《三角函数的叠加及其应用》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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第四章三角恒等变换4.2.3三角函数的叠加及其应用◆教学目标1．通过两角和与差的三角函数公式，可以进行三角函数的化简.2．通过辅助角公式化简含有未知角三角函数式.◆教学目标教学重点：利用两角和与差的三角函数公式，将三角函数式化简成Asin(ωx+φ)的形式．教学难点：对辅助角公式应用的理解．◆教学过程◆一、新课导入温故知新：同学们，我们上节课学习了两角和与差的三角函数公式，一起回顾一下.答案：两角和与差的三角函数公式              sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβtanα±β=tanα±tanβ1∓tanαtanβ想一想：我们之前学习三角函数的时候，常用Asin(ωx+φ)的形式，我们能否把两角和与差的三角函数公式把α，β的三角函数式转化成α±β的三角函数式呢？这节课我们一起来探讨一下.设计意图：学生上节课刚刚学习了两角和与差的三角函数公式，但是应用还是停留在计算三角函数值的基础上，这节课的核心是把公式的用法进一步拓展到形如Asin(ωx+φ)三角函数的化简上，是建立两者之间的桥梁．二、新知探究问题1：请同学们化简以下式子，并在小组内交流你们用的是什么方法？（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°（2）12cosx+32sinx分析：（1）中通过观察式子的形式，不难发现和Sα-β 展开后极其相似，故需逆向还原回去达到化简的目的；（2）中的两个系数12和32存在隐藏关系，故可以将它们化为三角函数的形式，然后用（1）中思路化简.答案：（1）由公式Sα-β可得sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin72°-42°=sin30°=12（2）可以将12和32分别看成sinπ6和cosπ6.由公式Sα-β可得12cosx+32sinx=sinπ6cosx+cosπ6sinx=sin⁡(π6+x)在（2）中，12和32都比较特殊，那如果面对一般的系数，还能用类似的方法化简吗？问题2：将acosx+bsinx化简成Asin(ωx+φ)的形式.答案：问题的关键在于如何把系数化成三角函数的形式，这时候就要引入辅助角公式来协助解题了.答案：一般地，当a，b不同时为0时，acosx+bsinx=a2+b2aa2+b2cosx+ba2+b2cosx根据Sα+β，引入辅助角，使得aa2+b2=cosφ，ba2+b2=sinφ所以acosx+bsinx=a2+b2sinx+φ（a，b不同时为0）其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sinφ和cosφ的值确定，也就是由tanφ=ba来决定.设计意图：本环节的重点是三角函数式的化简，其中特别留意辅助角公式的使用，我们在给学生讲述这个公式时，可以给学生带入一些常见的a，b比值让他们更好地理解，比如3:1或1:1，让他们体会这个变换的关键点.三、应用举例例1：求fx=sinx+3cosx的最大值和最小正周期.分析：式子中两个系数的比值满足3:1，故可以通过提取公因式2，使式子中出现32和12.解： fx=212sinx+32cosx=2cosπ3sinx+sinπ3cosx=2sinx+π3显然fx的最大值为2，最小正周期T=2π例2：求fx=12sinx+5cosx的最值和最小正周期.解：fx=131213sinx+513cosx=13cosφsinx+sinφcosx=13sinx+φ其中tanφ=512显然的最大值是13，最小值是-13，最小正周期T=2π四、课堂练习1.求函数fx=sin2x-cos2x的最大值和最小正周期2.求函数fx=cosx2-π6-sinx2-π6的单调递增区间.参考答案：1.解：fx=sin2x-cos2x=222sin2x-22cos2x=2cosπ4sin2x-sinπ4cos2x=2sinx2-π4显然，函数fx的最大值为2，最小正周期T=4π2.解：fx=222cosx2-π6-22sinx2-π6=2sinπ4cosx2-π6-cosπ4sinx2-π6=2sinπ4-x2-π6 =2sin5π12-x2可得函数fx的单调递增区间为11π6+4kπ，-π6+4kπk∈Z五、课堂小结我们要灵活运用两角和与差的三角函数公式，把α，β的三角函数式转化成α±β的三角函数式.结合辅助角公式能够帮助我们更好地解决这个问题.acosx+bsinx=a2+b2sinx+φcosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2，tanφ=ba六、布置作业教材P149练习第1、3题，P152B组第9题．