2函数是y,且沏是函数N(x)的一个零点，则常值函数x=x()也是方程的一个解.在求解变量可分离的方程时，注意不要遗漏了这类常值函数解.如果在积分所得的通解表达式里，未知函数包含在对数中，应尽可能通过恒等变形把未知函数从对数中“解脱”出来.(2)齐次微分方程齐次微分方程的标准形式是—=/(—)>作变换u=—<=>y=MX,由于dy=wdx+xdn,drxx代入方程可得〃+x也=/(〃)=x电■=/(〃)-〃，这是关于“与X的可分离变量方程.当dxdr/(a)-”wO时，分离变量并积分可得［―^―=ln|x|+C.把“换回二，即得原方程的J/(«)-«X通解.同样，若存在“=〃()是/(〃)-〃=0的根，则y=也是原方程的一个解.(3)一阶线性微分方程一阶线性方程的标准形式是y'+P(x)y=Q(x),其中P(x)与。(x)是已知函数.当。")三0时，称为一阶齐次线性方程，否则称为一阶非齐次线性方程.一阶线性方程的通解为y=Ce-尸曲J0(x)e，""dx.注意，通解公式中的第一项CeT。"忌是对应齐次线性方程y'+P(x)y=0的通解，通解公式中的第二项e-fp(x)dtjQ(x)e)"Mth是非齐次线性方程的一个特解.一阶线性方程通解的这种结构是所有线性微分方程通解的共同特点.除了直接用上述通解公式求解外，还可用积分因子法求解.即用函数(称为方程的积分因子)同乘方程两端，按乘积的导数公式有(ye,p(x)0时，a是比Ar较高阶的无穷小，y(0)=乃，则y(l)=()nit(A)27V.(B)乃.(C).(D)兀e"・【例2】设函数y(x)连续，求解方程：fy(s)ds+'y(x)=%2.【解】实质上y(x)可导.求导得y(x)+；y[x)=2x又原方程中令x=0得y(0)=0.
3求解初值问题I；；)"；4"两边乘〃=en&=e2,得(ye2')'=4xe2、积分得ye2"=j4xe2'dr+C=2xe2r-e2j+C由y(0)=0nC=l.y=2x-l+e-2x【例3】设函数/(x)在[1,+oo)连续，且满足1/2⑺山=’卜2/(幻一/⑴].求函数f(x).【解】实质上/(x)可导，求导得/2(x)=g[2犷'(x)+x2/'(x)]原方程中令x=l,得0=0自然成立，不必另加条件.求解方程3y2=2xy+fy，(其中y=/(x))得y=/(x)=I7c7,。为V常数.§3二阶常系数线性微分方程及其解法二阶常系数线性微分方程的标准形式为y"+ay'+by=/(x),其中a,b是已知常数，右端项/(x)是已知函数.当/(x)三0时，方程称为齐次的，否则，方程称为非齐次的.引入记号L[y}=y"+ay'+by，则方程y*+ay'+by=/(x)可写成L[y]=/(x).二阶常系数线性微分方程的解满足叠加原理：若%是方程L[y[=/(x)的一个解，丫2是方程L[y2]=f2(x)的一个解,A,B是两个常数，则Ay1+8以就是方程L[y]=A£(x)+Bf2(x)的一个解.二阶常系数线性微分方程通解结构定理：方程L[y]=f(x)的通解是y=Ciy1+C2y2+y,-其中X和竺是对应齐次方程LM=0两个线性无关的解，即m0和LUdm0,且不存在常数k使得力三62,y*是非齐次方程的一个解，即Uy']=/(x),而C1,C2是两个任意常数.(1)齐次方程两个线性无关解的求法：二次方程无+4/1+6=0称为二阶常数系线性微分方
4程了+缈'+刀=/(x)的特征方程，它的两个根4,4称为特征根.按照特征根的不同情况可得齐次方程V+ay'+b=O两个线性无关的解，如下表.特征根线性无关二解实根4工/UeSV实根4=4e%xe不复根。±圾(/>0)eaxcospx,eaxsinfix(2)非齐次方程一个特解的求法：当/(x)是多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和与乘积时、可根据/(x)的形式选取适当形式的特解，然后代入非齐次方程并确定特解中的待定系数，即可求得所需的一个特解.若/(x)=%(x)e",其中&(x)是一个x的〃，次多项式，r是一个实数，则可按照下表选取特解：(其中Q,“(x)是系数待定的机次多项式)f(x)r与特征根4,4的关系特解y*的形式匕(x)e”rW4，r#4。*)钎&(x)e"r=4，寸4xQ,"(x)e"匕(x)e"7-->1—x2QmMen若非齐次项f(x)=&(x),只需把它看成f(x)=匕,(x)er*，且r=0的特殊情形即可.若/(x)=e'"(Mcosotr+Nsin皿)，其中Af,N,r,3都是实数，且3>0.特解的取法如下表：(其中A,8是两个待定的常数)f(x)r±io与特征值的关系特解y*的形式e”(Mcosarn-TVsincox)r±i6y不是特征根e”(Acos5+Bsin(ox)erx(Mcos5+Nsin5)r±iG是特征根W(Acosair+Bsincox)若非齐次项f(x)=Mcos(ox+Nsin(ox.只需把它看成是f(x)=erx(Mcoscox+Nsincax),旦r=0的特殊情形即可.另外，无论系数”与N中是否有等于零的，在特解y*中仍应当假设包含两个待定系数A与民【例1】设线性无关的函数y”力，丫3都是微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=/(x)的解,其中p(x),q(x),/(x)是连续的，且G和C2是任意常数，则此方程的通解是y=().(A)Gy】+C2y2+乃・(B)Ciyi+C2y2-(C1+C2)
5(C)Ciji+C2J2—(1—Ci—。2)乃・(D)C,i+C2y2+(1—C1—C2)乃・【例2】设〉”+6/+切=比、有一个特解为y=e2x+(l+x)e%,求常数a,b,c的值及此方程的通解.【例3】微分方程y"+y=/+1+sinx的特解形式可设为(A)y*=ax+fer+c+x(Asinx+Bcosx).(A)y*=x(ax',+fer+c+4sinx+Bcosx).(B)y*=ax2+bx+c+Asinx.(C)y*=ax2+bx+c+Acosx.【例4】设/(x)=sinx—，(X一。/(，)力，其中/(x)连续.求/(x).【分析与求解】1)化为求解常微分方程的初值问题，事实上/&)可导.先将方程写成/(x)=sinx-xf(t)dt+J①两边求导得/,(x)=cosx-^f(t)dt-xf(x)+xf(x)即/'(x)=cosx-//Q)dr②在①式中令x=0得"0)=0③求解①转化为求解②+③再将②求导得了"(x)=-sinx-/(x)④在②中令x=0得/'(0)=1⑤求解②+③又转化为求解④+③+⑤2)求解初值问题.令、=/(x),求解①转化为求解二阶线性常系数方程的初值问题：
6[y"+y=-sinxty(o)=o,y(o)=i特征方程无+1=0,特征根；l=±i,相应齐次方程的通解y=ctcosx+c2sinx再求原非齐次方程的如下特解y*=x(Acosx+Bsinx)记y=Acosx+Bsinx,于是y*=xy，且无论系数4,8取何值，其中的函数y=Acosx+Bsinx都满足对应的齐次方程.计算可得(y*y=xy'+y,(y*)"=xyH+2/=>(//+/=x(y"+y)+2/=2/.代入方程就有2y'=2(-Asinx+Bcosx)=-sinx,由此可得A=—,B=0于是原方程的通解为y=c,cosx+c2sinx+—xcosx2122由初条件>(0)=0,丁'(0)=1定出。=0,。2=；•因此求得y=/(x)=gsinx+；xcosx§4某些高阶微分方程§5应用问题一、利用定积分的几何意义列方程【例11设、=/(x)是第一象限内连接4(0,1),8(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，C为M在x轴上的投影，。为坐标原点，若梯形OCMA的面积与曲边三角形的面积之和为三+1，求/(幻的表达式.63【分析与求解】配右图)1)列方程，定附加条件，按题意都+/(x)]+f/«)力=营+(①并有/(0)=1②/(1)=0③
72)转化，将①求导并化简得
8f'(x)--/(x)=x--(xe(0,1］)④XX在①中令x=1=>/⑴=0与③一致.3)求解④并满足②与③.解一阶线方程④并定常数得/(x)=(x-1)2(OWxWl).【例2】设函数/(x)区间［1,+oo］上连续，由曲线y=/(x)与直线x=Lx=z(/>1)及x轴围成的平面图形绕x轴旋一周所得旋转体的体积为v(0=|k7(0-/(i)]求:(1)y=/(x)所满足的微分方程；」2(2)该微分方程满足条件y=*的解.-x=29【解】(1)V(t)的积分表达式是1X丫⑴=万1/2U)dx，按题意得乃1/2(x)dx=。[产/⑴_/(1)]如同§2例3,/(f)满足此积分方程等价于/⑺满足微分方程f2(t)^-[2tf(t)+t2f'(t)](2)将，换成x,记y=/(x)，解3y=2xy+/y'得通解y：一^,由初值y(2)=?得C=l,于是y=【例3】(数一，数二)设曲线r=r(6)上任意点为M(r,6),一个定点为M°(2,0)，由此曲线与极径OM。，OM围成的曲边扇形的面积等于两点与M间弧长的一半，求此曲线的方程.【分析与求解】1)首先用极坐标写出曲边扇形的面积与弧长表达式.见右图.极径OM0,0M与曲线r=r(6)围成的曲边扇形面积S(6>)=g/r\0)dO,M间的弧长s(6)=/ylr\0)+r'2(O)d0
92)按题意列方程并给出初值.s(e)=gs(e)即「2(。川。=f而苏下荷de还有“0)=23)转化将方程求导，原问题转化为求解/2(。)=』产3)+r'“e)or'(O)=±r(6>)7r2(^)-lr(0)=21r(0)=24)求解初值问题这是变量可分离的方程.用变量分离法求出通解-arcsin'=土6+C由r(0)=2=>c=-工.于是求得r=——?——即x±V3y=2.6sin(1±8)二、利用导数的几何意义列方程【例4】设曲线2位于。町平面的第一象限内，过乙上任意一点M处的切线与y轴总相【分析与求解】设2的方程为y=y(x).由£上V点“(x,y)处的切线方程为y=y(x)+y，(x)(X-x)令X=0得4点坐标为(0,Mx)-盯'(X)).由|。4|=\闿得交，交点记作4,且长度|AM|=|OA|.又』过点求上的方程.(y-xy'Y=x2+x2y'2化简得初条件y(3)=3解初值问题这是齐次方程(也是伯努利方程).解得人+/=3》,=y="(3-x)(010三、利用导数的经济意义列方程(数三，数四)【例5】某商品的需求量。对价格的弹性为〃=-3p3,市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数.【解】设需求函数为Q(p),需求弹性即K股，按题意得K强=-3P3,Q(0)=1QdpQdp这是可分离变量的方程，用分离变量法求得通解，再由初值定常数，最后得Q=e”'.四、利用变化率满足的条件列方程【例6］设在一人群中推广某种新技术是通过其中已掌握技术的人进行的.已知该人群的总数为N,在，=0时刻，已掌握新技术的人数为孙，在时刻f,已掌握新技术的人数为x(f)(设x«)是连续可微的)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术的人数之积成正比，且比例常数k>0,求变量x«).【解】r时刻已掌握新技术人数为xQ),它的变化率即如，按题意：dtdrNxeNk,—=H(N-x),x(O)=x0这是可分离变量的，求出通解后定常数，得》=—以——dzN—Xq+x()e五、利用牛顿第二定律列方程(数一，数二)【例7】从船上向海里沉放某种探测仪器时，需要确定仪器下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力与浮力的作用.设仪器的质量为机，体积为8,海水比重为夕，仪器所受的阴力与下沉速度成正比，比例系数为心>0).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式了=y(v).【分析与求解】建立坐标系：沉放点为原点0,Oy轴正向铅直向下.1)仪器受力：重力mg,阻力-攵与，浮力一Bp.按牛顿第二定律列方程=■一Bp初条件y(0)=0,y'(0)=02)转化：为求y=y(y),将方程改写.*=祟=墨y于是方程化为mi/；：=H-kv,H=mg-Bg即y=万个而相应的初值y(v)=0v=03)求解直接积分并由初值定常数得丫=-；丫+雪•ln_E7—kkH-kv
