《任意角》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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第一章三角函数《任意角》教案◆教学目标1.通过实例理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，能判定正角、负角和零角；2.会建立平面直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同的角的表示方法；3.认识和领悟数学概念不断拓展的方法和意义，体会坐标系在角的研究中的重要作用．◆教学重难点◆重点：了解任意角的概念，初步理解正角、零角、负角、象限角、终边相同的角的概念，初步学会终边相同的角的表示方法．难点：终边相同的角的集合的表示方法．◆教学过程一、新课导入回顾：初中学过角的概念是什么，角的范围是多大?答案：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫角.角的范围：0°～360°．我们以前所学的角都在0°～360°的范围内，那么有超出0°～360°的角吗？设计意图：通过复习初中角的概念，引入本节新课．建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力．二、新知探究问题1：（1）跳水运动员身体在空中旋转的周数如何用数学语言描述？（2）如果你的手表快了5分钟，该如何校准？校准完成后，分针、秒针各转了多少度？（3）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手如何转动？转动的角度如何用数学语言描述？ 答案：（1）跳水中有前空翻转体540°，后空翻转体720°，这些角的度数都大于360°，而且方向不相同；（2）通过校准手表我们发现时针和分针都进行了逆时针旋转，旋转的度数也不同，分针按逆时针方向旋转了30°，秒针按逆时针方向旋转了5圈．（3）拧紧螺丝时，需要将扳手顺时针方向旋转，如顺时针转2圈，即顺时针旋转720°．拧松螺丝时，需要将扳手逆时针方向旋转，如逆时针转2圈，即逆时针旋转720°．在许多实际问题中，都存在着大于360°的角，和朝两个相反方向旋转的角，为了描述这些现象，需要对角的概念进行推广．思考：我们如何表示那些大于360°的角，和朝两个相反方向旋转的角呢？角的概念：平面内一条射线OA绕着端点O按照箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α．其中，点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边．在数学上规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角．这样，我们就把角的概念推广到了任意角．问题2：学习了任意角的概念，同学们能画出下列各角吗？正角α＝210°，负角β＝－150°，负角γ＝－660°．答案：如图所示：设计意图：通过画正角、负角，让学生进一步理解任意角的概念，提高学生分析问题、概括能力． 问题3：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？答案：以角的终边（除端点外）在平面直角坐标系的位置对角分类：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．【概念巩固】1.指出它们分别是第几象限角？405°，－200°，－510°，－50°，310°答案：2.锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角么？答案：锐角一定是第一象限角，但是第一象限角不一定是锐角，比如405°，－300°都是第一象限角，但却不是锐角．问题4：相等的角终边一定相同吗？终边相同的角一定相等吗？如果不相等，他们的度数有什么关系呢？答案：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等，比如，刚刚我们画的－50°，310°，这两个角的终边相同，但是却不相等．－50°+360°=310°，即这两个角的度数相差360°． 追问1：终边相同的角的度数都相差360°吗？答案：－50°=310°－360°；670°=－50°＋2×360°=310°＋360°．所以终边相同的两个角相差360°的整数倍．追问2：与－50°终边相同的角有多少个，该如何表示呢？答案：只要与-50°相差360°的整数倍的角，都与－50°终边相同，所以与－50°终边相同的角有无数个．因此，与－50°终边相同的角可以表示为：310°+k·360°，其中k为整数，当k=-1时，表示-50°；当k=0时，表示310°；当k=1时，表示670°……．与－50°终边相同的角用集合可以表示为：S=ββ=310°+k·360°，k∈Z．总结：一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=ββ=α+k·360°，k∈Z，即任何一个与角α终边相同的角都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 设计意图：通过思考，让学生观察终边相同的角之间的关系，提高观察、概括能力．三、应用举例例1：判断下列各角是第几象限角．（1）－60°；（2）945°；（3）－950°12′．解：（1）因为－60°角的终边在第四象限，所以它是第四象限角；（2）因为945°＝225°＋2×360°，所以945°与225°角的终边相同，而225°角的终边在第三象限，所以945°角是第三象限角；（3）因为－950°12′＝129°48′＋（－3）×360°，所以－950°12′与129°48′角的终边相同，而129°48′角的终边在第二象限，所以－950°12′角是第二象限角．例2：写出终边在平面直角坐标系y轴上的角的集合．解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（如图）．因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k•360°，k∈Z}．而所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k•360°，k∈Z}．于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋2k•180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋180°＋2k•180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k•180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋（2k＋1）180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n•180°，n∈Z}例3：写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合－360°≤β＜720°的元素β写出来．解：S＝{β|β＝60°＋k•360°，k∈Z}．S中适合－360°≤β＜720°的元素应满足－360°≤60°＋k•360°＜720°； 解得：76≤k<116，又k∈Z，所以k＝－1，0，1；所求元素分别为：60°＋（－1）×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°．设计意图：通过例题的讲解让学生进一步理解终边相同的角，提高学生解决与分析问题的能力．思考：已知角α为锐角，那么角α的终边与角α＋π，α－π，π－α终边的几何关系分别是什么？如果角α是任意角呢？试画图说明．答案：关于原点对称关于y轴对称结论不变四、课堂练习1.已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)A．A＝B＝C　　　B．A⊆CC．A∩C＝BD．B∪C⊆C2.下列各个角中与2019°终边相同的是(　　) A．－149°　　　B．679°C．319°D．219°3.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.4.写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．参考答案：1.由已知得B⫋C，所以B∪C＝C，故D正确．2.因为2019°＝360°×5＋219°，所以与2019°终边相同的角是219°.3.(1)与－120°终边相同的角相差360°的整数倍．因为－120°＋360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限角．(2)与640°终边相同的角相差360°的整数倍．因为640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限角．4.落在第二象限时，表示为k•360°＋135°.落在第四象限时，表示为k•360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k•180°＋135°，k∈Z}．设计意图：通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。五、课堂小结 六、布置作业教材第7、8页，练习第1、2、3题.