08高数下册(刘西垣)

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1、第六讲向量代数与空间解析几何（数一）一、知识网络图二次曲面的标准方程及其图形曲面与曲线概念及表示法二、重点考核点这部分的重点是：①向量概念与向量的各种运算，特别是它们的计算与应用．②求直线与平面方程的方法，判断平面、直线间相互关系的方法．§1向量代数向量的加（减）与数乘向量．向量的数量积（又称点积，内积）：定义：两向量的数量积是一个数，且，其中θ是与的夹角．坐标表示：若＝{a1，a2，a3}，={b1，b2，b3}，144则·=a1b1+a2b2+a3b3．特征性质：⊥Û·=0，即a1b1+a2

2、b2+a3b3=0主要应用：①判定两向量垂直；②求两向量、两直线、两平面以及直线与平面间的夹角；③建立平面的点法式方程．向量的向量积（又称叉积，外积）：定义：两向量的向量积×是一个向量，其模，其中q是与的夹角，又×同时与和都垂直且、、×构成右手系．坐标表示：若＝{a1，a2，a3}，={b1，b2，b3}，则×=特征性质：．主要应用：①判定两向量平行；②求平行四边形面积，求点到直线的距离；③求两平面交线的方向向量，化直线的一般方程为标准方程．向量的混合积：定义：三向量，，的混合积［，，］是一个数

3、，且［，，］＝（×）·．坐标表示：若＝{a1，a2，a3}，={b1，b2，b3}，＝｛c1，c2，c3｝则［，，］=特征性质：，，共面Û［，，］=0主要应用：①判定三向量或四个点共面，建立平面方程；②求平行六面体的体积，求点到平面或两条异面直线间的距离；③建立异面直线公垂线的方程．【例1】设（×）·＝2，则［（＋）×（＋）］·（＋）＝________．【解】144【例2】＝2，＝，·=2，则＝________．【解】【例3】指出下列等式成立的充要条件，并证明：（1）；（2）＋与共线，其中，．【

4、证明】（1）Û（＋）·（＋）＝（）·（）Û·=0Û⊥（2）＋与平行Û（＋）×（）＝Û×－×＝Û×Û与平行．§2平面与直线【例1】过直线L1：且平行于直线L2：的平面方程是________．【解】144【例2】过点且与直线垂直的平面方程是________．【解】【例3】设直线L为，平面P为4x－2y+z－2=0，则（）．（A）L∥P（B）L在P上（C）L⊥P（D）L与P斜交【分析】【例4】已知直线Ｌ在平面P：x+y+z－1=0上，并且与直线垂直相交，求L的方程．【分析与解法】1）将L0的参数方程代

5、入平面P的方程，得（t+1）+（－t+1）+t－1=0，t=－1ÞＬ0与P的交点Ｍ0（0，2，－1），它就是Ｌ与P的交点．2）L0的方向向量＝（1，－1，1），平面P的法向量＝（1，1，1），Ｌ的方向向量∥3）L即是过Ｍ0以为方向向量的直线另解若用两面式更简单．过Ｍ0与Ｌ0垂直的平面是，即x－y+z+3＝0L为交线144§3曲面方程【例1】求①直线Ｌ：在平面P：x－y+2z－1＝0上的投影Ｌ0的方程．②直线Ｌ0绕y轴旋转一周而成的曲面方程．【分析与求解】①求Ｌ0即求过Ｌ与平面P垂直的平面P1与P

6、的交线．平面P1由点及与之平行的向量与所确定．方程为即x－3y－2z+1=0L0的方程为②为求Ｌ0绕y轴旋转的旋转面方程，先把Ｌ0的交面式方程化为以y为参数的方程．按参数式表示的旋转面方程得消去q得即【评注】旋转曲面用参数方程来描述是方便的．求一条直线Ｌ绕某坐标轴旋转产生的旋转面方程，如绕y轴，先将Ｌ写成以y为参数的方程．旋转面的参数方程消去q得旋转面方程【例2】求直线Ｌ：绕轴旋转一周所生成的旋转面方程．144【解】直线Ｌ的参数方程是，旋转面的参数方程是消去q得旋转面方程x2+y2=1+z2§4

7、空间曲线在坐标面上的投影曲线【例1】求曲线C：在xy平面上的投影曲线的方程．【解】投影曲线的方程是144第七讲常微分方程一、知识网络图二、重点考核点①掌握方程类型的判别，根据类型选择合适的方法求解方程，会利用初值条件定出任意常数。144②掌握列方程的常用方法．根据题意，分析条件，搞清问题所涉及的物理或几何意义，结合其他相关的知识和掌握的方法列出方程和初条件．③一、二阶线性方程解的性质．④对数三还要求差分方程，其重点是求解一阶线性差分方程与简单的经济应用．（注意，全微分方程的求解放在多元积分学部分

8、介绍）§1微分方程的有关基本概念微分方程：含有自变量，未知函数以及未知函数的导数（或微分）的函数方程，称为微分方程．当方程中的未知函数是一元函数时，称为常微分方程．微分方程的阶：出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶．设x为自变量,为未知函数，则n阶微分方程的一般形式为F（x，y，）=0，且在方程中一定要出现．微分方程的解：若把已知函数及其导数或微分代入微分方程后能使其成为恒等式，则称该函数为这个微分方程的一个解．含有与方程阶数相同个数的独立任意常数的解，称为微分方程