11六、利用微元法列方程(数一，数二)［例8］要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为h,上底面直径为2”，要求桥墩在任一水平截而上所受上部桥墩的平均压强为一常数p,设水泥的比重为夕，试求桥墩的形状.【分析与求解】首先建立坐标系，如图所示，x轴为桥墩中心轴，y轴为水平轴，设桥墩侧面的曲线方程为y=y(x),下面列方程并给初条件，然后求解.【方法1】用微元法
12任取[x,x+Ax]u[0向所对应桥墩的小薄片.下层压力一上层压力=薄片的雨量-p尸x+A(弗pny'xAx墩的重量pny2(x)=pita2+p将上式求导，在上式中令x=〃，分别得令ArfO得-2py(x)-pg+&)+y(x)P-)一如)即—=一~°~y初条件d.r解一阶线性齐次方程的初值问题【方法2】用积分法基本关系式x截面处所受压力=顶面压力+该截面上方桥这是变限积分方程.§6一阶常系数线性差分方程及其解法(数学三)一阶常系数线性差分方程标准形式为y,+i+ay,=/«),其中r=O,1，2,…，常数已知函数/⑺当r=O,1,2,…时有定义.如果当/=0,1,2,…时有/⑴三0,则称方程为一阶常系数齐次线性差分方程，否则，称为一阶常系数非齐次线性差分方程.
13可以证明一阶常系数线性差分方程的通解与一阶线性微分方程有相同的结构，即一阶常系数线性差分方程y,+1+ay,=f[t｝的通解可表示为y,=C(—a)'+y；(f=0,1,2/一,)，其中C是一个任意常数，y；是非次齐次差分方程yt+l+ay,=f(t)的一个特解.注意，在上述非齐次方程通解的表达式中，y；=C(-。)'是对应齐次差分方程y,+1+ayt=0的通解.代入方程不难验证这一结论.当/⑺是多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和差或乘积时，常用待定系数法求非齐次差分方程y,+1+ay,=f(t)的一个特解.与二阶常系数微分方程类似，仍分为两大类来讨论：(1)若f(t)=PQd'，持匕⑺是，的机次多项式，常数dWO.非齐次项/(/)=Pm(t)可看成d=1的特例.这时非齐次差分方程y,+1+ay,=Pm(t)d'的一个特解的取法如下表：(其中⑴是待定系数的m次多项式)/(/)d与系数a的关系特解y；的形式。+叱0Q*WP14(A(/4-1)+B)2nl—(At+B)2Z=r2'，4+2A+B=inA=1,B=—2即城=(，-2)21因此，通解为y=c+Q—2)2’【例3】差分方程m+i—2M=3cos］f的通解为.【解】0=］，特解y；=Acos^7+8sin］，，代入方程得Acos(—tH—)+Bsin(—14—)—2Acos—t—2Bsin—t—3cos—t2222222jl.7T7T6(B-2A)cos—t—(A+28)sin5f=3cos5f=＞B—2A=3,A+2B=OnA=—,33717tB=—.=＞通解为y,=c2'+—(-2cos—r+sin—r)5522【例4】设某人于某年年底在银行存款。元，其年利率是r,且按复利计算利息，又该存款人从存款满一年起每年年底均取出固定数额为b元的部分存款，求该存款人每年年底在银行存款余额的变化规律.【解】设必是存款f(r=0,1,2-)年整时该存款人的存款余额，于是可得bK+i=(1+厂)%-=y/+l-(l+r)yr=-b，且％=a.注意，方程的通解是yt=C(1+〃)'+—.rbb利用初值＞0=。=c+巳可确定常数c=4-2,故该存款人每年年底在银行存款余额的rr变化服从如下规律：bh%=(a一一)(1+r)'+—(f=0,1,2•••).rr
15基本多元函数微分学第八讲多元函数微分学一、知识网络图厂I多元函数、二元函数的极限与连续性，有界闭区域上连续函数的性质T偏导数，方向导数，可微性与全微分的定义（方向导致只对敌一）二、重点考核点这部分的重点是:
16B是与Aj无关的常数+o(Ay)在V。存在_，cf(x<)+Ay,vn+Ay)—f(i：.4Ax-BAy+o(p)(p-^0)f(xo+Ax,州)—f(x<)(Ax->0)f(x<)>yo-hiv)—/(M，(2—0)①偏导数、全微分的计算，尤其是求复合函数的二阶偏导数（包括带函数记号的复合函数，隐函数，变量替换下方程的变形及初等函数等.②多元函数的简单极值与条件极值问题特别是有关的应用题（几何、物理与经济上的应用题）.③几何应用（求曲面的切平面和法线，空间曲线的切线和法平面）（只对数一）④求方向导数和梯度（只对数一）.⑤可微性概念.§1多元函数微分学中的基本概念及其联系由于多元初等函数的偏导数仍然是多元初等函数，从而这些偏导数还可以继续求偏导数,这样就能够逐阶求得多元初等函数的高阶偏导数.f"y（x,y）,/；（x,y）这样的时不同变量求得的高阶偏导数称为混合偏导数.可以证明:UAv=O或Ax=0dy在点连续dx歇x,y)/(x.>>)在-%点连续：HmAz=0八—)
17若偏导函数图(x,y)和/：(X,y)都在点(xo，yo)处连续，则必有北(%%)={：(%,为)•这种性质称为混合偏导数与求导的次序无关，它成立的条件是这些混合偏导数连续.对一般的n(〃22)元函数的m(m>2)阶连续混合偏导数相应的结果也成立.F.一(X,y)*(0,0)【例1】函数/(无，y)={/+丁/则/(x,y)在(0,0)处0(x,y)=(0,0)(A)连续，偏导数存在(B)连续，偏导数不存在(C)不连续，偏导数存在(D)不连续，偏导数不存在【例2】讨论二元函数f(x,y)=0p(0,0)处可微.但是，当Ay=-Ax<0时函数g(x,y)却满足g(Ar,Ay)-g(0,0)-g；(0,0加-g；(0,0)AyP
18=电经竺)=垃邸0-例=一*=—L,这表明limg(Ar-=0不可能成立,pp32V2Ax3V2…p即函数g(x,y)在点(0,0)处不可微.§2多元函数的微分法必须熟练掌握多元复合函数求导的链锁法则和一阶全微分的形式不变性.设％=/(“,丫)可微,〃=0(%,)0与丫=犷(%,)0偏导数存在，则复合函数n,z、z1yl/包口将左左n&dfd(pdfdi//dzdfd(pdf3^z=f{19【例3】设z=/(e*siny,x2+y2),其中/有二阶连续偏导数，求dz和三dxdy【解】ck=//•d(ersiny)+//-d(x2+y2)=//*(exsinydx+excosydy)+f'-(2xdx+2ydy)=(e*siny)+//-2x]dx+(庐cosy+力・2y)dy=工(//,evsiny+/；•2x)oxdydy=(力:e"cosy+f^2y)exsiny+/；-evcosy+(/2/excosy+/2；-2y)2x=力:sinycosy+/；，2e*(ysiny+xcosy)+46,肛+//・e”cosy【例4】设z=/(x,y)在点(1,1)处可微且/(U)=l，^|(1.1)=2^|<'.1)=3,例x)=/(x,/(x,x)),求，•【解】^(1)=/(L/(L1))=/(L1)=1/=2/⑴k=3/⑴"⑴=3"⑴.。'(幻=<'+/2'・；f(x，x)，；/(x,x)=(//+//)=2+3=5■心dxy曰。'⑴=2+3x5=17因此，/=51.【例5】设尸(工一招了一2,2—刈=0确定2=2(%,了)，其中尸(“，v,w)有连续的一阶偏导数，求生，生和dz.dxdy、.d2z
20【例6】设z=Z（x,y）由2z+l=0确定，求dz和万亍【例7】设〃=/（x,y,z），9（x\ev,Z）=0,y=sinx,其中f夕均具有一阶连续偏导数
21【解】由于y=sinx,由=0,确定Z=Z（x），对x求导得dz姒，2x+Q：,evcosx+夕；」=0dxd71解得—=——^（2天斓+eycosxp：）OX（py■du,,1,,,dz又丁=f+/?cosx+力丁，dxdx将上式代入得一=力'+ficosx——(2x〃+e'cosx(pr2)dx%【例8】设有三元方程xy—zlny+^=l,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个领域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x，y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).【分析】设函数尸(x,y,z)=xy-zlny+ev:—1,则F(x,y,z)具有一阶连续偏导数，且RO,1,D=0,娉(0,L1)=(y+zexz)|(0,u)=2*0,F；(0,l,l)=(x--)|(o.ltl)=-l*0,£'(O,l,l)=(xe"-lny)|(o,|“)=O,从而，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内方程尸(x,y,z)=0<=>xy-zlny+exz=1确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).故应选结论(D).【例9】设/(，)在［0,+8)有连续的二阶导数，/(0)=(0),((0)=1且二元函数z=(?+y2)f(InTPTT7)满足14+^|=0求/⑴•【分析】Z只是「=后寿的函数.先由复合函数微分法导出z(r)
22满足的常数微分方程.再求相应的z(l),z'(l)，然后解相应的初值问题得z(r)表达式，通过变量替换得/«)表达式.
