《二倍角公式》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

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二倍角公式第四章三角恒等变换

11．理解二倍角公式与两角和公式之间的联系，能利用两角和公式探索二倍角公式及相关变形式，并能进行简单的应用；2．让学生经历二倍角公式的推导及变形过程，获得解决与倍角相关的化简、求值、证明等问题的技能；3．在公式生成与应用过程中，体会由一般到特殊、由特殊到一般的数学思想，理解二倍角中“倍”的含义，了解研究问题的过程与方法．以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式．二倍角的理解及其灵活运用．

2相关著名历史人物两角和的三角函数公式比鲁尼(973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．

3回顾两角和的正弦、余弦和正切公式，若将公式中的β换成α，会得到什么结果？两角和的正弦公式：将公式中的β换成α可得：二倍角公式同理可得二倍角的余弦和正切公式化简即得二倍角正弦公式：注意：二倍角正切公式中的α、2α均不等于　＋kπ，k∈Z．

4根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cosα表示cos2α？如何通过恒等变形解决上述问题？分步第1步，将公式sin2α＋cos2α＝1变形为：sin2α＝1-cos2α，第2步，将其代入二倍角余弦公式可得cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1，即得：cos2α＝2cos2α－1cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α．还可以将公式sin2α＋cos2α＝1变形为：cos2α＝1-sin2α，再将其代入二倍角余弦公式可得：二倍角余弦公式三种形式cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＝2cos2α－1cos2α＝1－2sin2α

5我们继续思考以下几个问题该怎么解决？（1）tan2α公式还可以怎么推导？（2）倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？（3）sin3α用二倍角公式展开是什么？可以利用二倍角的正弦和余弦相除得到二倍角的正切公式，即：，分子分母同除以α得：　．倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为　的二倍，3α作为　的二倍，α＋β作为的二倍等情况．．

6余弦的二倍角公式还有哪些变形？由cos2α＝2cos2α－1升幂变形得:1＋cos2α＝2cos2α升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1－cos2α＝2sin2α观察一下二倍角余弦公式中项的次数，可以做怎样变形？相应的，我们也可对其作降幂变形：由cos2α＝1－2sin2α升幂变形得：1－cos2α＝2sin2α由cos2α＝2cos2α－1降幂变形得：由cos2α＝1－2sin2α降幂变形得：降幂公式：

7公式巩固你能用二倍角公式解决以下问题吗?（2）计算cos215°－sin215°结果等于________．（3）已知α为第三象限角，，则tan2α＝________．解：因为α为第三象限角，,所以，，．解：．解：．

8(先求出sinα的值)(二倍角公式直接运用)如何利用二倍角公式求值？已知角α是第二象限角，，求sin2α，cos2α和tan2α的值.解：已知角α是第二象限角，所以sinα＞0．由二倍角公式，有，同理：，．

9(寻找角与角之间关系)(二倍角余弦公式)(诱导公式)认真观察题目，已知角和所求角有什么关系？已知，则sin2α的值为多少？解：

10在ΔABC中，已知AB=AC=2BC，求角A的正弦值．怎样利用题中所给出的三角形边之间的关系？(找出边角关系)解：如图，过点A作BC的垂线，垂足为D．设，则．因为，所以．因为，所以．于是．故．(利用二倍角公式)

11如图，要把以点O为圆心，半径为R的半圆形木料截成矩形ABCD，应怎么样截取，才能使矩形ABCD的面积最大？(设变量)(根据角的范围，利用三角函数的有界性求出最值)(用变量表示矩形长和宽)解:连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，因为θ∈(0，)，所以2θ∈(0，π)，所以当sin2θ＝1，即θ＝时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是．则AB＝Rsinθ，OA＝Rcosθ，且θ∈(0，)．因为A，D关于点O对称，所以AD＝2OA＝2Rcosθ．设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝2Rcosθ·Rsinθ＝sin2θ．引入什么变量来表示矩形ABCD的面积？(写出表达式)

12下列各式中，值为的是(　　)A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°解：2sin15°cos15°＝sin30°＝；cos215°－sin215°＝cos30°＝；2sin215°＝1－cos30°＝1－；sin215°＋cos215°＝1，故选B.B

13解：．故选C．若则．C

14解：故选D．若，则值为（）D

15解：，．故答案为：．设，则的值是________．由知，

161.牢记3组公式：2.注意公式的变形和转化思想的应用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α．降幂公式：；．其中(1)(2)中为任意角；(3)中，2均不等于．

17二倍角公式：公式变形：二倍角公式结构框图注意：二倍角正切公式中的α、2α均不等于　＋kπ，k∈Z．降幂公式：；．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α．

18教材第155页练习题．

19谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵意见！

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