三角恒等变形讲义

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1、高一必修四第三章三角恒等变换专题讲义三角恒等变换专题讲义李霞知识点1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.两角和与差的余弦公式注：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后3.会逆用及其变形2.两角和与差的正弦注：1.公式中两边的符号相同2.式子右边异名三角函数相乘再加减3.会逆用及其变形3.两角和与差的正切公式tan(α+β)=tan(α-β)=注：1.两角和时，上加下减2.两角差时，上减下加3.会逆用及其变形考点1：求值问题【例】求下列各式的值（1）cos75°10高一必修四第三章三角恒等变换专题讲义

2、（1）cos75°cos15°－sin255°sin15°(3）sin47°－sin47°cos30cos17°（4）1+tan75°1－tan75°（5）tan20°+tan40°+tan20°tan40°考点2：化简问题【例】化简下列各式(1)－sinx+cosx(2)sinx－cosx知识点2：两倍角的正弦、余弦和正切公式1.两倍角的正弦公式10高一必修四第三章三角恒等变换专题讲义Sin2α=2sinαcosα2.两倍角的余弦公式Cos2α=.cos²α-sin²α=2cos²α－1=1－2sin²α3.两倍角的正切公式tan2α=注：对以上三个公式

3、会逆用及其变形考点：求值问题【例1】已知：sinα－cosα=，α，则sin2α=【例2】计算求值－知识点3：简单的三角恒变形1.半角公式（1）（2）（3）2.和差化积（1）（2）（3）（4）3.积化和差（1）10高一必修四第三章三角恒等变换专题讲义（2）（3）（4）4.辅助角公式辅助角公式：(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用考点1：化简求值问题（1）升幂化简【例1】若，化简【例2】化简：【例3】α是第三象限角，化简【例4】化简（2）降幂化简【例1】求函数的最小值10高一必修四第三章三角恒等变换专题讲义【例2】

4、函数最小正周期为【例3】函数的单调递增区间为___________（3）切化弦【例1】求sin50°（1+tan10°）的值【例2】（tan10°－）（4）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如，，，，等）【例1】已知，，求的值【例2】已知，且，，求的值10高一必修四第三章三角恒等变换专题讲义【例3】已知：锐角α和β，满足sin（α－β）=，sinα=，求sinβ的值【例4】已知：tan（α+）=，tan（β－）=，求tan（α＋β）的值（4）辅助角【例1】已知函数（1）求函数的最小正周期及取得最大值

5、时x的取值集合（2）求函数图像的对称轴方程【例2】已知函数，且，。（1）求的单调递减区间（2）函数的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数10高一必修四第三章三角恒等变换专题讲义【例3】已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到【例4】已知函数。（1）求的最小正周期；（2）求函数的最大值，并求使取得最大值的x的集合。（6）关于的关系的推广应用（由于故知道，必可推出）【例】已知。（7）利用公式：及“托底”方法求

6、值【例1】已知：tg=-3，求sincos-cos2的值10高一必修四第三章三角恒等变换专题讲义【例2】已知：tg=3，求的值考点2：证明问题证三角恒等式时，先观察左右两边：①是否同名函数？如果不是同名函数，一般保留正弦和余弦，把其它的变为正弦和余弦（异名化同名）②是否同角函数？如果不同角，就要考虑利用倍角、半角公式，（异角化同角）；③次数是否相同？如果两边不同次，就要注意是否有必要“升次”或“降次”；④是繁还是简？一般从较繁的一边往较简的一边变（化繁为简），如果两边都繁，则变两边（左右归一），⑤有时还需要用三角函数值来替换数字，根据角来对三角函数加以配凑

7、和拆项（1）异名化同名【例1】求证：【例2】求证=【例3】求证：10高一必修四第三章三角恒等变换专题讲义【例4】求证:tanA+cotA=.【例5】求证：（2）异角化同角【例1】求证：【例2】求证：（3）降次【例1】求证【例2】求证（4）化繁为简10高一必修四第三章三角恒等变换专题讲义【例1】求证：【例2】求证：（5）角的配凑【例1求证：【例2】求证：cos20°cos40°cos80°=10