23【解】(I)4-r=y]x2+y2,z(r)=r2f(
24r)nz(l)=/(O)=0,z()=[2//(lnr)+//'(Inr)=1由复合函数求导法=z'(r)|^=-z'(r)=z"(r)，+('一5女'(「)oxdxroxrrr37v1v由对称性—=z”⑺=+(——=)&〃)代入方程nz〃(r)+—z'(r)=0dyrrrr(2)求解初值问题z"(r)=-z'(r)=0«rz(l)=0,z'⑴=1对z'(r)而言，这是一阶线性方程.两边乘〃(r)=e”'二厂得(我'(r))'=0积分得rz'(r)=q由z'(l)=l=>q=1=>z(r)=再积分得z(r)=Inr+c2由z(l)=0=>c2=0=>z(r)=Inr.(3)由//(Inr)=Inr,令f=Inr=>/(/)=《/w[0,+oo)【评注】若知拉普拉斯方程今+2=0的极坐标形式富+粤+/■需=0由z=z(r)与。无关，可直接得与+｝祟=0.§3多元函数的最值问题【例1】求函数/(%,〉)=/+2)1一/),2在区域。=｛*,、)k2+,2〈却0｝上的最大值和最小值.【分析与求解】(1)求。内的驻点及相应的函数值.由=2x-24=。，得卜1,=4、,—，丫2、,=n=i>/2.
25于是/(x,y)在。内有2个驻点：Mj(J5,(-V2,1),相应的/(M,)=2(i=l,2).(2)求y)在。的边界上的最大与最小值.。的边界由两部分组成.一是直线段〃|：y=0»-2P的连线是椭圆周在点M)的法线.【解】由题设知点Mo是条件极值问题：求函数(x—x*)2+(y-y*)2在条件鸟+/-1=0下的最小值点.用拉格朗日乘数法求解.引入拉格朗日函数F(x,y,2)=(x-x*)2+(y-y*)2+2(=+%-1),求拉格朗U函数的驻点，即解方程组耳=2(x-x*)+与=0,aK'=2(y-y*)+冬=0,h22
26£+方T=Gab,,—mi——xv从刖两式消去之，得驻点M(口田的坐标满足x-x*y-y*=—：—ab~注意，上式表明直线讲的方向向量与椭圆周〃在点面处的法向量平行，可见在任一驻点而处，直线桥都是随圆周〃在点而处的法线.由于最小值点必为驻点，所以，在〃上与点P距离最小的点Mo也是如此.【例4】分函数w=x2+),+/在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值.【解】令尸(x»y,z,X,w)=x2+y2+z2+2(x2+y2—z)+u(x+y+z—4)解方程组=2x+22x+w=0①=2y+24y+〃=0=2z-2+u=0③=x2+y2-z=O④=x+y+z-4=0由①，②得x=y(A=-1,“=0不是解)，再由④，⑤得z=2x\z=4—2x,解得Pt(1,1,2),P2(-2,-2,8).相应地u(P|)=6,u(尸2)=72因此，在所给条件下，”的最大值为72,最小值为6.【例5】生产某产品需投入两要素，即和必分别是投入量，。为产出量；若。=2xfx(,其中a,夕为正的常数且。+6=1.假设两种要素的价格分别为P，尸2.试问：当产出量为12时，两种要素各投入多少可使得总费用最小？【例6】(数三，数四)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两上市场的需求函数分别是Pi=18—2。”02=12—02，其中Pi和匕分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），Qi和。2分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨）,并且该企业生产这种产品的总成本函数是。=2。+5,其中。表示该产品在两个市场的销售总量，即。=。
271+。2.（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两上市场上该产品的销售量和统一价格，使该企业获得最大利润，并比较二者的总利润的大小.【分析与求解】（D总利润L=L修）L=R-C=S0+P2Q2）-[2（Q]+。2）+5]=+160+10&_5求当时/（21.。2）的最大值点.oj—=-401+16=0dQi*=—2Q,+10=0得唯一驻点（。1，0,）=（4,5）.由于实际问题存在最大值，故最大值必在驻点达到.因此，产品在两个市场上的销售量分别为。।=4（吨），°z=5（吨），相应的价格pi=10（万元/吨），P2=7（万元/吨）时，获得最大利润：L=-2x42-52+16x4+10x5-5=52（万元）（2）这是条件极值问题.约束条件是P|=P2,即18—2Q|=12—02即2。|一。2—6=0.求L（Qi，。2）在条件2Ql°2-6=0（。/0,。220）下的最大值点.产⑹，②，㈤=-2Q-16Q1+10。2-5+〃20-。2-6)—=-40,+16+22=0dF—=-20,+10-2=0dF-=2Ql-Q2-6=0OA得Q=5,02=4,（x=2）.相应地Pi=P2=8.因驻点惟一，实际问题存在最大值，故最大值必在驻点（5,4）处达到.因此，当产品在两个市场上的销售量分别为。产5（吨）,02=4（吨），
28统一价格为夕=02=8（万元/吨）时，获得最大利润.L=-2X52-42+16X5+10X4-5=49（万元）由上述计算结果可知，企业实行差别定价所得最大总利润大于统一定价时的最大总利润.第九讲二重积分一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是：①掌握二重积分对直角坐标与极坐标的计算及分块积分法和简化计算机的若干方法.②计算无界区域上简单的二重积分.(只对数三，数四).§1二重积分的概念与性质二重积分的定义：设D是平面。孙上的有界闭区域，/(x,y)是定义在D上的有界函数，f(x,y)在。上的二重积分吧支D，=1这里D被分割为〃个小区域Acr.(f=1,2,它们的面积也分别记为Acr,(f=1,2, ••,«),d.是的成［径，而d=max{d}(《，7.)是在小块Ao;中任取的点(i=l,2,…，n).可积函数类：当二重积分07(x,y)db存在时，称f(x,y)在。上可积.若/(x,y)在。上连续,D或f(x,y)在。上分块连续且有界，则/(X,y)在。上可积.二重积分的几何意义：
29当/(x,y)20时，y)db表示上顶面方程为z=/(x,y),底面区域为平面Oxy上的有界闭区域。的曲顶柱形的体积.二重积分的物理意义：当f(x,y)NO时，y)dcr表示质量面密度为/(x,y)的薄板。的质量.二重积分的重要性质：二重积分与定积分有类似的性质，即线性性质，时积分区域的可加性，比较性质以及被积函数连续时的积分中值定理.(1)线性性质；若函数/(x,y)与g(x,y)在区域。上可积，4与8是两个常数，则函数4/'(x,y)+Bg(x,y)也在区域。上可积，且y)+Bg(x,y))db=Ay)db+8jjg(x,>)dcr.DDD(2)对区域的可加性；若函数/(x,y)在区域。上可积，O被曲线分为两个区域5与。2之和，则函数/(X,y)也分别在区域与。2上可积，且y)dcr=y)dcr+JJ/(x,y)dcr.DDiD2(3)比较性质；I.若函数/(x,y)与g(x，y)在区域。上可积，且f(x,y)Wg(x,y)在区域O上成立，则y)dcr竿^=妙(0,0)因此，当/(0,0)彳0时/(R)是R的2阶无穷小，当/(0,0)=0时/(R)是N的高阶无穷小(Rf。).
30【例2】设。是平面上以4（1,1）,8（-1,1）,。（一1,一1）为顶点的三角形是D在第一象限的部分，则4-cosxsiny)dxdy=（用⑶上的积分来表示）［例3］设A=JJcosJx:+y2dcr,(=jjcos(x2+y2)dcr,DD/3=jjcos(x2+y2)2da,其中。={(1,y)|x24-y21|,则D(A)I3>/2>Ii(B)Ix>l2>I3(C)I2>I\>l3(D)I3>IX>I2【分析】在区域。上，(X2+>2)2cos(x2+y2)>cosJx2+y2,XX它们在D均连续n/3>/2>Zi因此选(A).§2在直角坐标系中化二重积分为累次积分。为平面上有界闭区域，/（x,y）在。连续.先后y后x型：D=［（x,y）|aWxWyW°2（x）｝y)d(T=£dx£k(x)f(x,y)dyD先x后y型：D={(x®)|(W奚於渤(y)x(p2y
31JJ7(x,y)db=1dy0：：/(x,y)dxD其中0(X),(p2(x)在［a,切连续，(P\(x)»02(x)在[a，夕]连续•特例：。为矩形：a^x^h,BJj7(x,y)db=[(ff(x,y)dy)dxD=f((〃x,y)dx)dy交换累次积分次序与累次积分计算【例5】将'f(x,y)dr交换积分次序.j]7(x)g(y)dcr=f/(x)ckf【例6】设/(x)=求//(x)dr.
