：把sin103°+sin17°化为积的形式.解：sin103°+sin17°=2sin103°+17°2cos103°-17°2=2sin60°cos43°=3cos43°例4：把cosα+π4-cosα-π4化为积的形式.解：cosα+π4-cosα-π4=-2sinα+π4+α-π42sinα+π4-α-π42=-2sinαcosπ4=-2sinα例5：把cosx+32化为积的形式. 解：cosx+32=cosx+cosπ6=2cosx+π62cosx-π62=2cosx2+π12cosx2-π12四、课堂练习1.把下列各式化成积的形式（1）sin54°+sin66°（2）cos40°+cos52°答案：（1）sin54°+sin66°=2sin54°+66°2cos54°-66°2=2sin60°cos6°=3cos6°（2）cos40°+cos52°=2cos40°+52°2cos40°-52°2=2cos46°cos6°2.把下列各式化成积的形式（1）sin3x-sin5x（2）cos50°-cos70°答案：（1）sin3x-sin5x=2cos3x+5x2sin3x-5x2=-2cos4xsinx（2）cos50°-cos70°=-2sin50°+70°2sin50°-70°2=2sin60°sin10°=3sin10°3.把下列各式化成和或差的形式 （1）sin64°cos20°（2）sin84°cos114°答案：（1）sin64°cos20°=12[sin64°+20°+sin64°-20°]=12(sin84°+sin44°)=12sin84°+12sin44°（2）sin84°cos114°=12[sin84°+114°+sin84°-114°]=12(sin198°-sin30°)=-12sin18°-144.把下列各式化成和或差的形式（1）cosπ8cosπ8（2）sin2sin1.2答案：（1）cosπ8cosπ8=12[cosπ8+π8+cosπ8-π8]=12(cosπ4+cos0)=24+12（2）sin2sin1.2=-12[cos2+1.2-cos2-1.2]=12(cos3.2-cos0.8)=12cos3.2-12cos0.8五、课堂小结这节课我们学习了和差化积与积化和差的公式.和差化积：sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2sinα-sinβ=2cosα+β2sinα-β2cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2 积化和差：cosαcosβ=12[cosα+β+cosα-β]sinαsinβ=-12[cosα+β-cosα-β]sinαcosβ=12[sinα+β+sinα-β]cosαsinβ=12[sinα+β-sinα-β]六、布置作业教材P152练习第3题．