《周期变化》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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第一章三角函数1.1周期变化◆教学目标1.通过生活实例及部分呈周期变化的函数，得到周期函数及周期、最小正周期的概念，并能认识三角函数是刻画周期现象的重要模型．2.对周期变化的函数有初步的了解与认识，能够用数学刻画生活中的周期变化，用数学的观点和从数学的角度认识实际问题．◆教学重难点重点：周期函数及周期的概念．　　难点：识别身边的周期现象，并用周期函数刻画周期现象．◆教学过程一、新课导入“日升日落，四季更迭，东去春来，草木荣枯，”这些现象有什么共同特征呢？（重复出现、循环往复；周而复始，始而复周的周期变化）二、新知探究问题1：在日常生活或是自然界中，你感受到了哪些周期变化的实例？请举例说明，并交流周期变化有哪些特征？答案：海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这是一种周期变化；钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期变化．周期变化是每隔一段时间就重复出现的变化．问题２：我们怎样从数学的角度刻画周期变化呢？ 例１：讨论函数f(x)=(-1)[x]的图象和性质．追问１：函数y=[x]是怎样的函数？答案：对于每一个实数x，其函数值y=[x]是不超过x的最大整数，它不是偶数就是奇数．追问２：做出函数f(x)=(-1)[x]的图象：答案：根据初中学习的幕运算，可以推出：当[x]是偶数时，函数f(x)=(-1)[x]的值是1；当[x]是奇数时，函数f(x)=(-1)[x]的值是-1．作出函数图象如下：追问３：根据图象，讨论函数f(x)=(-1)[x]的性质．答案：显然，对于任意一个实数x，每增加2的整数倍，其函数值保持不变，也就是说，在相同的“间隔”下，这种变化是重复进行的，所以函数f(x)=(-1)[x]变化是周期性的．例2：讨论函数f(x)=x-[x]，画出它的图象，并观察其性质．追问４：作出函数f(x)=x-[x]的图象．答案：函数f(x)=x-[x]的意思是一个数减去它的整数部分，只保留其小数部分，清楚这个意思，就很容易画出它的图象了．追问５：从图中得到函数f(x)=x-[x]的哪些性质?答案：观察图像，可以得到，对任意一个实数x，每增加1的整数倍，其函数值保持不变，也就是说，在相同的“间隔”下，这种变化是重复进行的，所以该函数的变化也是一种周期变化．问题３：函数f(x)=x-[x]与函数f(x)=(-1)[x]的共同特点是什么？答案：都具有周期变化的特点．（都为周期函数） 【概念提炼】周期函数：一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．问题４：如何理解概念中的“任意”？答案：周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)，不能说T是y=f(x)的周期．追问１：周期函数的周期是否只有一个?答案：不是，比如对于例1中的函数f(x)=(-1)[x]来说，任何一个非零偶数都是它的周期．对于例2中的函数f(x)=x-[x]来说，任何一个非零整数都是它的周期．周期函数定义的实质：存在一个非零常数T，对定义域内的任意x，均有f(x+kT)=f(x)，其中k∈Z，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．追问２：既然周期不唯一，如何选取某一个周期作为代表来表征函数的周期呢？【概念提炼】最小正周期：如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期．若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期．【概念辨析】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若函数f(x)满足f(0)=f(5)=f(10)，则它的周期T=5．(　　)(2)若函数f(x)的周期T=5，则f(-5)=f(0)=f(5)．(　　)(3)若函数f(x)为R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，则f(2020)=0．(　　)答案(1)×　(2)√　(3)√三、应用举例例3.讨论函数y=7+-1n，n∈N是否为周期函数，如果是，请指出它的周期．分析：当给n∈N赋值，可以发现规律．　　解：当n∈N时，该函数的取值为8，6，8，6，8，… 可见它是周期函数，且周期T=2．例4.若对任意x∈R，函数f(x)满足f(x+2019)=-f(x+2020)，求函数f(x)的周期．分析：周期函数的代数特点f(x+T)=f(x)，如何将f(x+2019)=-f(x+2020)的结构转化为f(x+b)=f(x)？处理障碍1：负号变正；处理障碍2：找到常数T．解析：由f(x+2019)=-f(x+2020)得f(x+2019)=-f(x+2019+1)令x+2019=t，即f(t+1)=-f(t)所以f(t+2)=f(t)，即函数f(x)的周期是2．【变式】若对任意x∈R，函数f(x)满足fx+2=-1fx，求函数f(x)的周期．答案：由f(x+2)=1fx，得fx+4=-1fx+2=f(x)，即fx+4=f(x).设计意图：通过例题1和变式训练，进一步熟悉周期函数的代数结构特点，并能从题干所给条件转化为周期函数需具备的结构.思考总结：函数周期性的常用结论（1）若对任意x∈R，函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)，则函数f(x)的周期T=？（2）若对任意x∈R，函数f(x)满足fx+a=-f(x)，则函数f(x)的周期T=？（3）若对任意x∈R，函数f(x)满足f(x+a)=1f(x)，则函数f(x)的周期T=？（4）若对任意x∈R，函数f(x)满足fx+a=-1f(x)，则函数f(x)的周期T=？答案：四个思考题答案均为T=2aa＞0．（请三位学生推导完整过程并板（2）、（3）、（4），最后教师总结）例５．设定义在R上的数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)=2x-x2，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=　　　．解：由f(x+2)=f(x)，得函数f(x)的周期T=2，又当x∈[0，2)时，f(x)=2x-x2，所以f(0)=0，f(1)=1， 所以f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2018)=0，f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2017)=1．故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=1009．反思：函数周期性利用——由局部性质得到整体性质．【变式】设定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=f(3)，且f(x)为偶函数，若f(1)＜1，f5=2a-3a+1，求实数a的取值范围．解析：由f(x)为定义在R上的周期为3的偶函数得f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1)．由f(1)＜1，f5=2a-3a+1，得f5=f1=2a-3a+1＜1，解得-1＜a＜4．四、课堂练习1.若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(8)-f(4)的值为(　　)．A.-1B.1C.-2D.22.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2)，当x∈(0，2]时，f(x)=2x+log2x，则f(2019)=(　　)．A.5B.-5C.2D.-23.十字路口处红绿灯亮灭的情况如下:1min亮绿灯，接着10s亮黄灯，再接着1min亮红灯，10s亮黄灯，1min亮绿灯……刚开始亮绿灯时，某人过路口，10min后又回到此路口，此时应该亮　　　　灯. 4.已知f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1-x)，则f(-2.5)=　　　　．参考答案：1．由于f(x)的周期为5，且为奇函数，所以f(8)=f(5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2)=-f(2)=-2，f(4)=f(5-1)=f(-1)=-f(1)=-1，所以f(8)-f(4)=-2-(-1)=-1．答案：A．2．由f(x)=-f(x+2)，得f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以 f(2019)=f(504×4+3)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-(2+0)=-2．答案：D．３．红绿灯的亮灭以140s为一个周期，600=140×4+40，所以是绿灯．答案：绿灯．４．f(-2.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5．答案0.5．五、课堂小结　　1.周期函数一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期．知识脉络：六、布置作业教材第3页练习第1，2，3题；第4页A组第2，3题，B组第1题．