32§3二重积分的变量替换2.极坐标变换:x=rcosO.y=rsin。jj/(x,y)dcr=j|F(r,^)rdrd^其中F(r,6)=f(rcos6,rsinff)DD进一步化为累次积分.(1)先r后e极点在O外部：。：良0耐(6)rr2(0)极点在。内:D:0系糜《(>re极点在。的边界h：
338=出⑺r=r(5)D:a4买洒)r*6)Jj>(r,0)rdrd8=尸(r,8)rdrD【例1】设0={(x,y)|W+y2〈锵y+]},/=JJ(x+y)d(7.D【例2】设。为圆域f+y2WR2,则“('+W)dbh‘僧2"产'cos28sin?。、2.f,cos20sin20x.n(*3,原式=1(丁+点厂)厂"dr=』(丁+下一)dO「rdrO:a〈W/^(r)06>2(r)JjF(r,8)rdrd8=fdrj；尸(r,。)rd。D直线y二一x围成的区域.【分析与求解】曲线是圆周/+(y+a)2=。\y2—。部分，它与直线y二一x围成。,见右图，被积函数只与r=M+y2有关(2)先。后r型e=a(r)【例3】计算2-X2(a>0)和+；2db,其中。是由曲线y=-a+《々x=rcos6,y=rsinO,则该圆周的极坐标方程是r=-2asin。，于是O：-XweW0,0〈rW-2asin。4
344a2sin2f2cleostdt2aVl-sin21【例4】fd。，f(rcos0,rsin0)rdr-f(x,y)dyf(x,y)dr4)r-2asin。r•r原式=f.d6「dr(三角代换)=2a2(i_cos20dr=a2(---)极坐标系下累次积分与直角坐标系下累次积的转换§4怎样应用二重积分的计算公式并简化计算在二重积分的计算中，要注意应用一些技巧：如：把积分区域适当分块，选择适当的坐标系，选择适当的累次积分的次序，平移直角坐标系，等.还要注意应用以下二重积分的简化计算方法：(1)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性简化二重积分的计算若积分区域。关于y轴对称，被积函数f(x,y)对于变量x有奇偶对称性，则
35°’/(-X，y)=~f(x,y),2JJ/(*'y)drdy,f(-x9y)=f(x,y).Dn).i>0)若积分区域。关于X轴对称，被积函数/(x,y)对于变量y有奇偶对称性，则
36JJ7(x，y)drdy=('y)dxdy,f(x,-y)=-f(x,y),2卜刈f{x,-y)=f(x,y).(2)利用二重积分的几何意义简化二重积分的计算若已知积分区域。的面积，则JJdxdy=D的面积.D【例1】。是以(0,0),(1,2)(2,1)为顶点的三角形区域，求/=jjxckdy.D【例2】求/=fjemax^''：}drdy,其中。={(x,y)[0,2={(x，y)|(Y+y221}c0,则0=5+02，且可分块计算二重积分jjlx2+y2-11dcr=jjlx2+y2-11dcr+jjlx2+y2-11dcrDDjD2jj(x2+y2-l)do-,=jj(l-x2-y2)d(T+o,d2用极坐标工二厂(：0§。，y=rsin。计算第一个二重积分，由于A={(r,6)IO<。<巴，0&Y1}故JJ—2_y2)db=fd"A。一沙”UK用直角坐标计算第二个二重积分，由于D2={(x,yMOWxWLjl*WyWl}
371)dxd—-l)dCT故jj(x2+y2-l)dcr=J；dxd24D=D,\D2。|={(乂刈-2〈区@短y2}D2={(x,y)\-^2y-y20}I=ff.vdo--Jjydo-^=7j-12Ad2对L，作极坐标变换，D2的半圆边界是/+y2=2y,x38于是，心：•奥-nrmilsiromf0r/2=族。［rsin6rdr=Jsin。」/32sin0d^=-jsin4032tt7t4n,n83-1singd〃=_・34-222因此【方法3]。关于y=l对称.作平移变换D变成。：—2W〃《一J1—它关于“轴对称I=jj(v+l)dwdv=jjvdwdv+DfD'jjd〃du=0+O'的面积=4一区.o2【例6】求/=Jjy[l+xW]dcr,其中D是由直线丁=x,y=-1及x=1围成的平面区域.【例7】求/=JJ(x2+y2)db,D：|x|+|y|^1.D【例8】设区域O=[尤，y)|x2+y24,x20,y20},/(x)为。上的正值连续函数,a,b为常数，则/=■aylfM+byjf(y)VTw+VToo(A)ahn、abB)——712(C)(a+b)n【分析1】特殊选取/(x)三1,则1sb1+1a+b冗.a+b■4=7C
39J/(x)+J/(y)选⑺).无界区域上的二重积分(只对数三，数四)一般原理：用有界区域上的二重积分取极限来定义无界区域上的二重积分.设函数/(x,y)在无界区域。上有定义，且在区域。的任何有界部分上/(x,y)的二重积分存在，则函数/(x,y)在无界区域。上的二重积分JJ7(x,y)db呵/吧y)db.D厂Df其中区域。「是由曲线「从。中分割出来的有界区域，且当「移动时有界区域。「趋向于无界区域。.通常取B,=Oc|(x,y)11x快闻y|叶(b>0)或4=0c{(x,y)|x2+y>o)作为从无界区域。中分割出来的有界区域，不难发现，当bf+8时有3,一。；而当Rf+00时有DrfD.【例1】求/=JJxe-『db,其中。是由曲线y=4f,y=9』在第一象限围成的区域.D【解】当人一+00时，有界区域&=。c{y/呼&{私旨)10yb,x将趋向于无界区域。，从而jjxe"'dcr=limffj(e'v2d40+O0+00【例2】求，=LLmin{x,y}e"+『）db【解】设R>0,且Or=（u，y）|x2+y2^/?2）,则当/?f+oo时，有界区域Or趋向于所求的积分区域全平面.引入极坐标系（r,。）满足x=rcos8,y=sin。，于是可得/=limffmin{x,y）e（v-+y-）clcr_]jm[丁dmin{rcos0.rsin0]e~rrdrmin{cos0.sin0]d0limr2e-兀5兀又因J：21tmin{cos6,sin。}d6=«sin8d8+J*os。d6+Jsin6dO=-20.limJ；rV2dr=-^ffm（re-:-祚-，力）=；『■J2n2
41第十讲级数（数一，数三）知识网络图
42概念性质按定义-由收敛的必要条件数值级数9£a**-1别歌的法判敛性方利用收敛性判别法则厂正项级数♦收敛的充要条件，比较判别法（比较原理及其极限形式，极值与比值判别法，确定叫关于工n的阶，p级数与几何级数）变号级数'交错级数（莱布尼兹法则）1绝对收敛还、一般情形是条件收敛J利用级数的若干性质（添加括号、分解法等）求察级教（及一般函数项级数）收敛域的方法喳鬻票）的充要条件（五个面单函数的幕级数展开，分解法，变量替换,逐项求导与积分）俄定义在［-1/］上函数的傅氏级数傅氏级数（只对数一）求定义在［0,八上函数的正弦或余弦级数已知函数表达式求它的傅氏级数和函数的表达式重点考核点这部分的重点是：①数项级数的敛散性判别与某些数项级数的求和（敛散性包括绝对收敛还是条件收敛）.②求案级数的收敛区间与收敛域.③怎样求某级数和函数，怎样求函数的基级数展开式.④怎样求函数的傅氏级数及如何确定它的和函数（只对数一）.§1级数的基本概念与性质数列｛〃”｝的各项依次相加岂““称为数项级数.““称为级数的n=l
43第〃项或一般项.Sn=Wj4-u2d+〃〃,（.〃=1,2,・・・）称为级数SZ的前〃项部分和.若〃=】limS,,=5,存在，则称级数十“收敛，并称极限值S为该级数的和，记为允=S.若M-HOn=\"=1limS“不存在，而称级数发散.级数的基本性质有:n->aon=l（1）级数收敛的必要条件：若级数收敛，则lim〃“=O.//nnM—XX）n=\由此可知，若lim%。0,则级数〃->00乙”。«=|必发散；但lim%=0,姨未必收敛.例如:“T8乙"”调和级数虽满足limL=O,但发散.占〃…n（2）收敛级数的线性运算性质：若级数文““与之都收敛，4与B是两个常数，则〃=|〃=1级数£（4"“+8乙）必收敛,且之（4""+叫）=+81与•n=l〃=1n=ln=l0088由此可知，若在级数“与Zl中一个收敛一个发散，则级数汇（““土匕,）必发散.n=1n=ln=l（3）收敛级数的顺项可括性质：若级数之“收敛，则不改变级数各项的顺序加括号所”=1得的任何新级数仍收敛，且级数的和不变.例如：若级数次“收敛，则将其相继两项或相继三项加括号所得的级数"=|之心+町.）与之（、2+“皿+%“）都收敛，且Z+%）=》.•“=]”=]»=|"=|«=•性质（3）有两个重要的推论：推论1,若某级数有一个顺项加括号所得的级数发散，则该级数必发散.推论2,若级数"满足lim〃“=0,又其相继两项加括号所得的级数n=ln->oo£（4i+%.）收敛，则级数lx必收敛，且为〃"=£（”"+%）（证明见例1）,但是，一n=ln=l附=1n—I般说来，仅从某级数有一个顺项加括号所得的级数收敛，却未必能得出原级数收敛.例如：级数1-1+1—1+1—1+…发散，但其相邻两项加括号所得的级数（1-1）+（1-1）+（1-1）+…却是收敛的.（4）从级数中任意去掉有限项，或添加，或改变，都不影响级数的敛散性.从而在讨论级数的敛散性时可以只考虑从某项以后的项组成的新级数的敛散性.00【例1】设»“的部分和为S,（〃=1，2,3,…），且满足lima”=0,limS2“=S（或n—>oon-^xi
44limn—H-x即级数的和为5.S2„_!=S),求证级数收敛，且£a“=S,n=
45=l【例2】讨论级数Z乎的敛散性.n—\〃001［例3］求级数X公——的和.“=|(〃+1)+〃+l(n+1)yfn+几+1yfHJ.+1(J.+1+5/h)_Jrz+1-y［n_11J.+1y/n4nJ.+l考察部分和=Z4=Z^~iv万i)=1/-24=limS〃=1•【例4】设数列｛九｝存在极限limb”=8.求证：Y(bn-bn+l)=\\bk-lB,其中/"T8n=l«=1是某自然数.
