《二倍角公式》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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第四章三角恒等变换4.3.1二倍角公式◆教学目标1．理解二倍角公式与两角和公式之间的联系，能利用两角和公式探索二倍角公式及相关变形式，并能进行简单的应用．2．让学生经历二倍角公式的推导及变形过程，获得解决与倍角相关的化简、求值、证明等问题的技能．3．在公式生成与应用过程中，体会由一般到特殊、由特殊到一般的数学思想，理解二倍角中“倍”的含义，了解研究问题的过程与方法．◆教学重难点重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式．难点：二倍角的理解及其灵活运用．◆教学过程一、新课导入相关著名历史人物：比鲁尼(973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．二、新知探究问题1：将两角和（）的正弦、余弦和正切公式中的换成，会得到什么结果？答案：因为两角和的正弦公式为：sin（）＝sinαcos＋cosαsin，将公式中的换成可得sin（）＝sinαcos＋cosαsin，化简得sin2α=2sinαcosα(S2α)．7 同理可得：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)；tan2α＝(T2α)（α、2α均不等于＋kπ，k∈Z．）追问1：根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cosα表示cos2α？答案：cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α．追问2：tan2α公式还可以怎么推导？答案：可以利用正弦和余弦的二倍角相除得到二倍角的正切公式，即tan2α＝．分子分母同除以cos2α得tan2α＝．追问3：倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？答案：倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况．追问4：sin3α用二倍角公式展开是什么？答案：sin3α＝2sincos．问题2：余弦的二倍角公式还可以做哪些变形？答案：升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝．总结：以上这些问题，通过回顾所学两角和的正弦、余弦、正切公式，令β=α，经过三角恒等变换推导出二倍角公式及相关的变形公式．设计意图：让学生经历二倍角公式的推导及变形过程，了解两角和的三角函数公式和二倍角公式的内在联系，还可以交流tan2α的不同推导过程．让学生深刻领会从一般到特殊的数学思想．【公式巩固】1．sincos的值为________．7 【解析】sincos＝sin＝．【答案】．2．计算cos215°－sin215°结果等于(　　)A．B．C．D．【解析】cos215°－sin215°＝cos30°＝．【答案】D3．已知α为第三象限角，cosα＝－，则tan2α＝________．【解析】因为α为第三象限角，cosα＝－，所以sinα＝－，所以tanα＝，tan2α＝＝－．【答案】－．三、应用举例（一）二倍角公式的直接运用例1　已知角α是第二象限角，cosα=－，sin2α，cos2α和tan2α的值．解：因为角α是第二象限角，所以sinα>0，可得sinα=．由二倍角公式，有sin2α=2sinαcosα=，cos2α＝2cos2α－1=2×－1=，tan2α＝＝＝．7 设计意图：通过例题，对二倍角公式进行练习，掌握二倍角公式的运用，逐步灵活应用．方法总结：结合同角三角函数的基本关系式对已知条件进行转化，直接运用二倍角公式直接求值．（二）二倍角公式的间接运用例2　已知sin＝，则sin2α的值为(　　)A．－B．C．－D．解：　∵2α＝2－，∴sin2α＝sin＝－sin＝－cos2＝－＝－＝－．故答案选：C．设计意图：通过此例，观察寻找角之间关系，通过恒等变形，使其适合二倍角公式，达到解题目的．方法总结：(1)解决此类问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2．②cos2x＝sin＝sin＝2sincos．7 （三）二倍角公式在实际问题中的应用例3　在中，已知AB=AC=2BC，求角A的正弦值．解：如图，过点A作BC的垂线，垂足为D．设∠BAD=θ，则∠BAC=2θ．　　因为BD=12BC=14AB，所以sinθ=BDAB=14．因为0<2θ<π，所以0<θ<π2，于是cosθ=1-142=154．故sin∠BAC＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×14×154＝158．　例4　如图，要把以点O为圆心，半径为的半圆形木料截成矩形ABCD，应怎么样截取，才能使矩形ABCD的面积最大？解：连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，则AB＝sinθ，OA＝cosθ，且θ∈．因为A，D关于点O对称，所以AD＝2OA＝2cosθ．设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝2cosθ·sinθ＝sin2θ．因为θ∈，所以2θ∈(0，π)，所以当sin2θ＝1，即θ＝时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是．设计意图：三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角恒等变换来解决，此题反应三角公式的解决实际问题的应用．方法总结：此类7 实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角函数模型结合公式解决实际的优化问题．四、课堂练习1．下列各式中，值为的是(　　)．A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°2．若sin＝，则cosα等于(　　)．A．－B．－C．D．3．若sin2α＝－，则cos2的值为(　　)．A．－B．－C．D．4．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．5．＝________．参考答案：1．答案　B解析　2sin15°cos15°＝sin30°＝；cos215°－sin215°＝cos30°＝；2sin215°＝1－cos30°＝1－；sin215°＋cos215°＝1，故选B．2．答案　C7 解析　因为sin＝，所以cosα＝1－2sin2＝1－2×2＝．3．答案　D解析　cos2＝＝＝＝＝．4．答案　解析　∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα．由α∈知sinα≠0，∴cosα＝－，∴α＝，∴tan2α＝tan＝tan＝．5.答案　2解析　原式＝＝＝2．五、课堂小结1.牢记3组公式：(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝，其中(1)、(2)中α为任意角；(3)中α、2α均不等于＋kπ，k∈Z．2.注意公式的变形和转化思想的应用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos2α＝2sin2α，④sin2α＝．六、布置作业教材第155页练习题．7