《周期变化》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

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第一章三角函数周期变化

11.通过生活实例及部分呈周期变化的函数，得到周期函数及周期、最小正周期的概念，并能认识三角函数是刻画周期现象的重要模型．2.对周期变化的函数有初步的了解与认识，能够用数学刻画生活中的周期变化，用数学的观点和从数学的角度认识实际问题．周期函数及周期的概念．识别身边的周期现象，并用周期函数刻画周期现象．

2“东升西落”“昼夜循环”“草枯草荣”“冬去春来”周而复始，始而复周的周期变化

3在日常生活或是自然界中，你感受到了哪些周期变化的实例？请举例说明，并交流周期变化有哪些特征？海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这是一种周期变化；钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期变化，周期变化是每隔一段时间就重复出现的变化．

4我们怎样从数学的角度刻画周期变化呢？对于每一个实数x，其函数值y=[x]是不超过x的最大整数，它不是偶数就是奇数．讨论函数f(x)=(-1)[x]的图象和性质．函数y=[x]是怎样的函数？作出函数f(x)=(-1)[x]的图象4321-1-2-3-41-1Oxy当[x]为偶数时，函数f(x)=(-1)[x]=1；当[x]为奇数时，函数f(x)=(-1)[x]=-1.

5根据图象，讨论函数f(x)=(-1)[x]的性质．显然，对于任意一个实数x，每增加2的整数倍，其函数值保持不变，也就是说，在相同的“间隔”下，这种变化是重复进行的，所以函数f(x)=(-1)[x]变化是周期性的．

64321-1-2-3-41-1从图中得到函数f(x)=x-[x]的哪些性质?讨论函数f(x)=x-[x]，画出它的图象，并观察其性质.观察图像，可以得到，对任意一个实数x，每增加1的整数倍，其函数值保持不变，也就是说，在相同的“间隔”下，这种变化是重复进行的，所以该函数的变化也是一种周期变化．函数f(x)=x-[x]的意思是一个数减去它的整数部分，只保留其小数部分，清楚这个意思，就很容易画出它的图象了．Oxy

7函数f(x)=x-[x]与函数f(x)=(-1)[x]的共同特点是什么？都具有周期变化的特点．定义一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期.

8如何理解概念中的“任意”？周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)，不能说T是y=f(x)的周期．周期函数的周期是否只有一个?不是，比如对于例1中的函数f(x)=(-1)[x]来说，任何一个非零偶数都是它的周期．对于例2中的函数f(x)=x-[x]来说，任何一个非零整数都是它的周期．周期函数定义的实质：存在一个非零常数T，对定义域内的任意x，均有f(x+kT)=f(x)，其中k∈Z，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．

9既然周期不唯一，如何选取某一个周期作为代表来表征函数的周期呢？定义如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期.

10判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若函数f(x)满足f(0)=f(5)=f(10)，则它的周期T=5．()(2)若函数f(x)的周期T=5，则f(-5)=f(0)=f(5)．()(3)若函数f(x)为R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，则f(2020)=0．()概念辨析(1)×(2)√(3)√

11讨论函数是否为周期函数，如果是，请指出它的周期．解：当时，该函数的取值为8，6，8，6，8，…可见它是周期函数，且周期T=2．当给赋值，可以发现规律．

12若对任意x∈R，函数f(x)满足f(x+2019)=-f(x+2020)，求函数f(x)的周期．解析：由f(x+2019)=-f(x+2020)，得f(x+2019)=-f(x+2019+1)令x+2019=t，即f(t+1)=-f(t)，所以f(t+2)=f(t)，即函数f(x)的周期是2．如何将f(x+2019)=-f(x+2020)形式转化为f(x+T)=f(x)的结构？

13若对任意x∈R，函数f(x)满足，求函数f(x)的周期．由，得，即．（1）若对任意，函数满足，则函数的周期T=？（2）若对任意，函数满足，则函数的周期T=？（3）若对任意，函数满足，则函数的周期T=？（4）若对任意，函数满足，则函数的周期T=？

14设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)=2x-x2，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=___________．由f(x+2)=f(x)，得函数f(x)的周期T=2．又当x∈[0，2)时，f(x)=2x-x2，所以f(0)=0，f(1)=1，所以f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2018)=0，f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2017)=1．故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=1009．由局部到整体如何由x∈[0，2)扩充到整个定义域的函数值？

15设定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=f(3)，且f(x)为偶函数，若f(1)＜1，，求实数a的取值范围.解：由f(x)为定义在R上的周期为3的偶函数，得f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1)．由f(1)＜1，，得．解得-1＜a＜4．

16由于f(x)的周期由于f(x)的周期为5，且为奇函数，所以f(8)=f(5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2)=-f(2)=-2，f(4)=f(5-1)=f(-1)=-f(1)=-1，所以f(8)-f(4)=-2-(-1)=-1．答案：A．为5，且为奇函数，所以f(8)=f(5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2)=-f(2)=-2，f(4)=f(5-1)=f(-1)=-f(1)=-1，所以f(8)-f(4)=-2-(-1)=-1．答案：A．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(8)-f(4)的值为(　　)A.-1B.1C.-2D.2解：由于f(x)的周期为5，且为奇函数，所以f(8)=f(5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2)=-f(2)=-2，f(4)=f(5-1)=f(-1)=-f(1)=-1，所以f(8)-f(4)=-2-(-1)=-1．答案：A．A

17由f(x)=-f(x+2)，得f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2019)=f(504×4+3)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-(2+0)=-2．答案：D．若定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2)，当x∈(0，2]时，f(x)=2x+x，则f(2019)=(　　)A.5B.-5C.2D.-2解：由f(x)=-f(x+2)，得f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2019)=f(504×4+3)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-(2+0)=-2．答案：D．D

18十字路口处红绿灯亮灭的情况如下:1min亮绿灯，接着10s亮黄灯，再接着1min亮红灯，10s亮黄灯，1min亮绿灯……刚开始亮绿灯时，某人过路口，10min后又回到此路口，此时应该亮灯．红绿灯的亮灭以140s为一个周期，600=140×4+40，所以是绿灯．答案：绿灯．绿

19已知f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1-x)，则f(-2.5)=．解：f(-2.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5．答案0.5．0.5

20一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期.周期函数最小正周期如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.

21周期函数、最小正周期的概念周期变化求周期函数的最小正周期利用函数的周期性求值

22教材第3页练习第1，2，3题；第4页A组第2，3题，B组第1题．

23谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵意见！

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