46【例5】已知三（-1产。“=2,2。2"-1=5,求Zann=ln=l〃=1§2判别级数敛散性的方法I.正项级数若(n=1,2,…)，则称£〃“为正项级数.n=l正项级数发“的特点是它的部分和满足SI〈S2〈S3<……，从而，正项级数收敛/1=1的充分必要条件是：存在常数M,使得级数的部分和满足(〃=1，2,•••)正项级数的收敛判别法：(1)比较判别法两个正项级数之间，可以通过比较它们通项的大小，从其中一个级数已知的敛散性来判断另一个级数的敛散性.00000000设和Z%都是正项级数，若(”=1,2,…)，贝喈2乙收敛时有m=1n—
47=
48—\收敛；当发散时有£心发散.〃=1n=l比较判别法还可以写成极限形式：若lim±=&，则当OWk<+oo时，从收敛可得“收敛；当0i时0级数收敛：当时p级数发散.在比较判别法中常用p级数来判定给定级数的敛散性.这时比较判别法的极限形式是：若!如〃=左，则当01时，级数收敛；当OVk4+8且时，级数次"发散.n=\”=1(2)比值与根值判别法
49若正项级数满足lim5=上或lim亚'="则当OWkVl时收敛；当,1"…""…*“I"i0("=1,2,•••),则称为交错级数.n=l莱布尼兹判别法：若“1》“2》"3""""讶"，且!通”“=0，则级数£(一1)"'〃“收敛.交错级数的一种常见形式是它的通项〃“=/(〃)(〃=1,2,……),则函数/(X)在有定义.按莱布尼兹判别法可知，若函数/(x)当X大于某一正数时单调减少或/'(x)W0,且lim/(x)=0,则交错级数N(-l)”"(")收敛.XT+®«=|一般项级数ix的绝对收敛与条件收敛：若走|收敛，则称级数绝对收敛；若nd/tal1ns|/I%I发散但收敛，则称级数条件收敛.不难得出，交错0级数之空;当0>1时绝对收敛，当O〈P<1时条件收敛，而当。<0时发散.还可得出有关绝对收敛或条件收敛级数与它们中正项或负项组成的级数敛散性的以下重要结论：(1)级数1un绝对收敛O级数t叱卬与t-一国都收敛.(2)级数条件收敛n级数N与火""一!""都发散.n=
50=l2"=l2(3)级数£&半」与古工半」一个收敛一个发散=>级数>发散.【例1】判断下列级数的敛散性8mn-1⑵&--__"(2n2+n+l)~【例2】讨论下列级数的敛散性(1)N(l-cosq)(a是常数)(2)t—(3)£―—(p#l)n=,nn=2〃/n=2npInn解：⑴因l-cos£[4=原级数收敛.(2)生，>：(〃》篡np1时原级数发散.当p>l时，取a,p>a>l,因
511而由4/-1=lim皿=0,及:收敛=>原级数收敛.〃t+8nl/nzm£na(3)——<—("2的np>l—收敛.当P<1时，取a,p52nnpn=2npInnlim/'=lim；「=+8及之二■发散发题J—."->+a>nInn/n«->+«>Innn=inn=inpInn【例3】判断下列级数的敛散性(1)ta2n,其中正项级数之凡收敛.”=1/»=1(2)之(1-2)其中小｝是单调上升有界的正数列."TX.+1【分析与解法】(1)±a“是收敛的正项级数=部分和£=。|+敢+…+。”有界，即存在常数M,使S.WM5=1,2,3,.记之组”的部分和为(〃=1，2,3-),即7“有界=之%”收敛•“=】n=1(2)｛八｝为单调上升有界的正数列=>(J<1_工=K-Xy-”x”+iX““X注意正项级数£(x.+i-x”)的部分和5“=£(4+1-乙)=X"+1-玉n=la=l有界=火(X--X”)收敛X"收敛.再由比较原理知之(1一')收敛•”=|»=1&”=lX”+l
53【例4】判断下列级数是条件收敛还是绝时收敛或发散.【例5】设““W0(〃=1,2…)且lim2=l,则级数£(一1严(L+」一)—Un0=1Un»,1+|(A)发散(B)条件收敛(B)绝对收敛(D)的收敛性根据所给条件还不能判断.【解】由lim°=l>O=mN,">N时““>0,不妨认为V”，«„>0,考察原交错级数的部分和〃1n1ni〃+l1S“这(T尸—+Z(-Dt+，—=/(T>—+X(-D*—L=]“AZ=1W...X--1u.I.-JU.(—1严4—(n—»+8).n原级数收敛，再考察取绝对值后的级数Z(—+—)-=52(—1—)发散因此，选(c).念U“«„+)【例6】Z(T)"(k>0常数)(A)发散(C)条件收敛(B)绝对收敛(D)敛散性与女有关【例7】Z(sinanI—)(a>0常数)(A)发散(B)绝对收敛
54（C）条件收敛（D）敛散性与。有关【例8】£收敛,〃=1-\a则Z（T）"/」'（A>0为常数）•（A）发散（C）绝对收敛（B）条件收敛（D）敛散性有人有关【分析与求解】用分解法【分析与证明】〈B〉了“=下面证明原级数收敛.【方法1］两两添加括号这是负项级数.考察部分和n-2n-2400【例10］证明级数Z+O0【例9】判断级数2n=2(-1)"y/-n-(-1)"n-i(-1)"(-D"易知，ZaE”收敛，
55=-%+(?古)+(?%)+_L)+_J=>iJ2tl>j2,n+1y/2.n。有下界，又原级数般项趋于零n原级数收敛.-1+1y/2n(V2n++1【方法2］两两添加括号，考察相应级数〈B〉的一般项b=1__1二亚-与+1“-7271+1y/2ny/2n+\yf2n=J◊严卮"n?2n=-kon=2奇偶项两两互换得级数J=+J=--J=+-U--，=+T二■-…V2V3V4V5V2n2n+1仍是交错级数，表成2（-1厂也也=%单调下降且!皿"=0,于是玄收敛，又原级数一般项趋于零=原级数收敛.【评注】该例中用到级数的两个性质：设有级数〈A〉：〉"满足鼬4"“=|r若（q+4）+（%+。4）+…+（。2“-1+%）+…收敛，则〈A〉收敛且和不变.2°若42+4+/+〃3+,・・42.+°2〃-1+…收敛，则〈A〉收敛且和不变.§3嘉级数的收敛域及幕级数的性质a(,+q(x-Xo)+a2(x-Xo)2+-・+a.(x-x())”+' ■=^an(x-x0)"〃=0称为关于X-%的嘉级数;a04-a}x4-a2x2+••,+anxn+•••=，qx”n=0
56称为关于X的基级数.用自变量的变换X-XO=t可把关于X-XO的嘉级数化为关于t的事级数来研究.因此，以下主要讨论关于X的基级数.关于某级数的敛散性有重要结论：若‘幕级数fqx"在点X|WO处收敛，则当n<）n0|xgx,|时某级数绝对收敛；若幕级数£*V”在点X2处发散，则当|x|>|Xz|时幕级数发散.基于这个事实，可以得出基级数£a“x"的收敛性只有三种情形：（1）对任何x幕"=（）级数为qx”都绝对收敛.这时称'幕级数fa,x”的收敛半径为+8,收敛区间与收敛域“=0〃=0都是（-8,+8）.（2）对任何x#0幕级数£a“x"都发散.这时称累级数£a“x”的收w-0n=（）敛半径为0,收敛域是{x|x=0}.（3）存在常数R>0使得，当|xkR时塞级数绝〃=0对收敛，当|x|>R时基级数£a”x"发散.这时称某级数的收敛半径为R,收敛区间是开区间（一R，R）,收敛域是收敛区间加上使基级数收敛的端点x=R或x=—/?组成的集合.收敛半径的求法:若工0（〃=1,2,…），则求极lim“、rt—»xk=0女=+oo攵<0<+8=R=+ooO/?=0oR4若有无穷多个系数斯等于零，则利用比值判别法宜接求某级数中后项与前项绝对值之比的极限，并利用比值判别法得出结论.注意：募级数的收敛半径在对塞级数进行逐项积分或逐项求导的运算时不变.即若'幕级数之可丁的收敛半径为正数R（或+8）,则'幕级数£〃（〃_1）6广2,n=0〃=2yan父,1,y凡小2台〃+1'台5+l)(〃+2)‘的收敛半径仍为正数R（或+B【例】求下列幕级数的收敛半径与收敛域（1）yln(l+n2/【解】先求Rlim«->+«：ln(l+〃+1)/W±n)n+1/n=>收敛半径R=l.x=l时£处0发散（因为凶土肛>工（n>D）收敛（因为这是交错级数，lim凶土也=0,由证明«->+«>〃
57ln(l+x)当x>［时单调下降可知ln(l+n)单调下降).xn因此收敛域为［-1,1)⑵Z备”n=\〃°产,1【解】令f=x-3,考察Zrt=l713=>R=3.0018(-11〃f=3时Z上发散，f=-3时收敛.收敛域为［-3,3).«=i〃«=1〃回到原问题，收敛域为［0,6).8(3)已知某级数Z《,(x-2)"在x=0处收敛，在x=4处发散.n=0(4)X---X白(-3)"+2"2n-\(5)y——-——七3"+(-2)"n(6)设之a"x”的收敛半径/?=3,则£〃a“(x-l)"的收敛区间为-n=l〃=1§4求嘉级数的和函数与求函数的塞级数展开式I.求幕级数的和函数某级数在其收敛域D上有和函数，即存在函数“=()S(x)使得£a“x"=S(x)(xeD).；»=<)寨级数£a“x"的和函数S(x)具有如下重要性质：“=()(1)S(x)在收敛域。上的连续；(2)'幕级数在工/1收敛域D上可逐项积分，即X4Tx=f5(r)dr(xeD)；
58(3)基级数£a“x”在收敛区间(一R,R)内可逐项求导，即n=O8Z〃a,,x"T=S'(x)(-R59数和函数是互逆的问题.m.函数展成募级数的充要条件与充分条件.1-/(x)=WX(x-Xo)",xe/=(/-/?,Xo+R)/i=Oo/(x)在/上任意次可导且/(x)=£1当J(x-x0)",xe/(0!=1,a"二尸”乜)一塞级数展开式的惟一性)"n\o/(x)在/上任意次可导且lim/?„(x)=0VxeZR"(x)="x)-七号0x-x0严用《二伯XT。严,g在X与xo之间<•=0K•(〃十1J!2.若存在常数M>0,对Vxe/有性M"(〃=1,2,3,•• )=>/(X)=£/，。％_/)晨€/n=0〃.IV.五个初等函数的募级数展开式/(》)=£n=0n\smR而而心(一…)((一疗.、W+x)=£d,(_s"=l〃(I+X),=1+力.(”1)…xe(-1,1)n=l〃，1e(a=—=2(-l)"x”,xe(-l,1)(儿何级数))1+X"R除了这里给出的以上五个公式外，把利用几何级数的和函数公式经换元，逐项积分,逐项求导等得到的基级数的和函数公式两端对换，又可以得到一些函数的'幕级数展开式.求其它函数的某级数展开式，则常用间接法，即利用分解，换元，积分，求导等方法把要求展开式的函数用已知的事级数展开式的函数表示出来，然后再把它们的慕级数展开式代入，从而得出要求的展开式.【例1】求基级数之(2〃+3)\"的和函数S(x).n=0【例2】求级数之㈠尸”的和.
