高考　三角恒等变形 详解.doc

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　三角恒等变形A组　基础必做1．(2015·洛阳统考)已知sin2α＝，则cos2α－＝(　　)A．－B．－C.D.解析　∵cos2＝＝，∴cos2＝。答案　D2．(2016·湘潭模拟)设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°·cos13°，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a>b>cB．a0，所以sin＝ ＝＝，所以sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝。答案　9．方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝________。解析　依题意，得tanα＋tanβ＝－3a<－6，tanαtanβ＝3a＋1>7，所以，α，β∈(－，0)，所以α＋β∈(－π，0)，又tan(α＋β)＝＝＝1，所以α＋β＝－。答案　－10．(2015·广东卷)已知tanα＝2。(1)求tan的值；(2)求的值。解　(1)tan＝ ＝＝＝－3。(2)＝＝＝＝＝1。11．已知，0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝。(1)求sin2β的值；(2)求cos的值。解　(1)解法一：∵cos＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，∴cosβ＋sinβ＝，∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－。解法二：sin2β＝cos＝2cos2－1＝－。(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<π，<α＋β<， ∴sin>0，cos(α＋β)<0。∵cos＝，sin(α＋β)＝，∴sin＝，cos(α＋β)＝－。∴cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝。B组　培优演练1．定义运算＝ad－bc，若cosα＝，＝，0<β<α<，则β等于(　　)A.B.C.D.解析　依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cosα＝，∴sinα＝， 于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，故β＝，选D。答案　D2．(2015·北京市朝阳区高三上学期期末考试)在△ABC中，B＝，则sinA·sinC的最大值是(　　)A.B.C.D.解析　sinAsinC＝sinAsin(π－A－B)＝sinAsin＝sinA＝sin2A－cos2A＋＝sin＋。因为0＜A<，所以－<2A－<。所以当2A－＝时，sinAsinC取得最大值是。答案　D3．设f(x)＝＋sinx＋a2sin的最大值为＋3，则常数a＝________。解析　f(x)＝＋sinx＋a2sinx＋ ＝cosx＋sinx＋a2sin＝sin＋a2sin＝(＋a2)sin。依题意有＋a2＝＋3，∴a＝±。答案　±4．已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝。(1)求sinα的值；(2)求β的值。解　(1)∵tan＝，∴tanα＝＝＝，由解得sinα＝sinα＝－舍去。(2)由(1)知cosα＝＝＝，又0<α<<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝， ∴sin(β－α)＝＝＝，于是sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝×＋×＝。又β∈，∴β＝。