60.n(2n-1)3【例3】(1)验证函数y(x)=l+%+卷•+击+…+亩^+7-8<》<+<»)满足方程y"+y'+y=ex.(2)利用(1)结果求箱级数£磊的和函数.【分析与求解】题(1)先验证该幕级数的收敛区间为(-8,+8)令，=/，则原级数化为.由lim&［加/7^=1皿2八八匚、/，八=。£(3〃)！5(3("+1))!/(3〃)！…(3〃+3)(3"+2)(3"+1)=>ZG(—8,+OO),从而(—8,+8)时原级数收敛.在收敛区间内塞级数可逐项求导W次，这里逐项求导两次co3n-lx2y'(x)=y—,y"(x)=y—,xe(-oo,+oo).fr(3n-l)!fr(3n-2)!、83n-2op37,-loo3n于是yK+y'+y=Y———+Y———+Y—士(3〃-2)!tT(3/i-D!±(3〃)！8丫3”-2丫3”T3n=i+y(——+——+—)念(3n-2)!(3n-l)!(3n)!.,X2T5、ZX4X5X6s=l+(x+—+—)+(—+—+—)+・・・2!3!4!5!6!.X2X3X4X5X6S'x"X=l+x+—+—+—H+—+•,•=>—=e2!3!4!5!6!题(2)因为£高Jj的和y(X)满足微分方程y"+y'+y=e'，又知y(0)=1,y'(0)=0所以求和函数yQ)归结为求解这个二阶线性常系数方程的初值问题.易先求得通解y=ecos^-x+c2sin^-x)+—ex由初值nq=2,。2=0.因此，
61ao£n=0X—=y(x)=2e(3〃)！3cos——x+—e【例4】求下列函数在x=0处的基级数展开式(即求下列函数的麦克劳林展开式):(1)e*,(2)In(l-x),【例5】求下列函数的幕级数展开式(1)In(4+3x—x2)展开成x的事级数;(2)In(4x-x2)展开成x-l的基级数.【例611V(外=1+x2arctanx,x1,尤=0二f-IY'展开x的事级数并求y=!-亏的和.占1-4〃2【分析与求解】(arctanx)'=―^-5-=y(-l)"x2n,xe(-1,1)1+xM积分得(-l)nx2(n+l)2n+\2n+12〃-1[-b1]।守(-1)21+x2e(-i)njc2nearctanx=>+)仁2〃+l£8=1+Z(-D"n=l2n,xe【评注】逐项积分后保证基级数的收敛区间不变，但端点的收敛性可能发生变化.若原幕级
62数端点不收敛，但逐项积分后的级数在端点收敛，又积分后的和函数在这个端点连续，则展开式在端点也成立.本例就是这种情形.§5傅氏级数(数学一)设以2兀为周期的周期函数f(x)在卜兀，兀］上可积，则称A)=：£^1(x)dx,A„=-£/(x)co8dx.=-£/(x)sinnda(〃=1,2,…)为函数f(X)的傅里叶系数，称级数%+£(485班+4由办)为函数/(幻的傅里2叶级数.记为/(x)--+cosMX+Bnsinnx).2n=l傅里叶级数的收敛定理(狄利克雷定理)：若以2兀为周期的函数/(X)在［-兀，7l］±除有有限个第一类间断点之外是连续的，且在［-兀,可上只有有限个极值点，则/(X)的傅里叶级数在［-兀，兀］上收敛于和函数S(x),且/(X),X是/'(X)的连续点，S(x)=<+X是/"(》)的间断点，/(一兀+0)；/(兀一°),f通常把狄利克雷定理中对函数/(x)的假设条件：若以2兀为周期的函数f(x)在［-n,兀］上除有有限个第一类间断点之外是连续的，且在［-兀，兀］上只有有限个极值点,称为f(x)在卜兀，兀］上满足狄利克雷条件.奇偶函数的傅里叶级数：若/(x)是［-兀，兀］上可积的偶函数，则其傅里叶级数为余4x弦级数/(x)~d+ZA〃cos〃x；若/(外是卜兀,兀］上可积的奇函数，则其傅里叶级数为正弦级数/(x)~力纥sinnx.n=\设以2/为周期的周期函数/(x)在［-/,/］上可积，则/(x)的傅里叶级数为/(X)吟+£(4cos牛+£sin等).其中系数4=；£/x)dx，4=；fj(x)co咛dx,B“=j£/(x)sin-y^dx(n=l,2,--)函数/(X)的傅里叶级数有类似的收敛定理，但在x=±/处和函数
63S(x)=g"(T+O)+/("())］•若函数/(x)仅在［0,/］上可积，则可把它偶延拓或奇延拓为以2/为周期的周期函数，于是可分别得到余弦级数/(X)〜牛+ZA,COS丁；2n=lI和正弦级数，/、V1D•g/(x)〜、纥sin—.n=l/其中系数2办"，7也
64・〃也1Z*C、sin——dr(〃=L2,…)这里所得的余弦级数和正弦级数与奇偶函数的傅里叶级数有类似的收敛定理.【例】将下列函数按照要求展成傅氏级数或研究其展开式的性质(1)/(x)=x—l(0Vx<2)周期4,余弦级数(2)f(x)=(TVxWO)周期2,其傅氏级数在x=l处收敛于(065第十一讲、知识网络图」基本概念基本性质多元函数积分学的概念，计算与应用「各类积分定义的异同点IT各类积分的物理意义或几何意义多元函数积分学（一）（只对数一）一计"公式一二重积分的极坐标变换，面积微元db=rdrd8|三重积分的柱坐标变换，体积微元三重积分的球坐标变换，体积微元d心p2sm两类线积分的关系，两类面积分的关系怎样用计算公式及简化计算问题I分块积分法选择积分顺序选择变量替换利用区域对称性与被积函数奇偶性利用线面的方程简化线面积分的被积函数面积分选择投影方向各类积分间的相互转化几何应用I（平面图形的面积、曲面的面积、空间区域的体积）-应用一―物理应用|（质量、质心、形心、转动惯量、流量、引力、功等）二、重点考核点这部分重点是：①掌握二重积分对直角坐标与极坐标的计算即化为二次定积分；三重积分对直角坐标，柱坐标、球坐标的计算，即化为三次定积分，以及曲线、曲面积分的计算方法和分块积分法.②简化积分计算的若干方法.③多元函数积分在儿何与物理上的应用.§1多元积分学的概念与性质【例1】请回答下列问题（1）设48是xy平面上平行于x轴的有向线段，y=yo，x从a至Ijb,则
66£,P(x,y)ck+Q(x,y)dy=.(2)/是空间中垂直于x轴(即在垂直于x轴的平面上)的分段光滑曲线，则[P(x,y,z)dx=.(3)S是与外平面垂宜(即S的法向量与xy平面平行)的分块光滑曲面，则y,z)dxdy=.s【例2】设有空间区域O：x2+y2+z2^R2,z20及5,x>0y>0,z>0,则正确的是().(A)>dV=4>dV(B)>dV=4>dVQQ]QQj(C)JJkdV=4JJJzdV(D)JjpyzdV=4jjj孙zdVQQ(QQ)【分析】。在外平面上方，。关于yz平面与3r平面均对称，若被积函数/(x,y,z)对x，y均为偶函数，则GJ/。,y，加丫=町巾(筋y,z)dvQQ其中Qi是。在第一卦限部分，这里/(x,y,z)=z满足条件，故选(C).【例3】设S：x2+y2+z2=a\z^O)，S,：Sc{x20,y20,z》。}，贝灯()(A)Jj.rdS=4JJxdS(B)JJydS=4心dSSS|5S|(C)JJzdS=4JjzdS(D)JJ盯zd5=4Jj.yyzdSSS|sm
673.三重积分一4.第一类曲面积分一二重积分5.第二类曲面积分一第一类曲面积分一二重积分—>n-(cosa,cos夕,cos/)=±dcr=|cosy|dS(面积微元公式)§2多元函数积分的计算公式直角坐标系中怎样把多元函数积分化为定积分：1.曲线积分一定积分曲线C:x=x()y=刈,z=Z(暗翡|蜃瓢薪口的)分段光滑，被积函数连实.Jf(x,y,z)ds=1/(x(r),y(r),z(r))yjx'2+y'2+z'2dtJPdx+Qdy+Rdz=，[尸(x«),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(r))z'(t)]dt转化方法：(l)求被积表达式：曲线方程代入曲线积分被积表达式，归结为微分运算：ds,dr,dy,dz.(2)确定积分限：代入曲线端点参数值.第一类，从小到大；第二类与定向有关,下限是起点的参数值，上限是终点参数值.2.二重积分一两次定积分续(1)。是柱形长条区域(先一，后二的情形)Q:Z|(x,y)&Wz2(x,y),(x,y)eDxyJjj/U,y,z)dV=jjd.rdyJ'；，'''f(x,y,z)dz(2)。是截面已知的区域(先二后一的情形)Q:aWWP,(x,y)eD(z)JJJ7(x，y，z)dV=[dzJJ/(x,y,z)dxdy
68S：z=z(x,y),(x,y)g£>外分块光滑，/(x,y,z)在S连续JJf(x,y,z)dS=j]7(x,y,z(x,y))Jso„S:z=z(x,y),(x,y)GDtv1分块光滑，取上侧或取下侧P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)连续.
69JjPdydz+Qd：dx+Rdxdy=Jj|Pcosa+Qcos0+Rcos/]dS=±JJDxyP(x,y,z)(-1^)+Q(x,y,z)(-3)+R(x,y9z)}lrdyoxdy其中z=z(x,y),S取上侧,取"+”，S取下侧,取"一"S:x=x(y,z),(y,z)w。、：分块光滑—>n=(cosa,cos0、cosy)=±1l+K+d(L一K，Y)取前侧〃取“+"或取后侧〃取"一”.P(x,y,z),Q(x，y,z),R(x,y,z)连续.jjPdydz+QdzcLv+Rdtdy=JJ[Pcosa+Qcos夕+Rcos/]dSssnr)Yr)xP(x,乂z)+Q(x,y,z)(--)+R(x,y,z)(--)dydz效a」其中x=x(y,z)，S取上面，取“+”，S取后侧，取“一”.I1例。设L为摆线「=""—sm’)(0・/《2兀)的一拱，贝i"=fy2ds=y=a(l-cosf)*［例2］r=7%2+(l-y)2»求/=b与［一粒+(1-丁)切其中8。是由5(2,0)沿y=J2x-x?到0(0,0).【分析与求解】8。是半圆弧：(x-l)2+y2=l(yNO).由圆的参数方程可写出30的参数方程：x-1=cos0,y=sin0,8w[0,〃]相应地r=j3+2cos6—2sin8,套公式/-(l+cos。)(一sin6)+(1-sin6)cos。jn；du01sin04-cos0__1/d(3+2cos。一2sin。)_2=(3+2cos0-2sin0)*710=】一忑：：du
70［例3］设。是由z=xy,z=0,x+y=1围成的空间区域，求/=晌dKQ【例4】求/=。由y=V7,y=0,z=0,x+z=]围成.22【例5】设S为椭球面与+彳-+3=1的上半部分，点P(x,y,z)eS,〃为S在点尸处的切平面，夕(x,y,z)是点0(0,0,0)到平面〃的距离.求/=JJ---dS.s。(羽y,z)【分析与求解】(1)尸点处S的法向量为(x,y,2z),切平面〃为x(X-x)+y(r-y)+2z(Z-z)=0(2)点0到〃的距离由S的方程得X+2zz'x=0,y+2zz'y=0,S在xy平面的投影区域是Dxy：x2+y2^2于是/=jj-zy]x2+y2+4z2Jl+W+zfdrdy=-JJ(4-x2-y2)dxdy%24Dxy作极坐标变换得/=皆、。(4-r^rt/r=-(2r2--r4)=~【例6】设S是有向曲面z=x?+y2(o〈zWl),其法向量与z轴正向的夹角为锐角，求曲面积分/=JJ(2x+z)dydz+zdxdy.s【解】投影到xy平面上，S的投影区域外：x2+y2^l,z=0代公式得/=+Jj[(2x+
71x2+y2)(-z'x)+(x2+y2)]dxdyDxy
72由于S的方程是z=』+y\z；=2x=>/=j[[(2x+x2+y2)(-2x)+(x2+y2)]dxdy=-jj(x2+y2)dxdy=-0d9jr3dr=--DxyDxy02其中[卜(/+y?)db=0j14x2dcr=j12(x24-y2)dcrDxyDxyDxy【例7】设S是由曲面x2+y2=R?与两平面《=/?和2=-R(/?>0,常数)围成的立体表面的外侧，求/=JJxdydaz2drdy重积分的变量替换：。为空间中有界闭区域，/(x,y,z)在。连续.1.平移变换u=X—a,v=y—h,w=z—c,JJJ/(x,y,z)dxdydz=JJJf(m+a,v+b,w+c)dwdvdwQC'2.极坐标变换3.柱坐标变换x=rcos0,y=rsin0,z—zJjj/(x,y,z)dV=JJjF(r,6,z)rdrd6dz,尸(r,6,z)=/(rco^,rsin^,z)QQ,若。是柱形长条区域，上、下曲面的柱坐标方程为z=Z2(r，。)，z=4(r，。)它在平面上的投影区域为D,则y,z)dV="drd。]：，F(r,6,z)rdz若。是。孙z中界于半平面6=。，6=p且极角0G[a,回的任意半平面与CD(0)r,6,z)rdrdz相截得平面区域。(。)，则4.球坐标变换x=psin^cos0,y=psin^sin0,z=pcos(pJJJ7(x,y,z)dV=^F(p,(p,O)p2sm(pdpd(pdO
73其中F(p,(pf)=f{psin(pcos0,psin(psin0.pcoscp).
74若。位于闭曲面S所围区域。内，S的球坐标方程p=p（（p,6）则JJJ7(x，y，Z)dV=:加ddjdof⑶F{p,(p,O)p2sindpQ"若C由锥面e二。及球坐标方程p=p（g。）的曲面所围成，则dq)r°F(p,(p,6)p1Sin(pdp［例9］设C是由曲面/+y2+［2=2z(z21)与曲面[x=0【例8】设。是由曲线《，绕z轴旋转一周而成的曲面与ly2=2z平面z=4围成的空间区域，求/=+y?+z）dV.QZ=Ji+y2围成的区域,求JJJ(x3+y3+z3)dV.Q
75围成.y（z）连续,皿⑵小表成定积分【例4】Q-.(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2^R2,则JJJ(x+y+z)dV=n§3怎样应用计算公式及简化计算问题【例1】设。由曲面S：Z=x2+y2（o76【例5】设曲面Z：|x|+|y|+|z|=1，则JJ(x+|y|)d5=【分析】Z关于"平面对称，刀对犬为奇函数=J「dS=O.由变量的轮换对称性nJJ|y|dS=JJ|x|dS=Jj|z|dS.vvv乙乙乙/=JJ(x+|y|)dS=JJIy|ds=-jj(|x|+|y|+|z|)ds=，JJldS=L.曲面的面积.3z3^3记z在第一卦限部分的面积为巧,则CTjcosy=—,即cr,=—.因此/=l-8o-,=--^=-73.31323【例6】求+y2)ds,其中L为x2+y?+z2=1与x+y+z=1的交线.【解】由变量的轮换对称性np2d.v=[z2d.v=>/=|£(X2+y2+z2)d5=|[ld5=|郎周长原点到x+y+z=l的距离d=*，圆周L的半径【例7】求/=Jj(/(x,y,z)+z)dydz+(2/(x,y,z)+y)dzdx+(7(%,y,z)+x)(hdy其中S是平面sx-y+z=l在第4卦限部分，取上侧，f(x9y9z)连续.
77由S的方程z=，2Rx—炉―y2n包=四二式，生=_上oxzoyz代入公式n/]=jj(y-z)-drdy=jj(/?-x)dxdyo„zd„其中JF（x-/?）ckdy=O（O,y关于x轴对称，被积函数对y为奇函数）.4ZI2=JJ(Z-x)2(irdy=0Z3=jj(x-y)dxdy=jjxdrdy=JJ(R-x)&dy+J卜duly=Jj/?dAdy=nr'Ra®的假【例8]求/=JJ(y-z)dydz+(z-x)dzdr+(x-y)dxdy,S是上半球面x2+y2+s■2=2Rx,被柱面f+y2=2rx(7?>r>0)截下部分取上侧.【分析与求解】易求S在xy平面上的投影区域:（x-r）2+y2^r2于是投影到xy平面上，将曲面积分/化为二重积分§4多元积分学的应用一、求空间区域的体积【例1】求区域。的体积，其中。是由曲面【例2】求柱面z2+y2=2z被锥面y2+z2=x2所截下部分的面积A.【分析与求解1】由对称性，考察y>0部分J«+(lI)H,x=0dzdz(yy)(-以)+(”、)(-各)+(X7)记dxdy/；+/2+/z二丁(y2像z=4y2“。)，z=x,z=2x,z=4所围成二、求曲面的面积
78y24-72=2z将4,，、消去y得2z=这是投影区域。的y2+z2=jc2一条边界线，另一条界线是z=2,见下图.由曲面方程式n要=0彖/Idxayl2z-z2【分析与求解2】由对称性，考察x>0部分.柱面的准线L：金—1）』按柱面被曲面所截部分面积公式得A=2^Jy?+z2ds=2J五氨sL的参数方程为《二!常叫0.忘2Iy—din（ds=A=2>/2Jl+cosfdf=4J0）.求球体的重心位置.【分析与求解】球体记为。，以球心为原点，射线0尸。为正x轴建立的直角坐标系.玲（/?,0,0）,球面方程x2+/+z2=R2,密度”（尤一/?）2+/+72],。的重心(x,y,z)，其中y=z=Qx=JJPjl[(x-/?)2+/+z2]dVQJJ^[(x-/?)2+/+z2]dVc
79-/?)2+y2+Z2]dV=JJja2+y2+Z2)dV+R2JJjdV-2RjjjxdV=：d6jd蹴戒夕2sin*dp+?R5-=*/?5=7?―jj]x[(x-/?)2+y2+z2]dV=Jj[x(x2+y2+z2+R2)dV-2RJ]p2dV=0—取j|j(x2+/+z2)dV=一WK=Y成618r6—一兀八n因此，X=-^T=一~732用4第十二讲多元函数积分中的三个基本公式及其应用一、知识网络图
80函分的基式元积中个公多数学三本(取特殊路径或原函数)二、重点考核点这部分的重点是：①格林公式，高斯公式与斯托克公式.②多元函数积分计算中的相互转化.③平面上曲线积分与路径无关的充要条件与判断方法，微分式Pdr+Qdy存在原函数的充要条件与原函数的求法.④曲线积分与路径无关时的计算方法.§1多元函数积分学中的三个基本公式1.格林公式设有界闭区域。由分段光滑曲线/围成，/取正向，函数P(x,y),Q(xy)在。有连续偏导数=
81jPdr+0dy叩罢嚼)(kdy.
82关于区域。的正向边界:关于单连通与复连通区域.区域①为单连通；区域②、③为复连通.复连通区域D上的格林公式.£Pdx+Qdy+£Pdx+Qd>>=。卷-新的L=C〜gP(x9y9z),(2(x,y9z),R(尤，y9z)在。有连续偏导数，则[Pdx+Qdy+Rdz=j)2.高斯公式设。是空间中的有界闭区域，边界是分块光滑的定向曲面S,J尾+导韵心JjPdydz+Qdzdxdydzdzdxdvdy其中〃=(cosa,cosQ,cosy)是S的单位外法向(示意图如下).
833.斯托克斯公式设r为分段光滑有向闭曲线，s是以r为边界的分块光滑定向曲面，厂的正向与s的定向(即法向量的指向)符合右手法则.函数P{x,y,z),Q{x,y,z),R(x,y,z)在含S的某区域上有连续的偏导数，则F={x,y,z)，=(PQR),其中P,Q,R有连续的偏导数.1.通量与散度尸沿定向曲面S的通量即尸,dS=JJf・〃dS=Pcosa+Qcos/?+/?cos/]dS=jjpdydz+Qdzdx+Rdxdysn=(cosa,cos〃,cosy)是定向曲面S的单位法向量.尸在点(x,y,z)处的散度div尸="+芈+”oxdyoz用散度与通量，高斯公式可表为JjjdivFdV=JjF-wd5ns2.环量与旋度厂沿有向分段光滑闭曲线/的环量(环流量)即,尸・由=(尸・ds=^(Pcosa+QcosJ3+Rcosy)ds=£Pdx+Qdy+Rdzt=(cosa、cos0,cosy)是指向曲线方向的单位切向量.ijkddd尸在点(x,y,z)的旋度rotF=———dxdydzPQR用旋度与环量，斯托克斯公式可表为JjrotF-ntlS=dSsr§3三个基本公式的应用一、用格林公式计算曲线积分【例1】已知平面区域。={(第兀网①,y}，人为。的正向边界，试证:(1)^xes,nvdy-ye-s,nvck=^edy-yesmxdx(2),xesin'dy-ye-sintck22n2
84【例2】求/=siny-b(x+y)]ck+卜cosy-ax]dy其中常数a,b>0,/是由点4(2。,0)沿曲线y=yl2ax-x2到点。(0,0)的弧.【例3】求/=<('吗一07)9,其中L是以(0,0)为心，R(Rri)为半径的圆周,-»4x2+(y-l)2取逆时针方向.【分析与求解】将/表成[Pdr+Qdy经计算8P(y-l)2-4x2出“、小八、—=—^--=—(a，y)#(0，D)dy(4x+(y-l))'dx记L围成圆域。.若R<1,此时。不含(0,1)点，在。上用格林公式得/=/(%-普)dxdy=0.若R>1,。内含(0,1),P,。在(0,1)GC无定义，不能在。上用格林公式.作环绕(0,1)的闭曲线C,逆时针方向，在C与L围成的区域£>。上可用格林公式.{Pdx+Qdy-1jPdr+Qdy=(Pdr+Qdy现取C：4/+(y-l)2=i(£>0充分小，使C在。内部)逆时针方向.=>/"J2dx屯=/乃；£.£1fPax+Qdy=%■]_(y-l)ar+xdy=其中。|是C围成的区域.
85二、用高斯公式计算曲面积分［例4］计算曲面积分I=^xzdydz+2zydzdx+3xydxdy,其中S为曲面I其中£>(z)：x2+^y2^：l-z»面积为2兀(l—z)因此I=1'3z2(ljKkX(fe=)；一;=.【例5】求/=Jj—ydzdx+(z+l)dxdy,其中工为圆柱面f十丁=%被平面x+z£=2和z=0所截得部分的外侧.【解】/=JjPdydz+Qdzdx+Rdxdy,注意：”+挈+竺=07+1=0.£不封闭，添加辅助面oxcyozL=JJPd)也+Qdzdx+限xdv=Jj(z+l)dxdy=-jjdxdy=-4Z|Z|x2+y2^4【分析与求解】利用高斯公式转化为求三重积分与辅助面上的曲面积分.I=Jjxzdydz+2zydzdx+3xy?dxdy=xzdydz+2zydzdx+3x)dxdy£ZvZ,其中区域。：F+I/Wl关于X,y轴对称.由高斯公式得4-=JJ〕(z+2z+0dV=jjpzdV=fdzjj3zdxdy,nQD(z)Z|：z=oC?就向量朝下，£2：%=2-1*2+丫2小祓向量朝上.%在与上方.12=JJ-ydzcLr+(z+IXLrdy=J*z+l)dxdy=Jj(3-x)ckdy=12在I2,Z围成的区域。上用高斯公式得-](0W1)的上侧.曲面z不封闭，添加辅助面心：z=o(x2+|r^i),法向量朝下，Z与£】围成区域0,取外法向.因为E1垂直yz平面与*平面，所以jjxzdydz+2zydzdx=0.又JjSxydxdy=-口3盯dxdy=0,
86JIPdydz+Qdzdx+Mdy=川俘+普+瓢丫=0=>/=—(/1+，2)=—8兀.三、用斯托克斯公式计算曲线积分【例6】求《(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz，其中C是曲线,"十)*从z*[x—y+z=2轴正向往z轴负向看去，C的方向是顺时针方向.【解】。围成的平面x-y+z=2上的有界区域记为工按右手法则它的法向量朝下，由斯托克斯公式得dydzdzdrdvdv/=IgAg=|•回dy?dxdydzVz-yx-zx-y=-2ftrdxdy=-2.x2+y2是否与路径无关?S，+打/2(1)D：x>0(2)D：x2+y2>0
87【例2】积分/=［二y'=xdy在如下区域。是否与路径无关?上3x2+3y2+2xy(1)0：y>0(2)D：x2+y2>0【分析与求解】将/表成/=［Pdr+Qdy,先验证8P_3y2-3x：8Q_3y2-3-~dy~(3x2+3y2+2xy)2'~dx~(3x2+3y2+2xy)2注意：3x2+3V+2xy=(x+y)2+2(x2+/)=0。(x,y)=(0,0)得噜((x，H(0,0))(1)0：y>0是单连通区域nPdx+Qdy在。上与路径无关.(1)D：x2+y2>。不是单连通的.在。上芈="不足以判断.oxdy取一条绕(0,0)的闭曲线C,求［Pdx+Qdy取C：3/+3y2+2xy=l,它是环绕(0,0)的闭曲线.取逆向时针方向.jPdx+Qdy=[—ydr+xdy=C围成区域面积的2倍WO=>jPdx+Qdy在。上不是与路径无关.二、曲线积分与路径无关时如何计算曲线积分【例3】设曲线积分［xy2dx+y3(x)dy与路径无关，其中e(x)连续可导且仪0)=0,|vKI.1)-求]())xydx+y(p{x}dy.【例4】设Q(x,y)在外平面上有一阶连续偏导数，曲线积分，2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,对任何f恒有2邛dx+Q(x,y)dy=，2qdx+Q(x,y)dy求函数。(x,y).：0.0)*(0,0)【分析与求解】该曲线积分与路径无关的的充要条件是C2=2xdx求x的积分得Q(x,y)=x?+8(y),代入等式得
88AXI./))Joo)2xydr+(x+(p(y))dy=2xydx+(x+°(y))dy易求得原函数2xydx4-(x2+(p(y))dy=ydx2+x2dy4-(p(y)dy=d(x2y+f0(s)ds)Jo于是(/y+/°(s)ds)=，y+£e(s)ds即r+[e(s)ds=f+jy(s)dsj(p(s)ds=r-t由此得(p(t)=2r-1因此Q(x,y)=x2+2y-l【例5】设位于点(0,1)的质点4对于质点M的引力大小为与(£>0为常数，广r=|AAr|),质点M沿曲线C：y=J2x-x?自8(2,0)运动到O(0,0).求A对质点M的引力作的功.三、原函数的存在性与原函数问题【例6】求(Y+2孙一y2)山:+(V-2刈一y2)由,的原函数.【例7】设函数0(y)具有连续导数，在围线原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分［妁绊士学也的值恒为同一常数.h2x2+y4(I)证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有fy>(y)dx+2xydy2?+/—(II)求函数e(y)的表达式.【分析与求解】(I)如图，在右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线c上取两点4与8,把闭曲线C被分段光滑简单曲线谕与命.再以A为起点，作一条分段光滑曲线及绕过原
89点与点8连接，于是曲线心与及,曲线•与匕”分别构成两条围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线4与G.由题设知r.(y)dx+2盯dy_r>(y)dx+2;cydy2x2+y4Ja2x2+y4从而0=fe(y)ck+2xydyr夕(y)dx+2xydyh2x2+y4Zx1+y*_f(p(y)dx+2xydy(,(p[y}dx+2xydy_Jbma2x2+y4Jbna2x2+y4=r(p{y}dx+2xydyr-(y)dx+2xydy-Jbma2x2+y4^ANB2x2+y4_r(p[y}^x+2xyAy_Jc2x2+y4.(H)记P(x,y)=严)4,Q(x,y)=2xy-2x+y2xz+y由([)知，对右半平面x>0内的任意分段光滑筒单闭曲线C,有J°(>坐+2?dy=rr尸(乂>，)&+Q(x,y)dy=0.利用格林公式即得Jc2jT+y」庾o当x>0时2y5+4y/(y)-y4"(y)=2x2[(pf(y)+2y]把上面最后的恒等式两端对X求两次偏导数，即得4[“(y)+2y]=0,从而奴y)=_y2+。，其中C是任意常数，代入原恒等式又得2ys+4y3(p(y)-y4()时也满足晋三祟，故求得的函数火y)=-y2具有连续导数，且使得在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分f以y”+2?dy的值恒为同一2x2+y4常数.四、求解全微分方程【例8】求全微分方程[xy2+(2-sinx-2cosx)y]dr+，y+2x-2sinx+cosx]dy=0通解.
90【解】用特殊路径积分法求出一个原函数"(x,y)=£P(x,0浜+j：0(x,y)dy=j(Ock+jo(x2y+2x-2sinx+cosx)dy=+(2x-2sinx+cosx)y于是通解为^x2y2+(2x-2sinx+cosx)y=C(C为V常数).【例9】全微分方程[孙(x+y)-/(x)y]dx+[+f'(x)]dy=0中/(x)有二阶连续导数且/(0)=0,/'(0)=1，求/(x)及此全微分方程的通解.【分析与求解】原方程表为P(x,y)d.r+Q(x,y)dy=0由挈=票得oxoyf(x)+2xy=x2+2xy-f(x)即/"(x)+/(x)=i解初值问题f(x)+fM=X2〃o)=o,r(o)=i方程的特征根为％=±i,特解为/*(幻=--2,于是方程的通程为/(x)=Gcosx+C2sinx+x2-2由初条件得C|=2,C2=1即求得f(x)=2cosx+sinx+x2-2原方程为[x?y+(2-sinx-2cosx)y]ck+[x2y-2sinx+cosx+2x]dy=0(归结为例8
91的情形).
